规范场论 (Gauge Theory) 是基于对称变换可以局部也可以全局地施行这一思想的一类物理理论。非交换对称群的规范场论有时也称为杨-米尔斯理论。物理系统往往用在某种变换下不变的拉格朗日量表述，当变换在每一时空点同时施行，它们有全局对称性。规范场论推广了这一思想，它要求拉格朗日量必须也有局部对称性—应该可以在时空的特定区域施行这些对称变换而不影响到另外一个区域。这个要求是广义相对论的等价原理的一个推广。
规范“对称性”反映了系统表述的一个冗余性。
规范场论在物理学上的重要性，在于其成功为量子电动力学、弱相互作用和强相互作用提供了一个统一的数学形式化架构——标准模型。这套理论精确地表述了自然界的三种基本力的实验预测，它是一个规范群为SU(3) × SU(2) × U(1)的规范场论。像弦论这样的现代理论，以及广义相对论的一些表述，都是某种意义上的规范场论。
有时，规范对称性一词被用于更广泛的含义，包括任何局部对称性，例如微分同胚。该术语的这个含义不在本条目使用。
目录 [隐藏]
1 简史
2 电磁学中的简单的规范对称性的例子
3 经典规范场论
3.1 一个例子：标量 O(n) 规范场论
3.2 规范场的拉格朗日量
3.3 一个简单的例子：电动力学
4 数学形式化
5 规范理论的量子化
5.1 方法和目标
5.2 反常
6 参看
7 参考
简史
最早包含规范对称性的物理理论是麦克斯韦的电动力学。但是，该对称性的重要性在早期的表述中没有被注意到。在爱因斯坦发展广义相对论之后，赫尔曼·外尔在试图统一广义相对论和电磁学的尝试中，猜想Eichinvarianz或者说尺度（“规范”）变换下的不变性可能也是广义相对论的局部对称性。后来发现该猜想将导致某些非物理的结果。但是在量子力学发展以后，魏尔、Vladimir Fock和Fritz London实现了该思想，但作了一些修改（把缩放因子用一个复数代替，并把尺度变化变成了相变—一个U(1)规范对称性），这对一个相应于带电荷的量子粒子其波函数受到电磁场的影响，给定了一个漂亮的解释。这是第一个规范场论。泡利在1940年推动了该理论的传播，参看R.M. P.13, 203。
1950年代，为了解决一些基本粒子物理中的巨大混乱，杨振宁和罗伯特·米尔斯引入非交换规范场论作为理解将核子绑在原子核中的强相互作用的模型。（Ronald Shaw，和Abdus Salam一起工作，在他的博士论文中独立地引入了相同的概念。）通过推广电磁学中的规范不变性，他们试图构造基于（非交换的）SU(2)对称群在同位旋质子和中子对上的作用的理论，类似于U(1)群在量子电动力学的旋量场上的作用。在粒子物理中，重点是使用量子化规范场论。
该思想后来被发现能够用于弱相互作用的量子场论，以及它和电磁学的统一在电弱理论中。当人们意识到非交换规范场论能够导出一个称为渐进自由的特色的时候，规范场论变得更有吸引力，因为渐进自由被认为是强相互作用的一个重要特点—因而推动了寻找强相互作用的规范场论的研究。这个理论现在称为量子色动力学，是一个SU(3)群作用在夸克的色荷上的规范场论。标准模型用规范场论的语言统一了电磁力、弱相互作用和强相互作用的表述。
1970年代Michael Atiyah爵士提出了研究经典杨-米尔斯方程的数学解的计划。1983年，Atiyah的学生Simon Donaldson 在这个工作之上证明了光滑4-流形的可微分类和它们只差一个同胚的分类非常不同。Michael Freedman采用Donaldson的工作证明伪R4的存在，也就是，欧氏4维空间上的奇异微分结构。这导致对于规范场论本身的兴趣，独立于它在基础物理中的成功。1994年，爱德华·威滕和Nathan Seiberg发明了基于超对称的规范场技术，使得特定拓扑不变量的计算成为可能。这些从规范场论来的对数学的贡献导致了对该领域的新兴趣。
电磁学中的简单的规范对称性的例子
电路中接地的定义是规范对称性的一个例子；当线路所有点的电位升高相同的值时，电路的行为完全不变；因为电路中的电位差不变。该事实的一个常见释例是栖息在高压电线上的鸟不会遭电击，因为鸟对地绝缘。
这称为整体规范对称性Trefil,1983。电压的绝对值不是真实的；真正影响电路的是电路组件两端的电压差。接地点的定义是任意的，但一旦该点确定了，则该定义必须全局的采用。
相反，如果某个对称性可以从一点到另一点任意的定义，它是一个局域规范对称性。
^ James S. Trefil 1983年, 创造的瞬间。 Scribner, ISBN 0-684-17963-6 92-93页。
经典规范场论
本节要求一些经典或量子场论的知识，以及拉格朗日量的使用。
本节中的定义：规范群，规范场，相互作用拉格朗日量，规范玻色子
一个例子：标量 O(n) 规范场论
下面解释了局域规范不变性可以从整体对称性质启发式地“导出”，并且解释了它如何导向原来不相互作用的场之间的相互作用。
考虑一个n个不相互作用的标量场的集合，它们有相同的质量m。该系统用一个作用量表示，它是每个标量场φi的作用量之和
拉格朗日量可以简明的写作
这是通过引入一个场的矢量
现在很明显地，拉格朗日量在下面的变换中不变
只要G是一个常数 矩阵，G属于n-乘-n 正交群 O(n)。这是这个特定的拉格朗日量的全局对称性，而对称群经常称为规范群。很巧合的是，诺特定理蕴含着该变换群作用下的不变量导致如下的流的守恒
其中Ta矩阵是SO(n)群的生成元。每个生成元有一个守恒流。
现在，要求这个拉格朗日量必须有局域O(n)-不变性要求G矩阵（原来是常数）必须允许成为时空坐标x的函数。
不幸的是，G矩阵无法“传递”给导数。当G = G(x)，
这意味着定义一个有如下属性的“导数”D
可以验证这样一个“导数”（称为协变导数）是
其中规范场 A(x)定义为有如下变换律的场
而g为耦合常数 - 定义一个相互作用强度的量。
规范场在一点的取值是李代数的一个元素，因此可以展开为
所以相互独立的测度场取值和李代数的生成元一样多。
最后，我们有了一个局域规范不变拉格朗日量
泡利把应用到象Φ这样的场上的变换称为第一类规范变换，而把A中的补偿变换称为第二类规范变换。
费曼的标量玻色子通过规范玻色子相互作用的示意图
这个拉格朗日量和初始的全局规范不变的拉格朗日量的区别可以视为相互作用拉格朗日量
这个项作为要求局部规范不变性的结果而引入了n个标量场之间的相互作用。在这个经典场论的量子化版本中，规范场A(x)的量子称为规范玻色子。相互作用拉格朗日量在量子场论中的解释是标量玻色子通过交换这些规范玻色子来相互作用。
[编辑]规范场的拉格朗日量
我们关于经典规范理论的图像基本完成了，还剩协变导数D的定义，为此我们必须知道规范场 A(x) 在所有时空点的值。它可以通过一个场方程的解给出，而不是手工的设置这个场的值。进一步要求产生这个场方程的拉格朗日量也是局部规范不变的，规范场拉格朗日量的最一般的形式可以（传统地）写作
其中
而迹在场的矢量空间上取。
注意在这个拉格朗日量中，没有一个场Φ其变换抵消A的变换。该项在规范变换中的不变性是前面经典（或者说几何，如果喜欢的话）对称性的特殊情况。该对称性必须被限制以施行量子化，这个过程被称为规范固定，但是即使在限制之后，规范变换还是可能的（参看Sakurai， 高等量子力学，1-4节）。
O(n)规范场论的拉格朗日量现在成了
一个简单的例子：电动力学
作为前面章节中发展的形式化表述的简单应用，考虑电动力学的情形，只考虑电子场。产生电子场的狄拉克方程的最简单的作用（传统上）是
该系统的全局对称性是
这里的规范群是U(1)，也就是场的相位角，带一个常数θ。
“局部”化这个对称性意味着用θ(x)取代θ。
一个合适的共变导数是
将“荷” e视为通常的电荷（这也是规范理论中这个术语的使用的来源），而把规范场A(x)视为电磁场的4维矢量势得到一个相互作用拉格朗日量
其中J(x)是通常的电流密度的4矢量。规范原理因而可以视作以一种自然的方式引入了所谓的电磁场到电子场的最小耦合。
为规范场A(x)加入一个拉格朗日量，用场强张量的术语就象在电动力学中一样，可以得到在量子电动力学中作为起点的拉格朗日量。
参看：狄拉克方程，麦克斯韦方程组，量子电动力学
数学形式化
规范理论通常用微分几何的语言讨论。数学上，一个规范就是某个流形的（局部）坐标系的一个选择。一个规范变换也就是一个坐标变换。
注意，虽然规范理论被联络的研究占据了大部分（主要是因为它主要在高能物理中研究），联络的思想一般不是规范理论的基本或者中心概念。事实上，一般规范理论的一个结果表明规范变换的仿射表示（也就是仿射模）可以分类到一种满足特定属性的节丛的截面。有些表示在每一点共变（物理学家称其为第一类规范变换），有些表示象联络形式一样变换（物理学家称其为第二类规范变换）（注意这是一种仿射表示），还有其它更一般的表示，例如BF理论中的B场。当然，我们可以考虑更一般的表示（实现），但那很复杂。但是，非线性σ模型非线性地变换，所以它们也有用处。
若我们有一个主丛P其底空间是空间或时空而结构群是一个李群，则P的截面组成一个群称为规范变换群。
我们可以在该主丛上定义一个联络（规范联络），这可以在每个相伴矢量丛上产生一个共变导数∇。若我们选择一个局部标架（截面的局部基），我们就可以用联络形式A表示这个共变导数，A是一个李代数-值的1-形式，在物理学中称为规范势，它显然不是内在的量，而是一个依赖于标架的选择的量。从这个联络形式，我们可以构造曲率形式F，这是一个李代数-值的2-形式，这是一个内在量，定义为
其中 d 代表外微分而代表楔积。
无穷小规范变换形成一个李代数，可以表述为一个光滑李代数值的标量，ε。在这样一个无穷小规范变换下，
其中是李括号。
一个有趣的结果是，若，则 其中D是共变导数
而且，，这意味着F共变地变换。
需要注意的一点是不是所有的一般规范变换都可以用无穷小规范变换生成；例如，当底流形是一个无边界的紧致流形使得从该流形到李群的映射的同伦类非平凡的时候。参看瞬子（instanton）中的例子。
杨-米尔斯作用现在可以如下给出
其中 * 代表霍奇对偶而积分和在微分几何中的定义一样。
一个规范-不变量也就是在规范变换下的不变量的例子是威尔逊环（Wilson loop），它定义在闭合路径γ上，定义如下：
其中χ是复表示ρ的特征标；而表示路径排序算子。
规范理论的量子化
规范理论可以用能够应用到任何量子场论的方法的特殊化来量子化。但是，因为规范约束（参看上面的数学表述一节）所带来的微妙性，存在很多需要解决的理论问题，他们在其他场论中并不存在。同时，规范理论的更丰富的结构使得一些计算得以简化：例如Ward恒等式建立了不同的重正化常数的联系。
方法和目标
第一个量子化的规范理论是量子电动力学（QED）。为此发展的最初的方法涉及规范固定和施行标准量子化。Gupta-Bleuler方法也被发展出来用于处理这个问题。非交换规范理论现在用很多不同的方法处理。量子化的方法在量子化条目有介绍。
量子化的要点在于能够计算对于理论所允许的各种进程的量子振幅。技术上，它们退化为在真空状态下的特定相关系数函数的计算。这涉及到理论的一个重正化。
当理论的巡行耦合足够小时，所有需要计算的量可以用微扰理论计算。设计用于简化这样的计算的量子化方案（例如标准量子化）可以称为微扰量子化方案。现在一些这种方法导向了规范理论的更精确的试验测试。
但是，在多数规范理论中，有很多有趣的问题是非微扰的。设计用于这些问题的量子化方案可以称为非微扰量子化方案。这样的方案的精确计算经常需要超级计算，因而目前比其他方案的发展要少。
反常
一些理论经典的对称性在量子理论中不再成立—这个现象称为一个反常。最出名的包括：
共形反常，它导致了一个跑动耦合常数。在QED中，这导致了朗道奇点（Landau pole）。在量子色动力学（QCD）中，这导致渐进自由。
手征反常，出现在费米子手性或者矢量场论中。这通过瞬子的概念和拓扑有紧密的关联。
在QCD中，这个反常导致了π介子衰变成为两个光子。
规范反常，在任何自洽的物理理论中必须消去。在电弱理论中，这个消去要求夸克和轻子数量相等。这被称为GIM机制。
2009年2月24日星期二
维基百科:希尔伯特的23个问题
1900年，希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了23道最重要的数学问题，这就是著名的希尔伯特的23个问题。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。
希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域，除数学物理外很少涉及应用数学，更不曾预料到电脑发展将对数学的产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。
希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题，7-12是数论问题，13-18属于代数和几何问题，19-23属于数学分析。
问题解决进度
以下列出希尔伯特的23个问题：
第一题 连续统假设 已解决。1963年美国数学家保罗·柯恩以力迫法（forcing）证明连续统假设不能由ZFC推导。也就是说，连续统假设成立与否无法由ZFC确定。
第二题 算术公理之相容性 已解决。库尔特·哥德尔在1930年证明了哥德尔不完备定理。
第三题 两四面体有相同体积之证明法 已解决。希尔伯特的学生马克斯·德恩以一反例证明了是不可以的了。
第四题 建立所有度量空间使得所有线段为测地线 太隐晦。希尔伯特对于这个问题的定义过于含糊。
第五题 所有连续群是否皆为可微群 已解决。1953年日本数学家山迈英彦已得到完全肯定的结果。
第六题 公理化物理 非数学。对于物理学能否全盘公理化，有很多人质疑。
第七题 若 b 是无理数、a 是非0、1代数数，那么 ab 是否超越数 已解决。分别于1934年、1935年由Gelfond与Schneider独立地解决。
第八题 黎曼猜想及哥德巴赫猜想 部分解决。1966年中国数学家陈景润部分解答了哥德巴赫猜想。
第九题 任意代数数域的一般互反律 部分解决。1921年日本的高木贞治，1927年德国的埃米尔·阿廷（E.Artin）各有部份解答。
第十题 不定方程可解性 已解决。1970年苏联数学家马蒂塞维奇证明：在一般情况答案是否定的。
第十一题 代数系数之二次形式 已解决。有理数的部分由哈塞于1923年解决，实数的部分则由希格尔于1930年解决。
第十二题 扩展代数数 已解决。1920年高木贞治开创了阿贝尔类域理论。
第十三题 以二元函数解任意七次方程 已解决。1957年柯尔莫哥洛夫和阿诺德证明其不可能性。
第十四题 证明一些函数完全系统（Complete system of functions）之有限性 已解决。1962年日本人永田雅宜提出反例。
第十五题 舒伯特列举微积分（Schubert's enumerative calculus）之严格基础 部分解决。一部分在1938年由范德瓦登得到严谨的证明。
第十六题 代数曲线及表面之拓扑结构 未解决
第十七题 把有理函数写成平方和分式 已解决。1927年埃米尔·阿廷（Emil Artin）已解决实封闭域。
第十八题 非正多面体能否密铺空间、球体最紧密的排列 已解决。1910年比伯巴赫做出“n维空间由有限多个群嵌成”
第十九题 拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析（Analytic） 已解决。1904年由伯恩斯坦（Serge Bernstein）解决。
第二十题 所有有界限条件的变量问题（Variational problem）是否都有解 已解决
第二十一题 证明有线性微分方程有给定的单值群（monodromy group） 已解决
第二十二题 以自守函数（Automorphic functions）一致化可解析关系 已解决。1904年由科比和庞加莱取得解决。
第二十三题 变分法的长远发展 已解决
[]
希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域，除数学物理外很少涉及应用数学，更不曾预料到电脑发展将对数学的产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。
希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题，7-12是数论问题，13-18属于代数和几何问题，19-23属于数学分析。
问题解决进度
以下列出希尔伯特的23个问题：
第一题 连续统假设 已解决。1963年美国数学家保罗·柯恩以力迫法（forcing）证明连续统假设不能由ZFC推导。也就是说，连续统假设成立与否无法由ZFC确定。
第二题 算术公理之相容性 已解决。库尔特·哥德尔在1930年证明了哥德尔不完备定理。
第三题 两四面体有相同体积之证明法 已解决。希尔伯特的学生马克斯·德恩以一反例证明了是不可以的了。
第四题 建立所有度量空间使得所有线段为测地线 太隐晦。希尔伯特对于这个问题的定义过于含糊。
第五题 所有连续群是否皆为可微群 已解决。1953年日本数学家山迈英彦已得到完全肯定的结果。
第六题 公理化物理 非数学。对于物理学能否全盘公理化，有很多人质疑。
第七题 若 b 是无理数、a 是非0、1代数数，那么 ab 是否超越数 已解决。分别于1934年、1935年由Gelfond与Schneider独立地解决。
第八题 黎曼猜想及哥德巴赫猜想 部分解决。1966年中国数学家陈景润部分解答了哥德巴赫猜想。
第九题 任意代数数域的一般互反律 部分解决。1921年日本的高木贞治，1927年德国的埃米尔·阿廷（E.Artin）各有部份解答。
第十题 不定方程可解性 已解决。1970年苏联数学家马蒂塞维奇证明：在一般情况答案是否定的。
第十一题 代数系数之二次形式 已解决。有理数的部分由哈塞于1923年解决，实数的部分则由希格尔于1930年解决。
第十二题 扩展代数数 已解决。1920年高木贞治开创了阿贝尔类域理论。
第十三题 以二元函数解任意七次方程 已解决。1957年柯尔莫哥洛夫和阿诺德证明其不可能性。
第十四题 证明一些函数完全系统（Complete system of functions）之有限性 已解决。1962年日本人永田雅宜提出反例。
第十五题 舒伯特列举微积分（Schubert's enumerative calculus）之严格基础 部分解决。一部分在1938年由范德瓦登得到严谨的证明。
第十六题 代数曲线及表面之拓扑结构 未解决
第十七题 把有理函数写成平方和分式 已解决。1927年埃米尔·阿廷（Emil Artin）已解决实封闭域。
第十八题 非正多面体能否密铺空间、球体最紧密的排列 已解决。1910年比伯巴赫做出“n维空间由有限多个群嵌成”
第十九题 拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析（Analytic） 已解决。1904年由伯恩斯坦（Serge Bernstein）解决。
第二十题 所有有界限条件的变量问题（Variational problem）是否都有解 已解决
第二十一题 证明有线性微分方程有给定的单值群（monodromy group） 已解决
第二十二题 以自守函数（Automorphic functions）一致化可解析关系 已解决。1904年由科比和庞加莱取得解决。
第二十三题 变分法的长远发展 已解决
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2009年2月13日星期五
维诺格拉多夫
维诺格拉多夫，1891年9月14日生于俄国西部普斯科夫省大卢基县的米洛留勃村；1983年3月20日卒于莫斯科．数学．
维诺格拉多夫的父亲是米洛留勃村墓地教堂的一名牧师，母亲是一名教师．维诺格拉多夫从小就表现出绘画的才能．当时牧师的孩子通常是进教会学校读书，而他的父母却一反惯例，于1903年送他到大卢基城的一所主要是讲授自然科学、现代语言及绘画的实科中学去就读．1910年他中学毕业后，进入首都彼得堡(1914—1924年间改称彼得格勒；后又更名为列宁格勒)的彼得堡大学的物理数学系学习，1914年毕业．在该系著名学者Я．B．乌斯宾斯基等人的影响下，维诺格拉多夫对数论产生了浓厚的兴趣．1915年，由于他关于二次剩余及非剩余分布问题所获得的研究成果，经B．A．斯捷克洛夫推荐，授予他一项奖学金，此后他成功地通过了硕士学位．1918—1920年，维诺格拉多夫先后在国立彼尔姆大学及苏联东欧部分的莫洛托夫大学任教，先任副教授，后担任教授．1920年底，他回到彼得格勒，任彼得格勒工学院教授及彼得格勒大学副教授．在彼得格勒工学院他开设高等数学课，在彼得格勒大学他开设数论课，这门课就成了他后来所著《数论基础》一书的基础．1925年他升任列宁格勒大学教授，并担任该校数论及概率教研室主任．
1929年1月他当选为苏联科学院院士，这标志着他开始进入国家级的科学活动组织者及管理人才的行列中．他与C．И．瓦维洛夫共同制订了对科学院物理-数学研究所进行重大改组的计划．1930—1932年他出任人口统计研究所所长，1930—1934年任物理-数学研究所数学部主任．1934年，物理-数学研究所分为两个所：列别捷夫物理研究所与斯捷克洛夫数学研究所．维诺格拉多夫被任命为斯捷克洛夫数学研究所第一任所长，直到去世前，他一直担任这一职务．其间，苏联科学院从列宁格勒迁往莫斯科，斯捷克洛夫数学研究所即建在瓦维洛夫大街上．1950年起，他任《苏联科学院通报》数学组主编，1958年起任全苏数学家委员会主席．他始终对数学教育有极大的兴趣，直到去世前一直任全苏中学数学改革委员会主席．
维诺格拉多夫中等身材，体格异常健壮．即便到90高龄，他也从不坐电梯去办公室，且步履十分矫健．他与人谈话常用俄语，但能说一口相当熟练的英语．他一生中只有很少几次出国参加活动．其中有两次出访联合王国，一次是1946年参加英国皇家协会主办的牛顿纪念活动，另一次是参加1958年的爱丁堡国际数学家大会．维诺格拉多夫十分好客，待人诚挚体贴．1971年借祝维诺格拉多夫80寿辰之机，在莫斯科举行了一次学术讨论会．维诺格拉多夫自费主办了一次宴会，邀请与会的国内外数学家参加，他亲笔填写了每份请帖，对每位客人都给予了热情的款待．
维诺格拉多夫一生中被20多个外国科学院及科学协会等机构授予院士、名誉院士、会员、名誉会员等称号．1939年被授予伦敦数学会名誉会员称号，1942年当选为英国皇家学会外籍会员．他一生还多次荣获苏联政府及苏联科学院等颁发的勋章及荣誉称号．其中计有：
社会主义劳动英雄(2次)，列宁勋章(5次)，锤子与镰刀勋章(2次)，十月革命勋章，斯大林奖金(现改称国家奖金)，列宁奖金，罗蒙诺索夫金质奖章，其中罗蒙诺索夫金质奖章是苏联科学院的最高奖．
波利亚-维诺格拉多夫不等式
设m≥1为给定的整数，a，b为两个整数．若a—b可被m整除，则记m|(a—b)，称m为模，并称a与b对模m同余，记为a≡b(mod m)．对固定的模m，同余关系是一个等价关系．把对模m同余的所有整数归为一类，称为模m的一个剩余类，则全体整数恰可分成m个不同的剩余类．从每一类中取一代表元组成的集合称为模m的一个完全剩余系．对剩余类可以很自然地定义类的加、减、乘法，它们与整数的加、减、乘法有完全类似的性质．
设m=p≥3为素数，f(x)=anxn+…a1x＋a0是一个n≥1次整系数多项式．若x0满足同余方程
f(x)≡0(modp)， (1)
易见一切满足t≡x0(modp)的t皆满足(1)，它们称为(1)的一个解．与代数基本定理对应，我们有如下定理．
定理(拉格朗日)若an (modp)，则(1)至多有n个解．
当n=2时，求解(1)可以归结为求解特殊形式的二次同余方程
x2≡a(modp)． (2)
A．M．勒让德(Legendre)首先定义了如下的符号，此即初等数论中著名的勒让德符号：
非剩余(即平方非剩余)．在模p的一个完全剩余系｛1，2，…，p｝中，易见除p外，二次剩余与非剩余各占一半，故
实际上，对任何整数N均有
这表明在模p的一个完全剩余系里，二次剩余与非剩余个数总是相等．一个自然的问题是：对任意整数N及任给正整数M，当a取遍区间[N＋1，N+M]中的整数时，其中二次剩余及非剩余的分布情况如何？(3)表明其中二次剩余与非剩余的个数之差为
由(5)知不妨可设1≤M＜p／2．维诺格拉多夫证明了
上式表明，当区间长度M适当大时，其中二次剩余与非剩余的个数相差甚少．正是由于这项研究成果，1915年他被授予一项奖学金，并被批准留校攻读学位．
勒让德符号实际上是以p为模的一种实原特征，它是更为广泛的狄利克雷(Dirichlet)特征χq(a)的特例，这里q是特征的模．1918年，维诺格拉多夫与波利亚互相独立地证明了：若χq(a)是以q为模的一个原特征，则对任何整数N≥1皆有
若χq(a)为非主特征，则有
这些不等式统称为波利亚-维诺格拉多夫不等式．
1977年，H．L．蒙哥马利(Montgomery)与R．C．沃恩(Vaughan)在假设广义黎曼猜想(简记为GRH)成立的条件下证明了：对非主特征有
而R．E．A．C．佩利(Paley)于1932年就构造出一列无穷多个不同的二次特征χqj(j=1，2，…)，使得
因此，(7*)与最好可能的结果(7.1)相比已经相当接近．
设n2(p)＞1为模p的最小二次非剩余．1919年，维诺格拉多夫利用(7)及素数分布的简单性质证明了
他猜想对任给ε＞0有n2(p)=O(pε)，他还猜想对任给ε＞0有 安克尼(Ankeny)证明了：若GRH成立，则有n2(p)=O(ln2p)．对于后一猜想，1967年P．D．T．A．埃利奥特(Elliott)证明了它是GRH的一个推论．这两个猜想迄今仍未获得证明．他关于二次及高次剩余分布、原根与指数分布等问题的许多结果已被D．A．伯吉斯(Burgess)等人加以改进．有关结果请见W．纳基耶维奇(Narkiewicz)所写专著第Ⅱ章及其他文献．
类数均值公式及格点问题
设a，b，c为取定的整数，称二次齐次式
f(x，y)=ax2＋bxy＋cy2
为一个二元二次型，简记为{a，b，c}，称d=b2-4ac为其判别式．若(a，b，c)=1，则称{a，b，c}为本原二次型，简称原型，这里(a，b，c)表a，b，c三数的最大公约数．
设给定两个型{a1，b1，c1}与{a2，b2，c2}，其变量分别为x，y及u，v．若有一个整系数变换
使{a1，b1，c1}变为{a2，b2，c2}，则称它们是相似型．易证相似是二次型的一种等价关系．利用它可将判别式为d的所有本原二次型分成两两不相交的等价类．用h(d)表示把判别式d的本原二次型所分成的等价类的个数．容易证明，对每个判别式d，h(d)皆有限．
对判别式为-d＜0的正定型，F．高斯(Gauss)在其所著《算术研究》(Disquisitiones arithmeticae，1801)一书第302篇中不加证明地给出一个渐近公式
1865及1874年，R．李普希茨(Lipschitz)与F．默滕斯(Mertens)先后得到(8)式的第一项(参见P．巴赫曼(Bachma-nn)著《解析数论》(Die analytische Zahlentheorie，1894)二卷十三章§16)，但他们的方法均未能得到第二项主项．
1917年，维诺格拉多夫给出了研究算术函数渐近表示中余项估计这一难题的一个新方法，它比Г．沃罗诺伊于1903年提出的方法简单，且能获得几乎相同的结果．维诺格拉多夫新方法的重点在于如下的所谓“第一基本公式”：
设k≥1，A＞29，R＞Q皆为实数，函数f(x)在区间[Q，R]中二阶可微且满足
则有
其中｛y｝表示实数y的小数部分，而
由此并利用上述李普希茨文章中的一个恒等式
即证得(8)式，并得到
R(n)＝O(n5/6(ln n)2/3)， (13)
其中μ(m)为麦比乌斯(M bius)函数，F(m)为满足某些不等式组的整值解组数．1963年他得到
R(n)=O(n2/3(lnn)6)， (14)
这一纪录至今未被打破．
维诺格拉多夫的第一基本公式可以解释成为关于由
x=Q，x=R，y=f(x)，y=0
所围成的平面区域内的整点个数的一个命题．1925年V．雅尼克(Jarnik)证明了，(11)已是基本上最好可能的结果．由是可知，维诺格拉多夫方法可用于处理域内整点问题．设p(x)表示落在球
u2＋v2+w2≤x
中的整点个数．1963年维诺格拉多夫证明了
这仍是目前已知最好的结果．
华林问题
1770年，E．华林(Waring)在《代数沉思录》(Meditationesalgebraicae)第204—205页上发表了如下的猜想：
每个自然数皆可表为四个整数的平方和，皆可表为九个非负整数的立方和，皆可表为十九个整数的四次方之和，等等．
综观其言，他实质上提出了如下的问题：对每个给定的整数k≥2，是否存在一个只与k有关的正整数s=s(k)，使每个正整数皆可表为至多s个非负整数的k次方之和？求最小正整数s(k)=g(k)，使每个正整数皆可表为g(k)个非负整数的k次方之和，此即著名的关于g(k)的华林问题．若不要求这种表示对每个正整数成立，改为要求对充分大的正整数皆成立，又以G(k)表示满足这种要求的最小的s(k)，估计G(k)的上界即著名的关于G(k)的华林问题．
1909年，D．希尔伯特(Hilbert)首次用多重积分证明了A．胡尔维茨(Hurwitz)提出而未能证明的一个恒等式，由此即得：对形如k=2c的幂k，华林问题中的s(k)是存在的．由此再用初等方法可对一般性的k证明s(k)的存在性．但希尔伯特方法所得s(k)之数值太大，方法也相当复杂，在近代数论的发展中没有找到进一步的应用．
1920—1928年间，G．H．哈代(Hardy)与J．E．李特伍德(Littlewood)在总标题为“‘Partitio numerorum’的若干问题”(Some problems of“Partitio numerorum”)的七篇论文中，系统地开创并发展了解析数论中一个新方法，此即当今著称的哈代与李特伍德的圆法．而在哈代与S．拉马努金(Ramanujan)1918年发表的一篇论文中已经有了圆法的思想．
1924年，维诺格拉多夫对希尔伯特关于华林问题的结果给出一个新证明，它相当初等，只用到傅里叶(Fourier)级数及外尔(Weyl)估计三角和的方法，而没有用圆法．E．兰道(Landau)在《数论导引》(Vorlesungen ber Zahlentheorie，1927)第一卷第六部分第五章指出，维诺格拉多夫的方法可用于求g(k)的相当满意的上界．1936年L．E．迪克森(Dickson)与S．S．皮莱(Pillai)相互独立地得到g(k)问题近乎最后的解决，其中证明的关键部分有赖于对维诺格拉多夫方法的应用．
在哈代与李特伍德上述系列文章的Ⅳ中证明了：若s≥(k-2)2k-1+5，k≥3，Rs(n)是n表为s个k次方之和的表法数，则对充分大的n有
其中 (n)大于某个正常数．由是他们首次得出显式上界
G(k)≤(k-2)2k-1+5． (17)
在1925年发表的Ⅵ中，他们纠正了上文中一个引理证明中的错误并得到：对k≥4有
G(k)≤(k-2)2k-2+k+5
他们的方法是考虑无限和
及其s次幂
由柯西积分公式有
C是以原点为圆心，半径为ρ(0＜ρ＜1)的圆周，他们在s≥s0(k)且n充分大时找到一种渐近计算积分(19)的方法．
1928年，维诺格拉多夫改为考虑有限和
及其s次幂
这里e(x)=e2πix，N=［n1/k］，而Rs(m，n)是m表为s个不超过N的非负整数k次幂和的表法个数．易见
由此他也导出了(16)，并证明了(17)．这大大简化了哈代与李特伍德的方法，也为解决数论中各种困难的问题开辟了一条更为广阔的道路．此后，他多次回到这一问题．他关于渐近公式成立时G(k)上界的最后结果是
G(k)≤2k2(2lnk＋ln lnk+5)(k≥4)． (23)
如果放弃渐近公式(16)而只证Rs(n)＞0，则可得到G(k)的好得多的上界．1934年，维诺格拉多夫第一个获得阶为klnk的上界
G(k)＜6klnk+(ln216+4)k(k≥4)． (24)
显然可证有
G(k)＞k， (25)
故(24)中的阶klnk已基本上是最好可能的了．1959年他得到：对k＞170000有
G(k)＜k(2lnk＋4lnlnk+2lnlnlnk＋13)， (26)
并且得到
1985年A．A．卡拉楚巴用p-adic方法证明了，对k≥4000有
G(k)＜2k(lnk＋lnlnk+6)， (28)
这是目前G(k)上界的最好结果．对较小的k，更好的结果请见所列文献及专著．
哥德巴赫猜想
1742年，德国数学家C．哥德巴赫(Goldbach)在与L．欧拉(Euler)的几次通信中提出了整数表为素数和的两个猜想，用现代语言来说，就是：
(A)每个≥6的偶数都是两个奇素数之和，
(B)每个≥9的奇数都是三个奇素数之和．
这就是当今著称的哥德巴赫猜想，(A)通常称为关于偶数的哥德巴赫猜想，(B)称为关于奇数的哥德巴赫猜想．直到1900年希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上的著名演讲发表之前，有关这个猜想的研究尚未取得任何实质性的进展．
哈代与李特伍德在他们上述系列论文的Ⅲ与Ⅴ(发表于1923年)中，用圆法对哥德巴赫猜想进行了研究．鉴于圆法与维诺格拉多夫方法对哥德巴赫猜想的主要贡献在于解决了猜想(B)，而对猜想(A)只能得到“几乎全体偶数皆可表为二奇素数之和”这样的结果，本文中只对涉及猜想(B)的结果加以讨论．
在Ⅲ中，哈代与李特伍德考虑了函数
及其r次幂
这里
于是
这里C1是以原点为中心、半径为e-1/n的圆周．与前类似地将积分(32)分成主项与余项，他们在余项的估计中遇到对狄利克雷L函数的零点分布缺乏了解这一重大困难．不得已假设下面的猜想(R)成立：
点皆位于半平面Rez≤θ中．
在此假设下，他们证明了：充分大的奇数n表为三个奇素数之和的表法个数N3(n)有渐近式
其中
特别地，当(R)成立时，每个充分大的奇数n皆可表为三个奇素数之和．
维诺格拉多夫在他于1937年发表的著名论文中改为考虑过素数值求和的有限三角和
用In记n表为三个奇素数和的表法个数，则与(22)式同法有
适当将[0，1]划分成基本区间(也称优弧)与余区间(也称劣弧)两部分，相应的积分分别记为In(1)与In(2)．
对In(1)用西格尔(Siegel)-瓦尔菲茨(Walfisz)定理不难给出其主项及余项估计．为估计In(2)，维诺格拉多夫对形如(35)的素变数三角和给出了非平凡的上界估计，从而不用任何假设证明了：存在常数B0(现在称为维诺格拉多夫常数)，每个奇数n≥B0皆可表为三个奇素数之和．
应用上面的证法，常数B0无法算出来，这是因为上面证明中用到的西格尔-瓦尔菲茨定理中涉及的常数不能有效地算出．为具体求出B0的上界，可用较弱的佩奇(Page)定理代替西格尔-瓦尔菲茨定理．1956年，K．Г．博罗兹德基求得
B0≤exp(exp16.038)， (37)
这个值现在完全可以得到较大的改进．
同年，维诺格拉多夫对形如
的更一般的素变数三角和得到非平凡的上界估计，这里f(x)为实系数多项式．特别当f(x)=xk时他对华林-哥德巴赫问题得到如下结果：
lnk+lnlnk+5)]，则n→∞时有
有关其他形状的素变数三角和估计及应用请见所列专著及文献．
模1一致分布
先考虑一个简单问题．设θ为一个实数，对任意给定的自然数N，考虑区间[0，1)中如下N+1个实数
0，｛θ｝，…，｛Nθ｝．
如果将［0，1)等分成N个长为1／N的子区间，则至少有两个整数a，b，0 ≤a＜b≤N，使{aθ}与{bθ}在同一子区间中，即
|｛bθ｝－｛aθ｝＜1／N．
定义k=b-a，h=[bθ]-[aθ]，则有一对整数h，k，0＜k≤N，使
|kθ—h|＜1／N≤1／k，
事实上可以要求(h，k)=1，又在θ为无理数时，满足上述要求的数对h，k有无穷多对．完全类似地可证下述命题：设θ为无理数，a为任一实数，则有无穷多对整数hn，kn(kn＞0)使
|θkn-hn-a|＜3／kn．
由此立即推出，［0，1)中每一点都是点集｛mθ｝(m=1，2，…)的极限点．那么，点集{mθ}在(0，1)中是否“均匀分布”呢？为了使“均匀分布”意义明确，我们给出如下的定义：设ω=(xn)，n=1，2，…是一个给定的实数列，我们称ω是模1一致分布的，如果对每对实数a，b，0≤a＜b≤1有
这里A(［a，b)；N；ω)表示x1，…，xn中使小数部分{xn}落在［a，b)中的项的个数．
对如何判别一致分布(modl)，有如下重要的韦尔判别法：数列(xn)，n=1，2，…为一致分布(modl)的充分必要条件是，对所有整数h≠0有
因此，能否对形如
的三角和给出适当的估计，是判别数列是否一致分布的关键．在某些重要而又困难的情形，维诺格拉多夫方法是解决这一关键困难的基本工具．
设a为一给定无理数，定义
xn=apn，n=1，2，…，
这里pn表示第n个素数，则由维诺格拉多夫估计(35)型和的方法易得
故由韦尔判别法立即证得(apn)是一致分布的．完全类似地可证：数列(f(pn))，n=1，2，…为一致分布(modl)，这里f(x)是首项系数为无理数的实系数多项式．值得一提的是，1937年P．屠阮(Turán)首次在假设GRH为真的条件下证明了(apn)的一致分布性．
带误差项的素数定理
令π(x)表示不超过x的素数个数，寻求它当x充分大时的渐近表示是19世纪近百年中数学家们的一项中心任务．1848—1850年，俄国数学家п．л．切比雪夫首开纪录，证得
1859年，黎曼在其著名论文中用新的解析方法揭示出ζ函数与素数分布之间的深刻联系．1896年，J．阿达玛(Hadamard)与C．J．德拉瓦莱-普桑(de la Vallée Poussin)相互独立地证明了素数定理：
这等价于
此后，数学家们一直致力于求π(x)-lix的最佳误差．1901年，H．冯•科克(Koch)在黎曼猜想成立的假设下证明了有
熟知，只要对ζ函数在σ=1附近的值给出适当的估计，就可以得出ζ(s)无零点区域的对应结果，从而给出π(x)-lix的相应估计．而在估计ζ函数邻近σ=1的阶时，维诺格拉多夫的三角和方法是相当有效的．1958年，维诺格拉多夫与H．М．科罗博夫相互独立地得到
(a＞0，ε＞0为任意给定的实数)，相应的ζ函数无零点区域为
这些都是迄今已知最好的结果．
本桥洋一(本桥洋一， Motohashi Yoichi)曾用筛法对形如
的无零点区域给出一个初等证明，而蒙哥马利则用另外的方法给出(46)的另一证明，这些请见他们各自的专著．
主要著作评介及对中国数论界的影响
维诺格拉多夫一生发表过一百多篇论文，出版过四部专著及两部选集．他的四部专著中，影响最大的是其中的三部：《数论基础》，以下简称《基础》；《数论中的三角和方法》，以下简称《方法》；《三角和方法的特殊变体》，以下简称《变体》．
《基础》一书初版于1936年，先后译成匈牙利文(1952)、捷克文(1953)、英文(1954)、波兰文(1954)、德文(1955)、日文(1961)、西班牙文(1971)等多种文字．1952年由上海商务印书馆初次出中文版，1956年由北京高等教育出版社出新一版，译者裘光明．我国著名数学家、中国科学院数学研究所第一任所长华罗庚教授为中译本撰写了指导性的介绍，题为“介绍《数论基础》”，对书的内容、习题及维诺格拉多夫的研究成果，给了极高的评价．
《基础》一书共分六章，介绍了初等数论的一些基本内容．每章后习题分两部分，计算题强调了计算技巧的训练；而通过理论性的习题向读者介绍了许多著名的数论问题，如：有理数逼近实数，切比雪夫不等式，圆内整点问题，狄利克雷除数问题，V．布龙(Brun)筛法，三角和估计，函数值的分数部分的估计，佩尔(Pell)方程，波利亚-维诺格拉多夫不等式，剩余与非剩余的分布等．使初学者也能对近代解析数论的一些问题与方法，特别是维诺格拉多夫方法的基本技巧有所了解．即使在今天，它也不失为一本好的参考书．
《方法》一书是维诺格拉多夫方法的代表作．1947年初版，1954年出了英文版，次年在我国《数学进展》1卷1期上印行了中文译本，译者越民义．由于维诺格拉多夫在其科学研究最初十年中的重要成就，兰道在他的前述专著中曾专辟一章对他的方法加以介绍．此后出版的许多重要数论专著中都有关于维诺格拉多夫方法的专门介绍．
在《方法》一书的引言中，维诺格拉多夫介绍了他本人自1934年以来所创立的三角和方法的要旨、应用及历史．他指出，这一方法的最基本结论是形如
的积分之估计，此即著名的维诺格拉多夫中值定理，这里
而f(x)=anxn+…+a1x
为实系数多项式．目前估计I上界的最满意的方法系由卡拉楚巴于1965年给出的，这方面的理论已推广到多重三角和中，这些发展均基于卡拉楚巴1962—1966年间提出的一种新的p-adic形式的维诺格拉多夫方法(参见《斯捷克洛夫数学研究所著作集》英译本1986年第3期(Proc．of the Steklov Institute of Math.，1986，Issue 3，pp．3—30))．
维诺格拉多夫方法的关键技巧在于对形如
的双重三角和给出非平凡估计，这里ξ(x)，η(y)是任意的复值函数，a为实数且
由柯西不等式有
右方的二重和可按几何级数来计算，由此可得W的适当估计．当然，如何把一个数论问题与一个恰当的二重三角和联系起来，这是需要相当技巧的．在该书中作者对其方法的基本工具、技巧及在华林问题、多项式值的分数部分之分布、华林-哥德巴赫问题中的应用作了较详尽的介绍．
《变体》一书出版于1976年，它与《方法》的不同之处在于，《变体》讨论的是其方法的较为简单的变体(指不需要均值定理为基础)所涉及的一些应用，如球内整点问题，G(k)上界估计，哥德巴赫奇数猜想及若干特殊的素变数三角和估计等，最后一章给出他的方法的某种初等形式(不用无穷小作工具)及若干应用．
维诺格拉多夫方法及其著作对中国及世界数学界产生了重大影响．华罗庚教授三十年代起的许多研究工作都受到维诺格拉多夫方法的深刻影响．1941年，华罗庚教授将自己对维诺格拉多夫方法的研究成果写成《堆垒素数论》一书，寄交苏联斯捷克洛夫数学研究所作为专刊发表，得到维诺格拉多夫院士的赞赏和支持．时因二次大战，该书俄文版推迟到1946年才正式出版．维诺格拉多夫院士还邀请华罗庚教授访问了苏联．华罗庚教授在数学研究所培养的第一批研究人材中，就有相当数量的人深入学习过维诺格拉多夫方法，并在后来的研究工作中反复运用这一方法取得过出色的成就．
1988年夏天在北京举行的“纪念华罗庚数论与分析国际会议”，就有卡拉楚巴等维诺格拉多夫学派传人参加．这对加强中苏两国间的学术交流，恢复并发展由维诺格拉多夫与华罗庚所建立的两国数学界(尤其是数论学界)的传统友谊，将起到良好的作用．
维诺格拉多夫的父亲是米洛留勃村墓地教堂的一名牧师，母亲是一名教师．维诺格拉多夫从小就表现出绘画的才能．当时牧师的孩子通常是进教会学校读书，而他的父母却一反惯例，于1903年送他到大卢基城的一所主要是讲授自然科学、现代语言及绘画的实科中学去就读．1910年他中学毕业后，进入首都彼得堡(1914—1924年间改称彼得格勒；后又更名为列宁格勒)的彼得堡大学的物理数学系学习，1914年毕业．在该系著名学者Я．B．乌斯宾斯基等人的影响下，维诺格拉多夫对数论产生了浓厚的兴趣．1915年，由于他关于二次剩余及非剩余分布问题所获得的研究成果，经B．A．斯捷克洛夫推荐，授予他一项奖学金，此后他成功地通过了硕士学位．1918—1920年，维诺格拉多夫先后在国立彼尔姆大学及苏联东欧部分的莫洛托夫大学任教，先任副教授，后担任教授．1920年底，他回到彼得格勒，任彼得格勒工学院教授及彼得格勒大学副教授．在彼得格勒工学院他开设高等数学课，在彼得格勒大学他开设数论课，这门课就成了他后来所著《数论基础》一书的基础．1925年他升任列宁格勒大学教授，并担任该校数论及概率教研室主任．
1929年1月他当选为苏联科学院院士，这标志着他开始进入国家级的科学活动组织者及管理人才的行列中．他与C．И．瓦维洛夫共同制订了对科学院物理-数学研究所进行重大改组的计划．1930—1932年他出任人口统计研究所所长，1930—1934年任物理-数学研究所数学部主任．1934年，物理-数学研究所分为两个所：列别捷夫物理研究所与斯捷克洛夫数学研究所．维诺格拉多夫被任命为斯捷克洛夫数学研究所第一任所长，直到去世前，他一直担任这一职务．其间，苏联科学院从列宁格勒迁往莫斯科，斯捷克洛夫数学研究所即建在瓦维洛夫大街上．1950年起，他任《苏联科学院通报》数学组主编，1958年起任全苏数学家委员会主席．他始终对数学教育有极大的兴趣，直到去世前一直任全苏中学数学改革委员会主席．
维诺格拉多夫中等身材，体格异常健壮．即便到90高龄，他也从不坐电梯去办公室，且步履十分矫健．他与人谈话常用俄语，但能说一口相当熟练的英语．他一生中只有很少几次出国参加活动．其中有两次出访联合王国，一次是1946年参加英国皇家协会主办的牛顿纪念活动，另一次是参加1958年的爱丁堡国际数学家大会．维诺格拉多夫十分好客，待人诚挚体贴．1971年借祝维诺格拉多夫80寿辰之机，在莫斯科举行了一次学术讨论会．维诺格拉多夫自费主办了一次宴会，邀请与会的国内外数学家参加，他亲笔填写了每份请帖，对每位客人都给予了热情的款待．
维诺格拉多夫一生中被20多个外国科学院及科学协会等机构授予院士、名誉院士、会员、名誉会员等称号．1939年被授予伦敦数学会名誉会员称号，1942年当选为英国皇家学会外籍会员．他一生还多次荣获苏联政府及苏联科学院等颁发的勋章及荣誉称号．其中计有：
社会主义劳动英雄(2次)，列宁勋章(5次)，锤子与镰刀勋章(2次)，十月革命勋章，斯大林奖金(现改称国家奖金)，列宁奖金，罗蒙诺索夫金质奖章，其中罗蒙诺索夫金质奖章是苏联科学院的最高奖．
波利亚-维诺格拉多夫不等式
设m≥1为给定的整数，a，b为两个整数．若a—b可被m整除，则记m|(a—b)，称m为模，并称a与b对模m同余，记为a≡b(mod m)．对固定的模m，同余关系是一个等价关系．把对模m同余的所有整数归为一类，称为模m的一个剩余类，则全体整数恰可分成m个不同的剩余类．从每一类中取一代表元组成的集合称为模m的一个完全剩余系．对剩余类可以很自然地定义类的加、减、乘法，它们与整数的加、减、乘法有完全类似的性质．
设m=p≥3为素数，f(x)=anxn+…a1x＋a0是一个n≥1次整系数多项式．若x0满足同余方程
f(x)≡0(modp)， (1)
易见一切满足t≡x0(modp)的t皆满足(1)，它们称为(1)的一个解．与代数基本定理对应，我们有如下定理．
定理(拉格朗日)若an (modp)，则(1)至多有n个解．
当n=2时，求解(1)可以归结为求解特殊形式的二次同余方程
x2≡a(modp)． (2)
A．M．勒让德(Legendre)首先定义了如下的符号，此即初等数论中著名的勒让德符号：
非剩余(即平方非剩余)．在模p的一个完全剩余系｛1，2，…，p｝中，易见除p外，二次剩余与非剩余各占一半，故
实际上，对任何整数N均有
这表明在模p的一个完全剩余系里，二次剩余与非剩余个数总是相等．一个自然的问题是：对任意整数N及任给正整数M，当a取遍区间[N＋1，N+M]中的整数时，其中二次剩余及非剩余的分布情况如何？(3)表明其中二次剩余与非剩余的个数之差为
由(5)知不妨可设1≤M＜p／2．维诺格拉多夫证明了
上式表明，当区间长度M适当大时，其中二次剩余与非剩余的个数相差甚少．正是由于这项研究成果，1915年他被授予一项奖学金，并被批准留校攻读学位．
勒让德符号实际上是以p为模的一种实原特征，它是更为广泛的狄利克雷(Dirichlet)特征χq(a)的特例，这里q是特征的模．1918年，维诺格拉多夫与波利亚互相独立地证明了：若χq(a)是以q为模的一个原特征，则对任何整数N≥1皆有
若χq(a)为非主特征，则有
这些不等式统称为波利亚-维诺格拉多夫不等式．
1977年，H．L．蒙哥马利(Montgomery)与R．C．沃恩(Vaughan)在假设广义黎曼猜想(简记为GRH)成立的条件下证明了：对非主特征有
而R．E．A．C．佩利(Paley)于1932年就构造出一列无穷多个不同的二次特征χqj(j=1，2，…)，使得
因此，(7*)与最好可能的结果(7.1)相比已经相当接近．
设n2(p)＞1为模p的最小二次非剩余．1919年，维诺格拉多夫利用(7)及素数分布的简单性质证明了
他猜想对任给ε＞0有n2(p)=O(pε)，他还猜想对任给ε＞0有 安克尼(Ankeny)证明了：若GRH成立，则有n2(p)=O(ln2p)．对于后一猜想，1967年P．D．T．A．埃利奥特(Elliott)证明了它是GRH的一个推论．这两个猜想迄今仍未获得证明．他关于二次及高次剩余分布、原根与指数分布等问题的许多结果已被D．A．伯吉斯(Burgess)等人加以改进．有关结果请见W．纳基耶维奇(Narkiewicz)所写专著第Ⅱ章及其他文献．
类数均值公式及格点问题
设a，b，c为取定的整数，称二次齐次式
f(x，y)=ax2＋bxy＋cy2
为一个二元二次型，简记为{a，b，c}，称d=b2-4ac为其判别式．若(a，b，c)=1，则称{a，b，c}为本原二次型，简称原型，这里(a，b，c)表a，b，c三数的最大公约数．
设给定两个型{a1，b1，c1}与{a2，b2，c2}，其变量分别为x，y及u，v．若有一个整系数变换
使{a1，b1，c1}变为{a2，b2，c2}，则称它们是相似型．易证相似是二次型的一种等价关系．利用它可将判别式为d的所有本原二次型分成两两不相交的等价类．用h(d)表示把判别式d的本原二次型所分成的等价类的个数．容易证明，对每个判别式d，h(d)皆有限．
对判别式为-d＜0的正定型，F．高斯(Gauss)在其所著《算术研究》(Disquisitiones arithmeticae，1801)一书第302篇中不加证明地给出一个渐近公式
1865及1874年，R．李普希茨(Lipschitz)与F．默滕斯(Mertens)先后得到(8)式的第一项(参见P．巴赫曼(Bachma-nn)著《解析数论》(Die analytische Zahlentheorie，1894)二卷十三章§16)，但他们的方法均未能得到第二项主项．
1917年，维诺格拉多夫给出了研究算术函数渐近表示中余项估计这一难题的一个新方法，它比Г．沃罗诺伊于1903年提出的方法简单，且能获得几乎相同的结果．维诺格拉多夫新方法的重点在于如下的所谓“第一基本公式”：
设k≥1，A＞29，R＞Q皆为实数，函数f(x)在区间[Q，R]中二阶可微且满足
则有
其中｛y｝表示实数y的小数部分，而
由此并利用上述李普希茨文章中的一个恒等式
即证得(8)式，并得到
R(n)＝O(n5/6(ln n)2/3)， (13)
其中μ(m)为麦比乌斯(M bius)函数，F(m)为满足某些不等式组的整值解组数．1963年他得到
R(n)=O(n2/3(lnn)6)， (14)
这一纪录至今未被打破．
维诺格拉多夫的第一基本公式可以解释成为关于由
x=Q，x=R，y=f(x)，y=0
所围成的平面区域内的整点个数的一个命题．1925年V．雅尼克(Jarnik)证明了，(11)已是基本上最好可能的结果．由是可知，维诺格拉多夫方法可用于处理域内整点问题．设p(x)表示落在球
u2＋v2+w2≤x
中的整点个数．1963年维诺格拉多夫证明了
这仍是目前已知最好的结果．
华林问题
1770年，E．华林(Waring)在《代数沉思录》(Meditationesalgebraicae)第204—205页上发表了如下的猜想：
每个自然数皆可表为四个整数的平方和，皆可表为九个非负整数的立方和，皆可表为十九个整数的四次方之和，等等．
综观其言，他实质上提出了如下的问题：对每个给定的整数k≥2，是否存在一个只与k有关的正整数s=s(k)，使每个正整数皆可表为至多s个非负整数的k次方之和？求最小正整数s(k)=g(k)，使每个正整数皆可表为g(k)个非负整数的k次方之和，此即著名的关于g(k)的华林问题．若不要求这种表示对每个正整数成立，改为要求对充分大的正整数皆成立，又以G(k)表示满足这种要求的最小的s(k)，估计G(k)的上界即著名的关于G(k)的华林问题．
1909年，D．希尔伯特(Hilbert)首次用多重积分证明了A．胡尔维茨(Hurwitz)提出而未能证明的一个恒等式，由此即得：对形如k=2c的幂k，华林问题中的s(k)是存在的．由此再用初等方法可对一般性的k证明s(k)的存在性．但希尔伯特方法所得s(k)之数值太大，方法也相当复杂，在近代数论的发展中没有找到进一步的应用．
1920—1928年间，G．H．哈代(Hardy)与J．E．李特伍德(Littlewood)在总标题为“‘Partitio numerorum’的若干问题”(Some problems of“Partitio numerorum”)的七篇论文中，系统地开创并发展了解析数论中一个新方法，此即当今著称的哈代与李特伍德的圆法．而在哈代与S．拉马努金(Ramanujan)1918年发表的一篇论文中已经有了圆法的思想．
1924年，维诺格拉多夫对希尔伯特关于华林问题的结果给出一个新证明，它相当初等，只用到傅里叶(Fourier)级数及外尔(Weyl)估计三角和的方法，而没有用圆法．E．兰道(Landau)在《数论导引》(Vorlesungen ber Zahlentheorie，1927)第一卷第六部分第五章指出，维诺格拉多夫的方法可用于求g(k)的相当满意的上界．1936年L．E．迪克森(Dickson)与S．S．皮莱(Pillai)相互独立地得到g(k)问题近乎最后的解决，其中证明的关键部分有赖于对维诺格拉多夫方法的应用．
在哈代与李特伍德上述系列文章的Ⅳ中证明了：若s≥(k-2)2k-1+5，k≥3，Rs(n)是n表为s个k次方之和的表法数，则对充分大的n有
其中 (n)大于某个正常数．由是他们首次得出显式上界
G(k)≤(k-2)2k-1+5． (17)
在1925年发表的Ⅵ中，他们纠正了上文中一个引理证明中的错误并得到：对k≥4有
G(k)≤(k-2)2k-2+k+5
他们的方法是考虑无限和
及其s次幂
由柯西积分公式有
C是以原点为圆心，半径为ρ(0＜ρ＜1)的圆周，他们在s≥s0(k)且n充分大时找到一种渐近计算积分(19)的方法．
1928年，维诺格拉多夫改为考虑有限和
及其s次幂
这里e(x)=e2πix，N=［n1/k］，而Rs(m，n)是m表为s个不超过N的非负整数k次幂和的表法个数．易见
由此他也导出了(16)，并证明了(17)．这大大简化了哈代与李特伍德的方法，也为解决数论中各种困难的问题开辟了一条更为广阔的道路．此后，他多次回到这一问题．他关于渐近公式成立时G(k)上界的最后结果是
G(k)≤2k2(2lnk＋ln lnk+5)(k≥4)． (23)
如果放弃渐近公式(16)而只证Rs(n)＞0，则可得到G(k)的好得多的上界．1934年，维诺格拉多夫第一个获得阶为klnk的上界
G(k)＜6klnk+(ln216+4)k(k≥4)． (24)
显然可证有
G(k)＞k， (25)
故(24)中的阶klnk已基本上是最好可能的了．1959年他得到：对k＞170000有
G(k)＜k(2lnk＋4lnlnk+2lnlnlnk＋13)， (26)
并且得到
1985年A．A．卡拉楚巴用p-adic方法证明了，对k≥4000有
G(k)＜2k(lnk＋lnlnk+6)， (28)
这是目前G(k)上界的最好结果．对较小的k，更好的结果请见所列文献及专著．
哥德巴赫猜想
1742年，德国数学家C．哥德巴赫(Goldbach)在与L．欧拉(Euler)的几次通信中提出了整数表为素数和的两个猜想，用现代语言来说，就是：
(A)每个≥6的偶数都是两个奇素数之和，
(B)每个≥9的奇数都是三个奇素数之和．
这就是当今著称的哥德巴赫猜想，(A)通常称为关于偶数的哥德巴赫猜想，(B)称为关于奇数的哥德巴赫猜想．直到1900年希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上的著名演讲发表之前，有关这个猜想的研究尚未取得任何实质性的进展．
哈代与李特伍德在他们上述系列论文的Ⅲ与Ⅴ(发表于1923年)中，用圆法对哥德巴赫猜想进行了研究．鉴于圆法与维诺格拉多夫方法对哥德巴赫猜想的主要贡献在于解决了猜想(B)，而对猜想(A)只能得到“几乎全体偶数皆可表为二奇素数之和”这样的结果，本文中只对涉及猜想(B)的结果加以讨论．
在Ⅲ中，哈代与李特伍德考虑了函数
及其r次幂
这里
于是
这里C1是以原点为中心、半径为e-1/n的圆周．与前类似地将积分(32)分成主项与余项，他们在余项的估计中遇到对狄利克雷L函数的零点分布缺乏了解这一重大困难．不得已假设下面的猜想(R)成立：
点皆位于半平面Rez≤θ中．
在此假设下，他们证明了：充分大的奇数n表为三个奇素数之和的表法个数N3(n)有渐近式
其中
特别地，当(R)成立时，每个充分大的奇数n皆可表为三个奇素数之和．
维诺格拉多夫在他于1937年发表的著名论文中改为考虑过素数值求和的有限三角和
用In记n表为三个奇素数和的表法个数，则与(22)式同法有
适当将[0，1]划分成基本区间(也称优弧)与余区间(也称劣弧)两部分，相应的积分分别记为In(1)与In(2)．
对In(1)用西格尔(Siegel)-瓦尔菲茨(Walfisz)定理不难给出其主项及余项估计．为估计In(2)，维诺格拉多夫对形如(35)的素变数三角和给出了非平凡的上界估计，从而不用任何假设证明了：存在常数B0(现在称为维诺格拉多夫常数)，每个奇数n≥B0皆可表为三个奇素数之和．
应用上面的证法，常数B0无法算出来，这是因为上面证明中用到的西格尔-瓦尔菲茨定理中涉及的常数不能有效地算出．为具体求出B0的上界，可用较弱的佩奇(Page)定理代替西格尔-瓦尔菲茨定理．1956年，K．Г．博罗兹德基求得
B0≤exp(exp16.038)， (37)
这个值现在完全可以得到较大的改进．
同年，维诺格拉多夫对形如
的更一般的素变数三角和得到非平凡的上界估计，这里f(x)为实系数多项式．特别当f(x)=xk时他对华林-哥德巴赫问题得到如下结果：
lnk+lnlnk+5)]，则n→∞时有
有关其他形状的素变数三角和估计及应用请见所列专著及文献．
模1一致分布
先考虑一个简单问题．设θ为一个实数，对任意给定的自然数N，考虑区间[0，1)中如下N+1个实数
0，｛θ｝，…，｛Nθ｝．
如果将［0，1)等分成N个长为1／N的子区间，则至少有两个整数a，b，0 ≤a＜b≤N，使{aθ}与{bθ}在同一子区间中，即
|｛bθ｝－｛aθ｝＜1／N．
定义k=b-a，h=[bθ]-[aθ]，则有一对整数h，k，0＜k≤N，使
|kθ—h|＜1／N≤1／k，
事实上可以要求(h，k)=1，又在θ为无理数时，满足上述要求的数对h，k有无穷多对．完全类似地可证下述命题：设θ为无理数，a为任一实数，则有无穷多对整数hn，kn(kn＞0)使
|θkn-hn-a|＜3／kn．
由此立即推出，［0，1)中每一点都是点集｛mθ｝(m=1，2，…)的极限点．那么，点集{mθ}在(0，1)中是否“均匀分布”呢？为了使“均匀分布”意义明确，我们给出如下的定义：设ω=(xn)，n=1，2，…是一个给定的实数列，我们称ω是模1一致分布的，如果对每对实数a，b，0≤a＜b≤1有
这里A(［a，b)；N；ω)表示x1，…，xn中使小数部分{xn}落在［a，b)中的项的个数．
对如何判别一致分布(modl)，有如下重要的韦尔判别法：数列(xn)，n=1，2，…为一致分布(modl)的充分必要条件是，对所有整数h≠0有
因此，能否对形如
的三角和给出适当的估计，是判别数列是否一致分布的关键．在某些重要而又困难的情形，维诺格拉多夫方法是解决这一关键困难的基本工具．
设a为一给定无理数，定义
xn=apn，n=1，2，…，
这里pn表示第n个素数，则由维诺格拉多夫估计(35)型和的方法易得
故由韦尔判别法立即证得(apn)是一致分布的．完全类似地可证：数列(f(pn))，n=1，2，…为一致分布(modl)，这里f(x)是首项系数为无理数的实系数多项式．值得一提的是，1937年P．屠阮(Turán)首次在假设GRH为真的条件下证明了(apn)的一致分布性．
带误差项的素数定理
令π(x)表示不超过x的素数个数，寻求它当x充分大时的渐近表示是19世纪近百年中数学家们的一项中心任务．1848—1850年，俄国数学家п．л．切比雪夫首开纪录，证得
1859年，黎曼在其著名论文中用新的解析方法揭示出ζ函数与素数分布之间的深刻联系．1896年，J．阿达玛(Hadamard)与C．J．德拉瓦莱-普桑(de la Vallée Poussin)相互独立地证明了素数定理：
这等价于
此后，数学家们一直致力于求π(x)-lix的最佳误差．1901年，H．冯•科克(Koch)在黎曼猜想成立的假设下证明了有
熟知，只要对ζ函数在σ=1附近的值给出适当的估计，就可以得出ζ(s)无零点区域的对应结果，从而给出π(x)-lix的相应估计．而在估计ζ函数邻近σ=1的阶时，维诺格拉多夫的三角和方法是相当有效的．1958年，维诺格拉多夫与H．М．科罗博夫相互独立地得到
(a＞0，ε＞0为任意给定的实数)，相应的ζ函数无零点区域为
这些都是迄今已知最好的结果．
本桥洋一(本桥洋一， Motohashi Yoichi)曾用筛法对形如
的无零点区域给出一个初等证明，而蒙哥马利则用另外的方法给出(46)的另一证明，这些请见他们各自的专著．
主要著作评介及对中国数论界的影响
维诺格拉多夫一生发表过一百多篇论文，出版过四部专著及两部选集．他的四部专著中，影响最大的是其中的三部：《数论基础》，以下简称《基础》；《数论中的三角和方法》，以下简称《方法》；《三角和方法的特殊变体》，以下简称《变体》．
《基础》一书初版于1936年，先后译成匈牙利文(1952)、捷克文(1953)、英文(1954)、波兰文(1954)、德文(1955)、日文(1961)、西班牙文(1971)等多种文字．1952年由上海商务印书馆初次出中文版，1956年由北京高等教育出版社出新一版，译者裘光明．我国著名数学家、中国科学院数学研究所第一任所长华罗庚教授为中译本撰写了指导性的介绍，题为“介绍《数论基础》”，对书的内容、习题及维诺格拉多夫的研究成果，给了极高的评价．
《基础》一书共分六章，介绍了初等数论的一些基本内容．每章后习题分两部分，计算题强调了计算技巧的训练；而通过理论性的习题向读者介绍了许多著名的数论问题，如：有理数逼近实数，切比雪夫不等式，圆内整点问题，狄利克雷除数问题，V．布龙(Brun)筛法，三角和估计，函数值的分数部分的估计，佩尔(Pell)方程，波利亚-维诺格拉多夫不等式，剩余与非剩余的分布等．使初学者也能对近代解析数论的一些问题与方法，特别是维诺格拉多夫方法的基本技巧有所了解．即使在今天，它也不失为一本好的参考书．
《方法》一书是维诺格拉多夫方法的代表作．1947年初版，1954年出了英文版，次年在我国《数学进展》1卷1期上印行了中文译本，译者越民义．由于维诺格拉多夫在其科学研究最初十年中的重要成就，兰道在他的前述专著中曾专辟一章对他的方法加以介绍．此后出版的许多重要数论专著中都有关于维诺格拉多夫方法的专门介绍．
在《方法》一书的引言中，维诺格拉多夫介绍了他本人自1934年以来所创立的三角和方法的要旨、应用及历史．他指出，这一方法的最基本结论是形如
的积分之估计，此即著名的维诺格拉多夫中值定理，这里
而f(x)=anxn+…+a1x
为实系数多项式．目前估计I上界的最满意的方法系由卡拉楚巴于1965年给出的，这方面的理论已推广到多重三角和中，这些发展均基于卡拉楚巴1962—1966年间提出的一种新的p-adic形式的维诺格拉多夫方法(参见《斯捷克洛夫数学研究所著作集》英译本1986年第3期(Proc．of the Steklov Institute of Math.，1986，Issue 3，pp．3—30))．
维诺格拉多夫方法的关键技巧在于对形如
的双重三角和给出非平凡估计，这里ξ(x)，η(y)是任意的复值函数，a为实数且
由柯西不等式有
右方的二重和可按几何级数来计算，由此可得W的适当估计．当然，如何把一个数论问题与一个恰当的二重三角和联系起来，这是需要相当技巧的．在该书中作者对其方法的基本工具、技巧及在华林问题、多项式值的分数部分之分布、华林-哥德巴赫问题中的应用作了较详尽的介绍．
《变体》一书出版于1976年，它与《方法》的不同之处在于，《变体》讨论的是其方法的较为简单的变体(指不需要均值定理为基础)所涉及的一些应用，如球内整点问题，G(k)上界估计，哥德巴赫奇数猜想及若干特殊的素变数三角和估计等，最后一章给出他的方法的某种初等形式(不用无穷小作工具)及若干应用．
维诺格拉多夫方法及其著作对中国及世界数学界产生了重大影响．华罗庚教授三十年代起的许多研究工作都受到维诺格拉多夫方法的深刻影响．1941年，华罗庚教授将自己对维诺格拉多夫方法的研究成果写成《堆垒素数论》一书，寄交苏联斯捷克洛夫数学研究所作为专刊发表，得到维诺格拉多夫院士的赞赏和支持．时因二次大战，该书俄文版推迟到1946年才正式出版．维诺格拉多夫院士还邀请华罗庚教授访问了苏联．华罗庚教授在数学研究所培养的第一批研究人材中，就有相当数量的人深入学习过维诺格拉多夫方法，并在后来的研究工作中反复运用这一方法取得过出色的成就．
1988年夏天在北京举行的“纪念华罗庚数论与分析国际会议”，就有卡拉楚巴等维诺格拉多夫学派传人参加．这对加强中苏两国间的学术交流，恢复并发展由维诺格拉多夫与华罗庚所建立的两国数学界(尤其是数论学界)的传统友谊，将起到良好的作用．
西方数学史上的8本名著
人类本身有一种不可弥补的缺憾，即知识无法遗传。面对人类的文明所创造的一切，每个人都必须从头再学，硕大的知识之果使人不胜重负。本文想以最简洁的文字向读者提供其精髓，包括作者、书名、发表年月、主要内容以及在学科史上的地位与价值，有一个对数学领域重大成果总体式的鸟瞰与把握。
1、《几何原本》（Elements of Euclid）
欧几里德（Euclid，前300－前275？）古希腊数学家。
本书的印刷量仅次于《圣经》，是数学史上第一本成系统的著作，也是第一本译成中文的西文名著。原名《欧几里德几何学》，明朝徐光启译时改为《几何原本》。全书13卷，从5条公设和5条公理出发，构造了几何的一种演绎体系，这种不假于实体世界，仅由一组公理实施逻辑推理而证明出定理的方法，是人类思想的一大进步。此书从写作的时代一直流传至今，对人类活动起着持续的重大影响，直到19世纪非欧几里德几何出现以前，一直是几何推理、定理和方法的主要来源。
2、《算术研究》（Disquisitiones Arithmetical，1798）
高斯（C.F.Gauss，1774－1855），德国数学家。
“数学之王”的称号可以说是对高斯极其恰当的赞辞。他与阿基米德、牛顿并列为历史上最伟大的数学家。他的名言“数学，科学的皇后；算术，数学的皇后”，贴切地表达了他对于数学在科学中的关键作用的观点。他24岁时发表了这本书，这是数学史上最出色的成果之一，系统而广泛地阐述了数论里有影响的概念和方法。由此推倒了18世界数学的理论和方法，以革新的数论开辟了通往19世纪中叶分析学的严格化道路。高斯立论极端谨慎，有3个原则：“少些；但要成熟”：“不留下进一步要做的事情”。
3、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1854）
黎曼（B.Riemann，1826－1866），德国数学家。
黎曼是19世纪最有创造力的数学家之一。虽然他没有活到40岁，著作也不多，但几乎每篇文章都开创了一个新的领域。本篇是黎曼在格丁根大学任大学讲师时的就职演讲，是数学史上最著名的演讲之一，题为“关于构成几何基础的假设”。在演讲中黎曼独立提出了非欧几里德几何，即“黎曼几何”，又称椭圆几何。他的这一关于空间几何的独具胆识的思想，对近代理论物理学发生深远的影响，成为爱因斯坦相对论的几何基础。
4、《集合一般理论的基础》（Foundations of a General Theory of Aggregates，1883）
康托尔（G.Cantor，1845－1918），德国数学家。
康托尔创立的集合论，是19世纪最伟大的成就之一。本书是康托尔研究集合论的专著。他通过建立处理数学中无限的基本技巧而极大地推动了分析和逻辑的发展，凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新的思想模式。
5、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1899）
希耳伯特（D.Hilbert，1862－1943），德国数学家。
希耳伯特是整个一代国际数学界的巨人。由高高斯、狄利克雷和黎曼于19世纪开创的生气勃勃的数学传统在20世纪的头30年中主要由于希耳伯特而更为显赫著名。在本书中，希耳伯特用几何学的例子来阐述公理体系的集合理论的处理方法，它标志着几何学公理化处理的转折点。希耳伯特的名言：“我必须知道，我必将知道”，总结了他献身数学并以毕生业务使之发展到新水平的激情。
6、《测度的一般理论和概率论》（General Theoey of Measure and Probability Theory，1929）
柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov，1903－1993），苏联数学家。
柯尔莫哥洛夫是20世纪最有影响的苏联数学家。他对许多数学分支贡献了创造性的一般理论。此篇论文是研究概率的名作，在随后的50年中被人们作为概率论的完全公理而接受。在1937年又出版《概率论的解析方法》一书，阐述了无后效的随机过程理论的原理，标志着概论论发展的一个新时期。
7、《论＜数学原理＞及其相关系统形式不可判定命题》（On Formally Undecidble Propositions of Principia Mathematica and Related Systems，1931）
哥德尔（K.Godel，1906－1978），美籍奥地利数学家。
哥德尔在本篇中给出了著名的哥德尔证明，其内容是，要任何一个严格的数学系统中，必定有用本系统内的公理无法证明其成立或不成立的命题，因此，不能说算术的基本公理不会出现矛盾。这个证明成了20世纪数学的标志，至今仍有影响和争论。它结束了近一个世纪来数学家们为建立能为全部数学提供严密基础公理的企图。
8、《数学原理》（Elements Mathematique I-XXXIX，1939－）
本书的署名是布尔巴基（Bourbiaki），他不是一个人，而是对现代数学影响巨大的数学家集团。在本世纪30年代由法国的一群年轻数学家结合而成他们把人类长期积累的数学知识按照数学结构整理而成为一个井井有条、博大精深的体系，已出版的近40卷的《数学原理》成为一部经典著作，成为许多研究工作的出发点和参考指南，并成为蓬勃发展的数学科学的主流，这套巨著究竟何时算完，谁也说不清。但是这个体系连同布尔巴基学派对数学的其他贡献，在数学史上是独一无二的。
1、《几何原本》（Elements of Euclid）
欧几里德（Euclid，前300－前275？）古希腊数学家。
本书的印刷量仅次于《圣经》，是数学史上第一本成系统的著作，也是第一本译成中文的西文名著。原名《欧几里德几何学》，明朝徐光启译时改为《几何原本》。全书13卷，从5条公设和5条公理出发，构造了几何的一种演绎体系，这种不假于实体世界，仅由一组公理实施逻辑推理而证明出定理的方法，是人类思想的一大进步。此书从写作的时代一直流传至今，对人类活动起着持续的重大影响，直到19世纪非欧几里德几何出现以前，一直是几何推理、定理和方法的主要来源。
2、《算术研究》（Disquisitiones Arithmetical，1798）
高斯（C.F.Gauss，1774－1855），德国数学家。
“数学之王”的称号可以说是对高斯极其恰当的赞辞。他与阿基米德、牛顿并列为历史上最伟大的数学家。他的名言“数学，科学的皇后；算术，数学的皇后”，贴切地表达了他对于数学在科学中的关键作用的观点。他24岁时发表了这本书，这是数学史上最出色的成果之一，系统而广泛地阐述了数论里有影响的概念和方法。由此推倒了18世界数学的理论和方法，以革新的数论开辟了通往19世纪中叶分析学的严格化道路。高斯立论极端谨慎，有3个原则：“少些；但要成熟”：“不留下进一步要做的事情”。
3、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1854）
黎曼（B.Riemann，1826－1866），德国数学家。
黎曼是19世纪最有创造力的数学家之一。虽然他没有活到40岁，著作也不多，但几乎每篇文章都开创了一个新的领域。本篇是黎曼在格丁根大学任大学讲师时的就职演讲，是数学史上最著名的演讲之一，题为“关于构成几何基础的假设”。在演讲中黎曼独立提出了非欧几里德几何，即“黎曼几何”，又称椭圆几何。他的这一关于空间几何的独具胆识的思想，对近代理论物理学发生深远的影响，成为爱因斯坦相对论的几何基础。
4、《集合一般理论的基础》（Foundations of a General Theory of Aggregates，1883）
康托尔（G.Cantor，1845－1918），德国数学家。
康托尔创立的集合论，是19世纪最伟大的成就之一。本书是康托尔研究集合论的专著。他通过建立处理数学中无限的基本技巧而极大地推动了分析和逻辑的发展，凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新的思想模式。
5、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1899）
希耳伯特（D.Hilbert，1862－1943），德国数学家。
希耳伯特是整个一代国际数学界的巨人。由高高斯、狄利克雷和黎曼于19世纪开创的生气勃勃的数学传统在20世纪的头30年中主要由于希耳伯特而更为显赫著名。在本书中，希耳伯特用几何学的例子来阐述公理体系的集合理论的处理方法，它标志着几何学公理化处理的转折点。希耳伯特的名言：“我必须知道，我必将知道”，总结了他献身数学并以毕生业务使之发展到新水平的激情。
6、《测度的一般理论和概率论》（General Theoey of Measure and Probability Theory，1929）
柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov，1903－1993），苏联数学家。
柯尔莫哥洛夫是20世纪最有影响的苏联数学家。他对许多数学分支贡献了创造性的一般理论。此篇论文是研究概率的名作，在随后的50年中被人们作为概率论的完全公理而接受。在1937年又出版《概率论的解析方法》一书，阐述了无后效的随机过程理论的原理，标志着概论论发展的一个新时期。
7、《论＜数学原理＞及其相关系统形式不可判定命题》（On Formally Undecidble Propositions of Principia Mathematica and Related Systems，1931）
哥德尔（K.Godel，1906－1978），美籍奥地利数学家。
哥德尔在本篇中给出了著名的哥德尔证明，其内容是，要任何一个严格的数学系统中，必定有用本系统内的公理无法证明其成立或不成立的命题，因此，不能说算术的基本公理不会出现矛盾。这个证明成了20世纪数学的标志，至今仍有影响和争论。它结束了近一个世纪来数学家们为建立能为全部数学提供严密基础公理的企图。
8、《数学原理》（Elements Mathematique I-XXXIX，1939－）
本书的署名是布尔巴基（Bourbiaki），他不是一个人，而是对现代数学影响巨大的数学家集团。在本世纪30年代由法国的一群年轻数学家结合而成他们把人类长期积累的数学知识按照数学结构整理而成为一个井井有条、博大精深的体系，已出版的近40卷的《数学原理》成为一部经典著作，成为许多研究工作的出发点和参考指南，并成为蓬勃发展的数学科学的主流，这套巨著究竟何时算完，谁也说不清。但是这个体系连同布尔巴基学派对数学的其他贡献，在数学史上是独一无二的。
2009年1月9日星期五
希尔伯特提出的23个世界数学难题
1900年德国数学家希尔伯特在巴黎第二届国际数学家代表会上提出23个重要的数学问题，称为希尔伯特数学问题﹝Hilbert's Mathematical Problems﹞。内容涉及现代数学大部份重要领域，目的是为新世纪的数学发展提供目标和预测成果，结果大大推动了20世纪数学的发展。该23个问题的简介如下：1. 连续统假设。
2. 算术公理体系的兼容性。
3. 只根据合同公理证明底面积相等、高相等的两个四面体有相等的体积是不 可 能的。即不能将这两个等体积的四面体剖分为若干相同的小多面体。4. 直线作为两点间最短距离的几何结构的研究。
5. 拓扑群成为李群的条件。
6. 物理学各分支的公理化。
7. 某些数的无理性与超越性。
8. 素数问题。包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等问题。
9. 一般互反律的证明。
10. 丢番图方程可解性的判别。
11. 一般代数数域的二次型论。
12. 类域的构成问题。具体为阿贝尔域上的克罗内克定理推广到作意代数有理 域。
13. 不可能用只有两个变量的函数解一般的七次方程。
14. 证明某类完全函数系的有限性。
15. 舒伯特计数演算的严格基础。
16. 代数曲线与曲面的拓扑研究。
17. 正定形式的平方表示式。
18. 由全等多面体构造空间。
19. 正则变分问题的解是否一定解析。
20. 一般边值问题。
21. 具有给定单值群的线性微分方程的存在性。
22. 用自守函数将解析关系单值化。
23. 发展变分学的方法。
1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
3．两个等底等高四面体的体积相等问题
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。6.物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。
7.某些数的无理性与超越性 1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0 ，1，和任意代数无理数β证明了αβ 的超越性。
8.素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。
9．在任意数域中证明最一般的互反律该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。
10．丢番图方程的可解性能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。11．系数为任意代数数的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。
12．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。
13．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x （a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。
14．证明某类完备函数系的有限性这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。
15．舒伯特计数演算的严格基础一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。16．代数曲线和代数曲线面的拓扑问题这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。
17．半正定形式的平方和表示一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。
18．用全等多面体构造空间由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。
19．正则变分问题的解是否一定解析对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。
20．一般边值问题这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。
21．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。
22．由自守函数构成的解析函数的单值化它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。
23．变分法的进一步发展出这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。
这23问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数学的发展。
2. 算术公理体系的兼容性。
3. 只根据合同公理证明底面积相等、高相等的两个四面体有相等的体积是不 可 能的。即不能将这两个等体积的四面体剖分为若干相同的小多面体。4. 直线作为两点间最短距离的几何结构的研究。
5. 拓扑群成为李群的条件。
6. 物理学各分支的公理化。
7. 某些数的无理性与超越性。
8. 素数问题。包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等问题。
9. 一般互反律的证明。
10. 丢番图方程可解性的判别。
11. 一般代数数域的二次型论。
12. 类域的构成问题。具体为阿贝尔域上的克罗内克定理推广到作意代数有理 域。
13. 不可能用只有两个变量的函数解一般的七次方程。
14. 证明某类完全函数系的有限性。
15. 舒伯特计数演算的严格基础。
16. 代数曲线与曲面的拓扑研究。
17. 正定形式的平方表示式。
18. 由全等多面体构造空间。
19. 正则变分问题的解是否一定解析。
20. 一般边值问题。
21. 具有给定单值群的线性微分方程的存在性。
22. 用自守函数将解析关系单值化。
23. 发展变分学的方法。
1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
3．两个等底等高四面体的体积相等问题
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。6.物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。
7.某些数的无理性与超越性 1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0 ，1，和任意代数无理数β证明了αβ 的超越性。
8.素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。
9．在任意数域中证明最一般的互反律该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。
10．丢番图方程的可解性能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。11．系数为任意代数数的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。
12．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。
13．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x （a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。
14．证明某类完备函数系的有限性这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。
15．舒伯特计数演算的严格基础一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。16．代数曲线和代数曲线面的拓扑问题这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。
17．半正定形式的平方和表示一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。
18．用全等多面体构造空间由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。
19．正则变分问题的解是否一定解析对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。
20．一般边值问题这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。
21．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。
22．由自守函数构成的解析函数的单值化它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。
23．变分法的进一步发展出这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。
这23问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数学的发展。
2008年12月14日星期日
中国数学史
数学是中国古代科学中一门重要的学科，它的历史悠久，成就辉煌。根据它本身发展的特点，可以分为五个时期：①中国古代数学的萌芽；②中国古代数学体系的形成；③中国古代数学的发展；④中国古代数学的繁荣；⑤中西方数学的融合。
中国古代数学的萌芽 原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有｜,,,等表示1，2，3,4的符号。《易·繫辞》中说:“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。”这就是说，到原始公社末期，人们已开始用文字符号取代结绳记事了。西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案,半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形(见彩图)。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载。夏禹治水时已使用了这些工具。
商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期。在周代，又把以前用阴(--)、阳(-)符号构成的八卦表示8种事物发展为六十四卦,表示64种事物。公元前1世纪的《周髀算经》 提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法,他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练,作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。
春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用。筹算记数法已使用十进位值制。约公元前 4世纪的《墨经》描述这种记数法时说：“一少于二而多于五。说在建位。”这就是说，一在个位少于二，在十位就多于五，每个数字的大小除由它本身所表示的数值决定外，还要看它在整个数中所处的位置。根据后来约公元 4世纪的《孙子算经》的记载,任何数都是由九个纵排数字｜和九个横排数字－＝按个、百、万等用纵筹,十、千等用横筹来表示,零用空位表示。这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。在《考工记》中,已分别用矩、勾、倨、宣、、柯、磬析表示直角、锐角、钝角、45°、67°30┡、101°15┡、151°52.5┡（或135°）,还有用规(圆周)的部分(圆弧)来表示刀和弓的大小，例如“合六而成规”，“合九而成规”，“合七而成规”等等。战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”（无穷大）定义为“至大无外”,“小一”（无穷小）定义为“至小无内”,还提出“轮不辗地”、“南方无穷而有穷”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如，圆：一中同长也（从中心到周界有相同长度）；方：柱隅四殻也（四边四角皆正）；平：同高也（高度相等）；直：参也（三点相齐）；次（相切）：无间而不相樱也（既无大小又不相合）；端(点)：体之无厚而最前者也(部分中没有大小并处于最前缘者)，等等。墨家提出“环俱抵”（圆环转动时每一点都与地面接触而形成一根直线）来反驳名家的“轮不辗地”，次的定义显然来源于此。他们认为，在区域的前缘连一根线也容纳不下（域不容尺）称为“有穷”；不论区域多大，在其前缘总能容下一线之宽(莫不容尺)，称为“无穷”。因此在墨家看来，一个具体的空间不能既是“有穷”，又是“无穷”的。墨家也不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点（非半弗则不动，说在端）。名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论对中国古代数学理论的发展是很有意义的。
中国古代数学体系的形成 秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科以及《九章算术》为代表的数学著作的出现。《汉书·艺文志》载有《许商算术》2卷和《杜忠算术》16卷，但均已失传。1983年12月在湖北江陵张家山出土一本西汉初年的《算数书》，收有许多应用的数学问题。现有传本的著作是公元前1世纪的《周髀算经》和公元1世纪的《九章算术》(见彩图)。《周髀算经》是一部讲述盖天学说的天文著作，书中有较复杂的开方、分数运算和勾股定理的应用等数学问题。
《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算，今有术(西方称三率法)，开平方与开立方（包括二次方程数值解法），盈不足术（西方称双设法），各种面积和体积公式，线性方程组解法，正负数运算的加减法则，勾股形解法（特别是勾股定理和求勾股数的方法）等,水平都是很高的,其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。
《九章算术》有几个显著的特点：①采用按类分章的数学问题集的形式；②算式都是从筹算记数法发展起来的，这些算式表示法紧密地依赖于数字在图式上的位置；③以算术、代数为主,几何也是偏重于量的计算,很少涉及图形的性质;④重视应用,缺乏理论阐述。这些特点同当时社会条件与学术思想有关。秦汉时期，一切科学技术要求密切为当时确立和巩固封建制度以及发展社会生产服务。秦始皇为了推行中央集权制，重用荀派儒学和法家刑名之学，甚至不惜采取焚书坑儒的措施。汉武帝以后，为了巩固封建政权，接受董仲舒“罢黜百家，独尊儒术”的意见，把经董仲舒改造的儒家思想作为统治阶级的思想。西汉末年著名学者刘歆曾经谈到对数学的看法,他说:“夫推历、生律、制器、规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量、探赜索隐，钩深致远，莫不用焉。度长短者不失毫厘,量多少者不失圭撮,权轻重者不失黍絫。”刘歆这种强调数学应用的看法是具有代表性的。最后成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。
《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。
中国古代数学的发展 魏、晋数学的发展 魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，各抒己见，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能善于运用逻辑思维，分析义理。这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注 2卷（已失传）,魏末晋初刘徽撰《九章算术》注10卷(263)、《九章重差图》1卷（已失传）都是出现在这个时期,赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的5个公式；在“日高图及注”中,他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。
刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行"析理"，才能使数学著作简明严密，利于读者。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。例如，刘徽从率（后称为比）的定义出发论述了分数运算和今有术的道理，并推广今有术得到合比定理，他根据率、线性方程组和正负数的定义阐明方程组解法中消元的道理，指出方程式个数少于未知数个数时，方程组的解只能是一个比值；在一个方程式中，正与负可以同时变号；减法消元和加法消元可以统一为一种方法。刘徽指出，在开方求得整数后，还可以继续开方，“求其微数”。这不仅解决了求无理根的问题，而且提出了十进小数的方法。他创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式,并首次用理论的方法算得圆周率和。他提出用无穷分割的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之比恒为2:1,解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽实际上应用了下列公理：等高的两立体，若其任意同高处的水平截面积成比例，则这两立体体积亦成同样的比例；并根据这个公理,指出球的体积与其外切“牟合方盖”(两个等半径的圆柱正交的共同部分,（见彩图)的体积之比为π:4，为彻底解决球的体积提出了正确的途径。
刘徽在数学理论上取得如此重大的成就，除和他那个时代重视理论探讨的学术风气有关外，作为个人，有两点是十分重要的。第一，反对今文经学中的阴阳奇偶学说。在《九章算术·少广》章开立圆术注中,刘徽批评张衡在推导球的体积时，为了附会阴阳奇偶的学说而不顾疏密是一种弊病。第二，反对古文经学的繁琐和守旧思想。在《九章算术·方田》章圆田术注和《九章算术·方程》章末题注中他批评当时学者的"踵古"思想和“胶柱调瑟”不知变通的思想,认为数学如“疱丁之理”,应该讲求技巧，见简即用。
南北朝数学的发展 东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。在北方，由于当时社会的需要，在《九章算术》的基础上，数学仍在继续发展。《孙子算经》、《夏侯阳算经》（已失传）、《张丘建算经》就是这个时期的著作。从留传下来的《孙子算经》与《张丘建算经》来看，它们仍依《九章算术》的体例，甚至有些题目也是为了解释《九章算术》的算法。也有一些难题和解法超出《九章算术》的范围，并对后来数学的发展有着相当的影响，例如一次同余式组解法，等差级数求和、求公差、求项数的方法和不定方程解法等。
祖冲之父子的工作则是经济文化南移以后南方数学发展的具有代表性的工作，他们在《九章算术》刘徽注的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。根据史书的记载,祖冲之曾经注解《九章算术》,并与他的儿子祖暅共撰《缀术》六卷。这些著作均已失传。在《隋书·律历志》与李淳风《九章算术》注等零星记载中，他们的数学工作主要有下列几项。
① 圆周率 据推测, 祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积,从而得到 3.1415926< π <3.1415927。他又创造了新的方法，得到圆周率两个分数值,即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久。
② 祖暅公理和球体积 祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积必相等，这就是著名的祖暅公理。祖暅应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。
③ 二次与三次方程 《隋书· 律历志》在叙述祖冲之的圆周率以后说：“又设开差幂,开差立,兼以正负参之。指要精密，算氏之最者也。”中国古代称正系数的二次与三次方程解法为开带从平方和开带从立方，祖冲之用“差幂”取代带从平方，用“差立”取代带从立方,应指包括负系数在内的二次与三次方程的解法,因为只有负系数的方程在开方时才需“兼以正负参之”。这一数学工作确实是划时代的重大成就。
祖冲之父子这些成就也和他们的数学思想有关。和刘徽一样，祖冲之强烈反对踵古,他在大明六年(462)和戴法兴辩论历法时，提出对古代一切历法理论都要加以核验,决不“虚推古人”。他重视实践,为了制定一个准确的历法，他不辞劳苦，长期进行观测。他认为日、月、五星运行的速度“非出神怪,有形可验,有数可推”。祖暅也十分重视数学思维和数学推理，他提出，如果不能从已知条件直接导出结论时，可以假借相同的条件来进行分析（控远以演类，借况以折微）；在谈到球体积公式还没有解决时说：“夫岂难哉，抑末之思也。”言外之意是，他的球体积公式是经过逻辑思维推得的。
隋、唐数学的发展 隋炀帝好大喜功,大兴土木,客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》,主要是讨论土木工程中计算土方、工程的分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学发展的情况。已知不等高的长方棱台体积和上底、下底、高、长的差，求上底、下底、高和长是一个三次方程问题。王孝通的主要贡献是在《九章算术》的基础上，在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要,也为后来天元术的建立打下基础。此外,对传统的勾股形解法，他也有所发展，已知勾股形的勾股积与勾股差（或股弦差），求勾股，这类问题王孝通也是用数字三次方程解决的（见王孝通）。
唐初封建统治者继承隋制,656年在国子监设立算学馆,设有算学博士和助教,学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本。明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的;他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解,对读者是有帮助的(见《算经十书》)。
隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。206年,为了确定合朔时刻，刘洪在《乾象历》中首次提出用一次内插公式来确定月球在n+s（n为正整数，s<1）日共行的度数。600年,隋代天文学家刘焯在《皇极历》中提出一个推算日、月、五星视行度数的等间距二次内插公式。727年一行（张燧,683～727）在他的《大衍历》中又提出一个不等间距的二次内插公式。唐代其他历法，都应用内插法进行计算。
计算技术的改革 算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革。现传本《数术记遗》（题东汉徐岳撰,北周甄鸾注）载有“积算”、“太乙”、“两仪”、“三才”、“五行”、“八卦”、“九宫”、“运筹”、“了知”、“成数”、“把头”、“龟算”、“珠算”、“计数”等14种算法,反映了这种改革的情况。其中“太乙算”、“两仪算”、“三才算”和“珠算”都是用珠的槽算盘，在技术上是一项重要的改革。尤其是“珠算”,它继承了筹算五升十进与位值制的优点,又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用。
唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，书目中提到的“一位算法”、“求一”、“得一”的内容就是用分解因数的方法；化多位乘除为个位乘除；或用折半、加倍、退位的方法把乘除数化为首位是1的数,从而变乘除为加减。现传本《夏侯阳算经》记有很多这样的例子，例如“九因五添”、“添四四”、“身外减二”、“隔位加二”、“损一位”等等，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。
中国古代数学的繁荣 960年,北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣,科学技术突飞猛进,火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》。1213年鲍澣之又进行翻刻。这些情况为数学发展创造了良好的条件。从11～14世纪约300年期间,出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪（11世纪中期）的《黄帝九章算法细草》(已失传)，刘益(12世纪中期)的《议古根源》（已失传），秦九韶的《数书九章》 (1247),李冶的《测圆海镜》 (1248)和《益古演段》 (1259)，杨辉的《详解九章算法》(1261)、《日用算法》（1262）和《杨辉算法》(1274～1275)，朱世杰的《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》 (1303)等,很多领域都达到古代数学的高峰。其中一些成就也是当时世界数学的高峰。
增乘开方法与贾宪三角（二项系数表） 从开平方、开立方到4次以上的开方，在认识上是一个飞跃,实现这个飞跃的是贾宪。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方作法本源”图（见彩图）“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开 4次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其中贾宪三角比巴斯卡三角形早600多年。
高次方程数值解法 把增乘开方法推广到数字高次方程（包括系数为负的情形）解法的是刘益（12世纪中期）。《杨辉算法》中《田亩比类乘除捷法》卷下介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程,后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程（最高次数为10）的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，秦九韶把常数项规定为负数。他把高次方程解法分成各种类型,如：n次项系数不等于1的方程,奇次幂系数均为零的方程,进行x=y+с代换后常数项变号的方程与常数项符号不变而绝对值增大的方程等。方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母、常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第 2位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第 2位数的试除法。秦九韶的方法比霍纳方法早500多年。
高阶等差级数求和 高阶等差级数求和起源于沈括的"隙积术"。沈括在《梦溪笔谈》卷十八中提出,用棋子之类的东西堆成长方垛，棋子总数为
(αb)是第一层的个数，сd是第n层的个数)。杨辉在《详解九章算法》中讨论了上述垛积的 3个特例。即方亭垛(α＝b,с＝d)、方锥垛(α=b=1，с=d=n)和三角垛。朱世杰把高阶等差级数求和问题与二项系数表结合起来，得到三角形垛
和岚形垛
。
内插法 元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》(1280)中解决了三次函数的内插值问题。秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰在《四元玉鉴》“如象招数”题都提到内插法（他们称为招差术），朱世杰得到一个四次函数的内插公式。
一次同余式组解法 《孙子算经》“物不知数”题已提到一次同余式组解法的例子,秦九韶把它一般化。在这个方法中有一个必须解决的关键问题是求同余式kiGi呏1(mod αi)中的ki,式中。秦九韶在《数书九章》大衍类里，用更相减损的方法给出ki一个计算程序，完满地解决了这个问题，此外，秦九韶还讨论了模数αi是收数(小数)、通数(分数)、元数（一般正整数）、复数（10n的倍数）非两两互素的情形,并分别给出变上述4种数为两两互素的模数的方法。
高次方程立法 用天元（相当于现在的 x）作为未知数符号,立出高次方程,古代称为天元术。这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。李冶在一次项系数右旁记一“元”字（或在常数项右旁记一“太”字）。元以上的系数分别表示各正次幂，元以下的系数表示常数和各负次幂（在《益古演段》中又把这个次序倒转过来）。建立方程的具体方法是，根据问题的已知条件,列出两个相等的多项式p1(x)和p2(x)，令二者相减，即得一个数字高次方程。若其中一个多项式是分式多项式，如
,李冶则变另一多项式p2(x)为,使二者相减时消去分式多项式的分母，得 。这是刘徽关于率的概念在多项式运算中的应用与发展。
高次联立方程组 从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。祖颐在《四元玉鉴》后序中提到，平阳李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，霍山刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元。燕山朱汉卿“按天、地、人、物立成四元”。前二书已失传，留传至今并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。朱世杰的四元高次联立方程组表示法无疑是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央。四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法。其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，得到一个一元高次方程。最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展。朱世杰的方法比西方同类方法早400多年。
勾股形解法 勾股形解法在宋元时期有新的发展，朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法, 补充了《九章算术》的不足。 李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到一系列的结果。他把容圆勾股形分成14个相似的勾股形，除按传统的方法给出这些勾股形的名称外，还用文字作符号来表示，与现今用字母A，B，C,…表示几何图形相似。从14个勾股形中，李冶得到692条“识别杂记”,阐明各勾股形的线段之间与线段的和、差、积之间的关系。除原有的勾股容圆外，李冶得到勾上容圆、股上容圆、弦上容圆、勾股上容圆、勾外容圆、股外容圆、弦外容圆、勾外容圆半、股外容圆半等9个容圆公式,大大丰富了中国古代几何学的内容。
弧矢割圆术 已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧,求赤经余弧和赤纬度数,是一个解球面直角三角形的问题。传统历法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、沈括的会圆术(已知弦、矢、半径求弧长的近似公式)和天元术解决了这个问题。由于王恂、郭守敬求直径时用圆周率3以及沈括的公式是一个近似公式,因此结果不够精确。除此以外，整个推算步骤是正确无误的。从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径。
纵横图 纵横图又称幻方，根据《乾凿度》和东汉郑玄注,至迟在汉代已有一个三行纵横图。宋元时期,纵横图研究有了很大发展，杨辉在《续古摘奇算法》中记录了这方面的成就。杨辉指出,九宫图是一个从1～32的9个自然数排成三行三列,其行、列或对角线之和均为15的三行纵横图。这种图可以推广到从 1到n2的情形，它的行、列或对角线之和为n(1+n2)/2。他还列出四行、五行、六行、七行、八行、九行、十行8个纵横图,并指出三行和四行纵横图的构造方法。杨辉的这一工作为这个领域的研究开辟了道路。
小数 现传本《夏侯阳算经》已有化名数为十进小数的例子。宋元时代，这种十进小数有了广泛应用和发展，秦九韶用名数作为小数的符号,例如18.56寸表示如图1;李冶则依靠算式的位置表示,例如－8.25x2+2.673=0表示如图2。杨辉和朱世杰的化斤价为两价的歌诀，是小数的具体应用。
珠算的出现 中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多。改革的主要内容仍是乘除法。“留头乘”最早见于朱世杰《算学启蒙》。“九归”最早出现在沈括的《梦溪笔谈》，杨辉在《乘除通变本末》(1274)、朱世杰在《算学启蒙》中进一步把它完善。“归除”最早见于《算学启蒙》，“撞归”、“起一”是朱世杰首先提出来的，丁巨（著有《丁巨算法》，1355）、何平予（著有《详明算法》，1373）和贾亨（著有《算法全能集》）把它具体化。“留头乘”与“归除”的出现，使乘除法不需任何变通便可在一个横列里进行，与现今珠算的方法完全一样。与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋已可能出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘,又有一套完善的算法和口诀,那么应该说它最后完成于元代。
宋元数学的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果，是传统数学发展的必然结果。此外，数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的。宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义。李冶曾批评朱熹著作，说它不通的地方很多。他指出，说数学难认识是可以的，但说数学不能认识就不对；他认为数学来源于自然界，“苟能推自然之理”就可以“明自然之数”。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来也认识到，“通神明”的数学是不存在的，只有“经世务类万物”的数学。莫若在《四元玉鉴》序文中提出的“用假象真，以虚问实”则代表了朱世杰高度抽象思维的思想方法，杨辉对纵横图结构进行研究，揭示出洛书的本质，有力地批判了象数神秘主义。所有这些，无疑是促进数学发展的重要因素。
中、西方数学的融合 明代进入了封建社会的晚期，封建统治者实行极权统治，宣传唯心主义哲学，施行八股考试制度。在这种情况下，除珠算外，数学发展逐渐衰落。16世纪末以后，西方初等数学陆续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面。鸦片战争以后，近代数学开始传入中国，中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期,直到19世纪末与20世纪初,近代数学研究才真正开始。
珠算的普及 从明初到明中叶，商品经济有所发展，和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初《魁本对相四言杂字》(1371)和《鲁班木经》(15世纪上半叶)的出现，说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本，后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。随后，珠算著作也陆续出现。如吴敬《九章详注比类算法大全》（1450）、王文素《古今算学宝鉴》(1524)、徐心鲁《盘珠算法》(1573)、柯尚迁《数学通轨》(1578)、朱载堉的《算学新说》（1584）、程大位《直指算法统宗》(1592)等。随着珠算的普及，珠算算法和口诀也逐渐趋于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀；徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除，从而实现了珠算四则运算的全部口诀化；朱载堉和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算，程大位用珠算解数字二次、三次方程等等。程大位的著作在国内外流传很广，影响很大。
早期传入的西方数学 1582年意大利传教士利玛窦到中国,1607年以后,先后与徐光启翻译《几何原本》前6卷(1607)、《测量法义》1卷(1607～1608)，与李之藻编译《圜容较义》(1608)和《同文算指》(1613)。1629年，徐光启被礼部任命在历局督修历法,在他主持下,编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说，作为这一学说的数学基础，希腊的几何学,欧洲玉山若干的三角学以及纳皮尔算筹,伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来。
在传入的数学中,影响最大的是《几何原本》。《几何原本》是现传的中国第一部数学翻译著作。绝大部分数学名词都是首创，其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它“不必疑”,“不必改”,“举世无一人不当学”。他所著的《测量异同》和《勾股义》，就是应用《几何原本》的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术。他主编的《崇祯历书》,天文学和数学基本理论占全书30％,充分说明他对理论的重视。《几何原本》是明清两代数学家必读的数学书，对他们的研究工作也颇有影响。其次，应用最广的是三角学。介绍西方三角学的著作有邓玉函编译的《大测》2卷(1631)、《割圆八线表》6卷和罗雅谷的《测量全义》10卷（1631）。《大测》主要说明三角八线（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢）的性质，造表方法和用表方法。《测量全义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外，比较重要的是积化和差公式和球面三角（直角三角形的弧与角的关系式和一般三角形的正弦定理和余弦定理）。所有这些，在当时历法工作中都是随译随用的。
中西数学的会通 1646年，波兰传教士穆尼阁来华，跟随他学习西方科学的有薛凤祚、方中通等。穆尼阁去世后，薛凤祚据其所学，编成《历学会通》，想把中法西法融会贯通起来。《历学会通》中的数学内容主要有《比例对数表》1卷（1653）、《比例四线新表》1卷和《三角算法》1卷(1653)。前两书是介绍英国数学家 J.纳皮尔和H.布里格斯发明增修的对数。后一书除《崇祯历书》介绍的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式（Delambres analogies）、 纳氏比例式(Nepiers analogies)等。方中通所著《数度衍》(1641)，对对数理论进行解释。对数的传入是十分重要，它在历法计算中立即就得到应用。
清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多，影响较大的有王锡阐《图解》1卷,梅文鼎《梅氏丛书辑要》60卷(其中数学著作13种共40卷)，年希尧《视学》2卷等。王锡阐的工作主要是证明两角和、差的正弦和余弦公式。为了证明上述公式，他对涉及的名词概念都逐一加以定义,引入“折”的概念取代角;由于缺乏直角坐标系的概念，在证明时他还把两弧和两弧的和差分为小于象限或大于象限的各种情形，方法是独具一格的。梅文鼎是集中西数学之大成者。他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究，使濒于枯萎的明代数学出现了生机，在介绍西方数学中有校正、证明和补充。例如：校正了罗雅谷关于比例规叙述中的错误，证明三角学中没有证明的公式和定理等。梅文鼎认为传统的勾股形解法就是西方的几何学和三角学，他用勾股形解法的公式证明《几何原本》前6卷的15个定理,用勾股方法证明球面直角三角形的边角关系公式。他创造一种直角射影的方法证明球面三角学的余弦定理。对《测量全义》介绍的 5种多面体公式,他证明了其中4种,其中关于二十面体的计算,他纠正了《测量全义》和罗雅谷的错误等。梅文鼎肯定数学来源于实际；对西方数学，他认为“技取其长而理唯其是”，“法有可采何论东西,理所当明何分新旧”,应该“去中西之见,以平心观理”,态度是比较正确的。年希尧的《视学》是中国第一部介绍西方透视学的著作。
清康熙皇帝十分重视西方科学，他除了亲自学习天文数学外，还培养了一些人才和翻译了一些著作。1712年康熙皇帝命梅瑴成任蒙养斋汇编官，会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书。1721年完成《律历渊源》100卷,以康熙“御定”的名义于1723年出版。其中《数理精蕴》53卷主要由梅瑴成负责，分上下2编，上编包括《几何原本》3卷、《算法原本》1卷,均译自法文著作；下编40卷，包括算术、代数、平面几何、平面三角、立体几何等初等数学，附有素数表、对数表和三角函数表。《数理精蕴》的基本内容除传统数学和早期传入的西方数学外，新传入的数学有借根方比例、“连比例”方法，椭圆面积和椭球体积以及计算尺、素数表等。由于它是一部比较全面的初等数学百科全书,并有康熙“御定”的名义，因此对当时数学研究是具有一定影响的。
1701年法国人杜德美带来J.格雷果里的"弧求正弦"、“弧求正矢”和I.牛顿的“圆径求周”三个无穷级数的公式，但没有证明。1800年前后，明安图、董祐诚、项名达各自依据《数理精蕴》提出的“连比例”方法，对这些级数进行研究，获得一些创造性结果。明安图著有《割圆密率捷法》4卷 (1774年由他的学生陈际新定稿)，他除了证明杜德美传入的 3个公式外，还创造“弧求通弦”、“弧求正矢”、“通弦求弧”、“正矢求弧”、“正弦求弧”、“正矢求弧” 6个新的公式。董祐诚著有《割圜连比例图解》2卷(1819)，他把明安图9个公式概括为“分弧通弦求全弧通弦”、“分弧中矢求全弧中矢”、“分弧通弦求通弧通弦”、“分弧中矢求通弦中矢”4个公式。1837年项名达又把董祐诚的4个公式概括为“分弧通弦求全弧通弦”、“分弧中矢求全弧中矢”两个公式。他著有《象数一原》6卷(1837,由戴煦续成)。著作后面附有《椭圆求周术》，正确地解决了椭圆求周长的问题。
戴煦对三角函数的幂级数公式和椭圆求周的问题也有研究，著有《外切密率》4卷(1852),补充正切、余切、正割、余割四个幂级数公式。为了简化对数的计算,他创立了指数为任何有理数的二项式定理展开式，从而也得到对数函数的幂级数公式。这些成果记载在他著的《对数简法》2卷(1845)和《续对数简法》1卷(1846)中。
与戴煦同时,李善兰在1845年著有《方圆阐幽》1卷，《弧矢启秘》2卷与《对数探源》2卷。他创造尖锥术，并用它来论证二项平方根的幂级数公式，π的幂级数公式，“正弦求弧”、“正切求弧”、“弧求正弦”、“弧求正切”、“弧求正矢”、“弧求正割”等三角函数幂级数公式以及对数函数幂级数公式。所谓尖锥术是指对一切自然数n的乘方数 xn都可用线段长表示，它们可以积迭成 n乘尖锥面。这种尖锥面由相互垂直的底线、高(h)和凹向的尖锥曲线组成。其面积为。这种尖锥面表示法已具有解析几何的坐标表示的思想，求积法相当于幂函数的定积分公式。
综上述可以看到，清代数学家对西方数学做了大量的会通工作，并取得许多独创性的成果。这些成果，如和传统数学比较，是有进步的，但和同时代的西方比较，则明显落后了。
传统数学的整理和研究 雍正即位(1723)以后，对外闭关自守，导致西方科学停止输入中国，对内对汉族士大夫实行高压政策。在这种情况下，一般学者既不能接触西方数学，又不敢过问经世致用之学，因而埋头于究治古籍。乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学派。1773年开设四库全书馆，辑录《永乐大典》保存佚书和征集私家藏书，于1781年编成《四库全书》，先后收集到《算经十书》和宋元时期的数学著作。纂修兼分校官戴震（1724～1777）对《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五经算术》 4部著作详加校勘，改正许多误文夺字,对学者是有帮助的。随后,李潢(?～1811)著的《九章算术细草图说》9卷，《海岛算经细草图说》1卷和《辑古算经考注》2卷，李锐注的《数书九章》、《测圆海镜》和《益古演段》，沈钦裴著的《四元玉鉴细草》2 卷（1829）和罗士琳撰的《四元玉鉴细草》24卷(1834)都很有参考价值。
随着《算经十书》与宋元数学著作的收集与注释，出现了一个研究传统数学的高潮。其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循、汪莱、李锐、李善兰等。焦循在《加减乘除释》（1798）中，用甲、乙、丙、丁……等天干字表示具体的数，列出加、减、乘、除的几个基本定律，用这些符号和定律来说明古代算法原理，这在中国数学史上是一个创造。汪莱著有《衡斋算学》 7册(1796～1805)。在第五册(1801)中，他讨论了二次、三次方程有多少正根以及正根和系数的关系问题，得到与韦达定理相当的结果。在第七册(1805)中专门讨论三项方程xn-pxm+q=0（n>m 都是正整数，p、q都是正数），他用归纳法得到上述方程有正根的条件相当于
1802年李锐见到汪莱的《衡斋算学》第五册算书后，写了“第五册算书跋”，提出 n次高次方程只有一个正根与多于一个正根和方程系数的符号有关，和得到一个正根后的(n-1)次方程的系数符号有关,他的结论基本上是正确的。在《开方说》(1817)中李锐进一步指出：高次方程系数符号变化一次的有1正根，变化二次的有2正根，变化三次的有3正根或1正根，变化四次的有4正根或2正根，所缺正根称为“无数”，“凡无数必两，无一无数者”。这些与笛卡儿的符号规则基本相同。他还指出：二次方程有2根，三次方程有3根或1根，四次方程有4根或2根（以上均包括负根）；若方程有正、负根,将方程系数的正负号隔位易之，则正负根互换符号；方程的重根与“无数”不同等等。汪莱、李锐的工作，和宋元时代的代数学比较是青出于蓝而胜于蓝的；和西方代数学比较，在时间上晚了一些，但他们的成果是在没有受到西方近代数学的影响下独立得到的。
对朱世杰的垛积术进行研究并有重大成果的是李善兰，在《垛积比类》（约1859）中，李善兰创造了一个著名的恒等式：
式中为朱世杰三角垛的一般项，是二项式定理系数。利用三角垛求和公式就得出一个中外驰名的三角自乘垛求和公式：
他还得到三角变垛、三角再变垛和三角三变垛的公式。
与传统数学研究出现高潮的同时，阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记──《畴人传》(1795～1810)。《畴人传》收集从黄帝时期到嘉庆四年(1799)已故的天文学家和数学家270余人(其中有数学著作传世的不足50人)和明末以来介绍西方天文数学的传教士 41人。这部著作全由“掇拾史书，荃萃群籍，甄而录之”而成，收集的完全是第一手的原始资料，在学术界颇有影响。
近代数学的传入 鸦片战争（1840）以后，西方近代数学开始传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆，介绍西方数学。第二次鸦片战争(1860)后，曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”，也主张介绍和学习西方数学。1864年美国长老会教士狄考文于山东登州设立文会馆。1866年恭亲王奕建议在同文馆内添设算学，1868年曾国藩、李鸿章于上海江南制造局内添设翻译馆，中国数学工作者在上述部门和外国人一起翻译了一批近代数学著作。其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《几何原本》后 9卷（1857）、《代数学》13卷(1859)、《代微积拾级》18卷(1859)；华蘅芳与英人傅兰雅合译的《代数术》25卷 (1872)、《微积溯源》8卷（1874）、《决疑数学》10卷(1880)；邹立文与狄考文编译的《形学备旨》10卷(1885)、《代数备旨》13卷(1891)；《笔算数学》3册 (1892)；谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》3卷(1893)，《八线备旨》4卷(1894)等等。《代微积拾级》是中国第一部微积分学译本，《代数学》是英国数学家A.德·摩根所著，是一部重要的符号代数学译本，《决疑数学》是第一部概率论译本。在这些译著中，创造了许多数学名词和术语，至今还在应用，但所用数学符号一般已被淘汰了。戊戌变法(1898)以后，各地兴办新法学校，上述一些著作便成为主要教科书。在翻译西方数学著作的同时,中国学者也进行一些研究,写出一些著作,较重要的有李善兰的《尖锥变法解》1卷、《考数根法》1卷(1872);夏鸾翔(1823～1864)的《洞方术图解》2卷(1857)、《致曲术》1卷、《致曲图解》1卷等等，都是会通中西学术思想的研究成果。
由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程，加上清末统治者十分腐败，在太平天国运动的冲击下，在帝国主义列强的掠夺下，焦头烂额，无暇顾及数学研究。直到1919年五四运动以后近代数学的研究才真正开始。
中国古代数学的萌芽 原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有｜,,,等表示1，2，3,4的符号。《易·繫辞》中说:“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。”这就是说，到原始公社末期，人们已开始用文字符号取代结绳记事了。西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案,半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形(见彩图)。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载。夏禹治水时已使用了这些工具。
商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期。在周代，又把以前用阴(--)、阳(-)符号构成的八卦表示8种事物发展为六十四卦,表示64种事物。公元前1世纪的《周髀算经》 提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法,他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练,作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。
春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用。筹算记数法已使用十进位值制。约公元前 4世纪的《墨经》描述这种记数法时说：“一少于二而多于五。说在建位。”这就是说，一在个位少于二，在十位就多于五，每个数字的大小除由它本身所表示的数值决定外，还要看它在整个数中所处的位置。根据后来约公元 4世纪的《孙子算经》的记载,任何数都是由九个纵排数字｜和九个横排数字－＝按个、百、万等用纵筹,十、千等用横筹来表示,零用空位表示。这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。在《考工记》中,已分别用矩、勾、倨、宣、、柯、磬析表示直角、锐角、钝角、45°、67°30┡、101°15┡、151°52.5┡（或135°）,还有用规(圆周)的部分(圆弧)来表示刀和弓的大小，例如“合六而成规”，“合九而成规”，“合七而成规”等等。战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”（无穷大）定义为“至大无外”,“小一”（无穷小）定义为“至小无内”,还提出“轮不辗地”、“南方无穷而有穷”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如，圆：一中同长也（从中心到周界有相同长度）；方：柱隅四殻也（四边四角皆正）；平：同高也（高度相等）；直：参也（三点相齐）；次（相切）：无间而不相樱也（既无大小又不相合）；端(点)：体之无厚而最前者也(部分中没有大小并处于最前缘者)，等等。墨家提出“环俱抵”（圆环转动时每一点都与地面接触而形成一根直线）来反驳名家的“轮不辗地”，次的定义显然来源于此。他们认为，在区域的前缘连一根线也容纳不下（域不容尺）称为“有穷”；不论区域多大，在其前缘总能容下一线之宽(莫不容尺)，称为“无穷”。因此在墨家看来，一个具体的空间不能既是“有穷”，又是“无穷”的。墨家也不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点（非半弗则不动，说在端）。名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论对中国古代数学理论的发展是很有意义的。
中国古代数学体系的形成 秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科以及《九章算术》为代表的数学著作的出现。《汉书·艺文志》载有《许商算术》2卷和《杜忠算术》16卷，但均已失传。1983年12月在湖北江陵张家山出土一本西汉初年的《算数书》，收有许多应用的数学问题。现有传本的著作是公元前1世纪的《周髀算经》和公元1世纪的《九章算术》(见彩图)。《周髀算经》是一部讲述盖天学说的天文著作，书中有较复杂的开方、分数运算和勾股定理的应用等数学问题。
《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算，今有术(西方称三率法)，开平方与开立方（包括二次方程数值解法），盈不足术（西方称双设法），各种面积和体积公式，线性方程组解法，正负数运算的加减法则，勾股形解法（特别是勾股定理和求勾股数的方法）等,水平都是很高的,其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。
《九章算术》有几个显著的特点：①采用按类分章的数学问题集的形式；②算式都是从筹算记数法发展起来的，这些算式表示法紧密地依赖于数字在图式上的位置；③以算术、代数为主,几何也是偏重于量的计算,很少涉及图形的性质;④重视应用,缺乏理论阐述。这些特点同当时社会条件与学术思想有关。秦汉时期，一切科学技术要求密切为当时确立和巩固封建制度以及发展社会生产服务。秦始皇为了推行中央集权制，重用荀派儒学和法家刑名之学，甚至不惜采取焚书坑儒的措施。汉武帝以后，为了巩固封建政权，接受董仲舒“罢黜百家，独尊儒术”的意见，把经董仲舒改造的儒家思想作为统治阶级的思想。西汉末年著名学者刘歆曾经谈到对数学的看法,他说:“夫推历、生律、制器、规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量、探赜索隐，钩深致远，莫不用焉。度长短者不失毫厘,量多少者不失圭撮,权轻重者不失黍絫。”刘歆这种强调数学应用的看法是具有代表性的。最后成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。
《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。
中国古代数学的发展 魏、晋数学的发展 魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，各抒己见，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能善于运用逻辑思维，分析义理。这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注 2卷（已失传）,魏末晋初刘徽撰《九章算术》注10卷(263)、《九章重差图》1卷（已失传）都是出现在这个时期,赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的5个公式；在“日高图及注”中,他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。
刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行"析理"，才能使数学著作简明严密，利于读者。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。例如，刘徽从率（后称为比）的定义出发论述了分数运算和今有术的道理，并推广今有术得到合比定理，他根据率、线性方程组和正负数的定义阐明方程组解法中消元的道理，指出方程式个数少于未知数个数时，方程组的解只能是一个比值；在一个方程式中，正与负可以同时变号；减法消元和加法消元可以统一为一种方法。刘徽指出，在开方求得整数后，还可以继续开方，“求其微数”。这不仅解决了求无理根的问题，而且提出了十进小数的方法。他创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式,并首次用理论的方法算得圆周率和。他提出用无穷分割的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之比恒为2:1,解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽实际上应用了下列公理：等高的两立体，若其任意同高处的水平截面积成比例，则这两立体体积亦成同样的比例；并根据这个公理,指出球的体积与其外切“牟合方盖”(两个等半径的圆柱正交的共同部分,（见彩图)的体积之比为π:4，为彻底解决球的体积提出了正确的途径。
刘徽在数学理论上取得如此重大的成就，除和他那个时代重视理论探讨的学术风气有关外，作为个人，有两点是十分重要的。第一，反对今文经学中的阴阳奇偶学说。在《九章算术·少广》章开立圆术注中,刘徽批评张衡在推导球的体积时，为了附会阴阳奇偶的学说而不顾疏密是一种弊病。第二，反对古文经学的繁琐和守旧思想。在《九章算术·方田》章圆田术注和《九章算术·方程》章末题注中他批评当时学者的"踵古"思想和“胶柱调瑟”不知变通的思想,认为数学如“疱丁之理”,应该讲求技巧，见简即用。
南北朝数学的发展 东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。在北方，由于当时社会的需要，在《九章算术》的基础上，数学仍在继续发展。《孙子算经》、《夏侯阳算经》（已失传）、《张丘建算经》就是这个时期的著作。从留传下来的《孙子算经》与《张丘建算经》来看，它们仍依《九章算术》的体例，甚至有些题目也是为了解释《九章算术》的算法。也有一些难题和解法超出《九章算术》的范围，并对后来数学的发展有着相当的影响，例如一次同余式组解法，等差级数求和、求公差、求项数的方法和不定方程解法等。
祖冲之父子的工作则是经济文化南移以后南方数学发展的具有代表性的工作，他们在《九章算术》刘徽注的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。根据史书的记载,祖冲之曾经注解《九章算术》,并与他的儿子祖暅共撰《缀术》六卷。这些著作均已失传。在《隋书·律历志》与李淳风《九章算术》注等零星记载中，他们的数学工作主要有下列几项。
① 圆周率 据推测, 祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积,从而得到 3.1415926< π <3.1415927。他又创造了新的方法，得到圆周率两个分数值,即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久。
② 祖暅公理和球体积 祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积必相等，这就是著名的祖暅公理。祖暅应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。
③ 二次与三次方程 《隋书· 律历志》在叙述祖冲之的圆周率以后说：“又设开差幂,开差立,兼以正负参之。指要精密，算氏之最者也。”中国古代称正系数的二次与三次方程解法为开带从平方和开带从立方，祖冲之用“差幂”取代带从平方，用“差立”取代带从立方,应指包括负系数在内的二次与三次方程的解法,因为只有负系数的方程在开方时才需“兼以正负参之”。这一数学工作确实是划时代的重大成就。
祖冲之父子这些成就也和他们的数学思想有关。和刘徽一样，祖冲之强烈反对踵古,他在大明六年(462)和戴法兴辩论历法时，提出对古代一切历法理论都要加以核验,决不“虚推古人”。他重视实践,为了制定一个准确的历法，他不辞劳苦，长期进行观测。他认为日、月、五星运行的速度“非出神怪,有形可验,有数可推”。祖暅也十分重视数学思维和数学推理，他提出，如果不能从已知条件直接导出结论时，可以假借相同的条件来进行分析（控远以演类，借况以折微）；在谈到球体积公式还没有解决时说：“夫岂难哉，抑末之思也。”言外之意是，他的球体积公式是经过逻辑思维推得的。
隋、唐数学的发展 隋炀帝好大喜功,大兴土木,客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》,主要是讨论土木工程中计算土方、工程的分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学发展的情况。已知不等高的长方棱台体积和上底、下底、高、长的差，求上底、下底、高和长是一个三次方程问题。王孝通的主要贡献是在《九章算术》的基础上，在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要,也为后来天元术的建立打下基础。此外,对传统的勾股形解法，他也有所发展，已知勾股形的勾股积与勾股差（或股弦差），求勾股，这类问题王孝通也是用数字三次方程解决的（见王孝通）。
唐初封建统治者继承隋制,656年在国子监设立算学馆,设有算学博士和助教,学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本。明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的;他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解,对读者是有帮助的(见《算经十书》)。
隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。206年,为了确定合朔时刻，刘洪在《乾象历》中首次提出用一次内插公式来确定月球在n+s（n为正整数，s<1）日共行的度数。600年,隋代天文学家刘焯在《皇极历》中提出一个推算日、月、五星视行度数的等间距二次内插公式。727年一行（张燧,683～727）在他的《大衍历》中又提出一个不等间距的二次内插公式。唐代其他历法，都应用内插法进行计算。
计算技术的改革 算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革。现传本《数术记遗》（题东汉徐岳撰,北周甄鸾注）载有“积算”、“太乙”、“两仪”、“三才”、“五行”、“八卦”、“九宫”、“运筹”、“了知”、“成数”、“把头”、“龟算”、“珠算”、“计数”等14种算法,反映了这种改革的情况。其中“太乙算”、“两仪算”、“三才算”和“珠算”都是用珠的槽算盘，在技术上是一项重要的改革。尤其是“珠算”,它继承了筹算五升十进与位值制的优点,又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用。
唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，书目中提到的“一位算法”、“求一”、“得一”的内容就是用分解因数的方法；化多位乘除为个位乘除；或用折半、加倍、退位的方法把乘除数化为首位是1的数,从而变乘除为加减。现传本《夏侯阳算经》记有很多这样的例子，例如“九因五添”、“添四四”、“身外减二”、“隔位加二”、“损一位”等等，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。
中国古代数学的繁荣 960年,北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣,科学技术突飞猛进,火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》。1213年鲍澣之又进行翻刻。这些情况为数学发展创造了良好的条件。从11～14世纪约300年期间,出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪（11世纪中期）的《黄帝九章算法细草》(已失传)，刘益(12世纪中期)的《议古根源》（已失传），秦九韶的《数书九章》 (1247),李冶的《测圆海镜》 (1248)和《益古演段》 (1259)，杨辉的《详解九章算法》(1261)、《日用算法》（1262）和《杨辉算法》(1274～1275)，朱世杰的《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》 (1303)等,很多领域都达到古代数学的高峰。其中一些成就也是当时世界数学的高峰。
增乘开方法与贾宪三角（二项系数表） 从开平方、开立方到4次以上的开方，在认识上是一个飞跃,实现这个飞跃的是贾宪。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方作法本源”图（见彩图）“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开 4次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其中贾宪三角比巴斯卡三角形早600多年。
高次方程数值解法 把增乘开方法推广到数字高次方程（包括系数为负的情形）解法的是刘益（12世纪中期）。《杨辉算法》中《田亩比类乘除捷法》卷下介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程,后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程（最高次数为10）的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，秦九韶把常数项规定为负数。他把高次方程解法分成各种类型,如：n次项系数不等于1的方程,奇次幂系数均为零的方程,进行x=y+с代换后常数项变号的方程与常数项符号不变而绝对值增大的方程等。方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母、常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第 2位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第 2位数的试除法。秦九韶的方法比霍纳方法早500多年。
高阶等差级数求和 高阶等差级数求和起源于沈括的"隙积术"。沈括在《梦溪笔谈》卷十八中提出,用棋子之类的东西堆成长方垛，棋子总数为
(αb)是第一层的个数，сd是第n层的个数)。杨辉在《详解九章算法》中讨论了上述垛积的 3个特例。即方亭垛(α＝b,с＝d)、方锥垛(α=b=1，с=d=n)和三角垛。朱世杰把高阶等差级数求和问题与二项系数表结合起来，得到三角形垛
和岚形垛
。
内插法 元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》(1280)中解决了三次函数的内插值问题。秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰在《四元玉鉴》“如象招数”题都提到内插法（他们称为招差术），朱世杰得到一个四次函数的内插公式。
一次同余式组解法 《孙子算经》“物不知数”题已提到一次同余式组解法的例子,秦九韶把它一般化。在这个方法中有一个必须解决的关键问题是求同余式kiGi呏1(mod αi)中的ki,式中。秦九韶在《数书九章》大衍类里，用更相减损的方法给出ki一个计算程序，完满地解决了这个问题，此外，秦九韶还讨论了模数αi是收数(小数)、通数(分数)、元数（一般正整数）、复数（10n的倍数）非两两互素的情形,并分别给出变上述4种数为两两互素的模数的方法。
高次方程立法 用天元（相当于现在的 x）作为未知数符号,立出高次方程,古代称为天元术。这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。李冶在一次项系数右旁记一“元”字（或在常数项右旁记一“太”字）。元以上的系数分别表示各正次幂，元以下的系数表示常数和各负次幂（在《益古演段》中又把这个次序倒转过来）。建立方程的具体方法是，根据问题的已知条件,列出两个相等的多项式p1(x)和p2(x)，令二者相减，即得一个数字高次方程。若其中一个多项式是分式多项式，如
,李冶则变另一多项式p2(x)为,使二者相减时消去分式多项式的分母，得 。这是刘徽关于率的概念在多项式运算中的应用与发展。
高次联立方程组 从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。祖颐在《四元玉鉴》后序中提到，平阳李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，霍山刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元。燕山朱汉卿“按天、地、人、物立成四元”。前二书已失传，留传至今并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。朱世杰的四元高次联立方程组表示法无疑是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央。四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法。其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，得到一个一元高次方程。最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展。朱世杰的方法比西方同类方法早400多年。
勾股形解法 勾股形解法在宋元时期有新的发展，朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法, 补充了《九章算术》的不足。 李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到一系列的结果。他把容圆勾股形分成14个相似的勾股形，除按传统的方法给出这些勾股形的名称外，还用文字作符号来表示，与现今用字母A，B，C,…表示几何图形相似。从14个勾股形中，李冶得到692条“识别杂记”,阐明各勾股形的线段之间与线段的和、差、积之间的关系。除原有的勾股容圆外，李冶得到勾上容圆、股上容圆、弦上容圆、勾股上容圆、勾外容圆、股外容圆、弦外容圆、勾外容圆半、股外容圆半等9个容圆公式,大大丰富了中国古代几何学的内容。
弧矢割圆术 已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧,求赤经余弧和赤纬度数,是一个解球面直角三角形的问题。传统历法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、沈括的会圆术(已知弦、矢、半径求弧长的近似公式)和天元术解决了这个问题。由于王恂、郭守敬求直径时用圆周率3以及沈括的公式是一个近似公式,因此结果不够精确。除此以外，整个推算步骤是正确无误的。从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径。
纵横图 纵横图又称幻方，根据《乾凿度》和东汉郑玄注,至迟在汉代已有一个三行纵横图。宋元时期,纵横图研究有了很大发展，杨辉在《续古摘奇算法》中记录了这方面的成就。杨辉指出,九宫图是一个从1～32的9个自然数排成三行三列,其行、列或对角线之和均为15的三行纵横图。这种图可以推广到从 1到n2的情形，它的行、列或对角线之和为n(1+n2)/2。他还列出四行、五行、六行、七行、八行、九行、十行8个纵横图,并指出三行和四行纵横图的构造方法。杨辉的这一工作为这个领域的研究开辟了道路。
小数 现传本《夏侯阳算经》已有化名数为十进小数的例子。宋元时代，这种十进小数有了广泛应用和发展，秦九韶用名数作为小数的符号,例如18.56寸表示如图1;李冶则依靠算式的位置表示,例如－8.25x2+2.673=0表示如图2。杨辉和朱世杰的化斤价为两价的歌诀，是小数的具体应用。
珠算的出现 中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多。改革的主要内容仍是乘除法。“留头乘”最早见于朱世杰《算学启蒙》。“九归”最早出现在沈括的《梦溪笔谈》，杨辉在《乘除通变本末》(1274)、朱世杰在《算学启蒙》中进一步把它完善。“归除”最早见于《算学启蒙》，“撞归”、“起一”是朱世杰首先提出来的，丁巨（著有《丁巨算法》，1355）、何平予（著有《详明算法》，1373）和贾亨（著有《算法全能集》）把它具体化。“留头乘”与“归除”的出现，使乘除法不需任何变通便可在一个横列里进行，与现今珠算的方法完全一样。与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋已可能出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘,又有一套完善的算法和口诀,那么应该说它最后完成于元代。
宋元数学的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果，是传统数学发展的必然结果。此外，数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的。宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义。李冶曾批评朱熹著作，说它不通的地方很多。他指出，说数学难认识是可以的，但说数学不能认识就不对；他认为数学来源于自然界，“苟能推自然之理”就可以“明自然之数”。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来也认识到，“通神明”的数学是不存在的，只有“经世务类万物”的数学。莫若在《四元玉鉴》序文中提出的“用假象真，以虚问实”则代表了朱世杰高度抽象思维的思想方法，杨辉对纵横图结构进行研究，揭示出洛书的本质，有力地批判了象数神秘主义。所有这些，无疑是促进数学发展的重要因素。
中、西方数学的融合 明代进入了封建社会的晚期，封建统治者实行极权统治，宣传唯心主义哲学，施行八股考试制度。在这种情况下，除珠算外，数学发展逐渐衰落。16世纪末以后，西方初等数学陆续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面。鸦片战争以后，近代数学开始传入中国，中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期,直到19世纪末与20世纪初,近代数学研究才真正开始。
珠算的普及 从明初到明中叶，商品经济有所发展，和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初《魁本对相四言杂字》(1371)和《鲁班木经》(15世纪上半叶)的出现，说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本，后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。随后，珠算著作也陆续出现。如吴敬《九章详注比类算法大全》（1450）、王文素《古今算学宝鉴》(1524)、徐心鲁《盘珠算法》(1573)、柯尚迁《数学通轨》(1578)、朱载堉的《算学新说》（1584）、程大位《直指算法统宗》(1592)等。随着珠算的普及，珠算算法和口诀也逐渐趋于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀；徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除，从而实现了珠算四则运算的全部口诀化；朱载堉和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算，程大位用珠算解数字二次、三次方程等等。程大位的著作在国内外流传很广，影响很大。
早期传入的西方数学 1582年意大利传教士利玛窦到中国,1607年以后,先后与徐光启翻译《几何原本》前6卷(1607)、《测量法义》1卷(1607～1608)，与李之藻编译《圜容较义》(1608)和《同文算指》(1613)。1629年，徐光启被礼部任命在历局督修历法,在他主持下,编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说，作为这一学说的数学基础，希腊的几何学,欧洲玉山若干的三角学以及纳皮尔算筹,伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来。
在传入的数学中,影响最大的是《几何原本》。《几何原本》是现传的中国第一部数学翻译著作。绝大部分数学名词都是首创，其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它“不必疑”,“不必改”,“举世无一人不当学”。他所著的《测量异同》和《勾股义》，就是应用《几何原本》的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术。他主编的《崇祯历书》,天文学和数学基本理论占全书30％,充分说明他对理论的重视。《几何原本》是明清两代数学家必读的数学书，对他们的研究工作也颇有影响。其次，应用最广的是三角学。介绍西方三角学的著作有邓玉函编译的《大测》2卷(1631)、《割圆八线表》6卷和罗雅谷的《测量全义》10卷（1631）。《大测》主要说明三角八线（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢）的性质，造表方法和用表方法。《测量全义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外，比较重要的是积化和差公式和球面三角（直角三角形的弧与角的关系式和一般三角形的正弦定理和余弦定理）。所有这些，在当时历法工作中都是随译随用的。
中西数学的会通 1646年，波兰传教士穆尼阁来华，跟随他学习西方科学的有薛凤祚、方中通等。穆尼阁去世后，薛凤祚据其所学，编成《历学会通》，想把中法西法融会贯通起来。《历学会通》中的数学内容主要有《比例对数表》1卷（1653）、《比例四线新表》1卷和《三角算法》1卷(1653)。前两书是介绍英国数学家 J.纳皮尔和H.布里格斯发明增修的对数。后一书除《崇祯历书》介绍的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式（Delambres analogies）、 纳氏比例式(Nepiers analogies)等。方中通所著《数度衍》(1641)，对对数理论进行解释。对数的传入是十分重要，它在历法计算中立即就得到应用。
清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多，影响较大的有王锡阐《图解》1卷,梅文鼎《梅氏丛书辑要》60卷(其中数学著作13种共40卷)，年希尧《视学》2卷等。王锡阐的工作主要是证明两角和、差的正弦和余弦公式。为了证明上述公式，他对涉及的名词概念都逐一加以定义,引入“折”的概念取代角;由于缺乏直角坐标系的概念，在证明时他还把两弧和两弧的和差分为小于象限或大于象限的各种情形，方法是独具一格的。梅文鼎是集中西数学之大成者。他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究，使濒于枯萎的明代数学出现了生机，在介绍西方数学中有校正、证明和补充。例如：校正了罗雅谷关于比例规叙述中的错误，证明三角学中没有证明的公式和定理等。梅文鼎认为传统的勾股形解法就是西方的几何学和三角学，他用勾股形解法的公式证明《几何原本》前6卷的15个定理,用勾股方法证明球面直角三角形的边角关系公式。他创造一种直角射影的方法证明球面三角学的余弦定理。对《测量全义》介绍的 5种多面体公式,他证明了其中4种,其中关于二十面体的计算,他纠正了《测量全义》和罗雅谷的错误等。梅文鼎肯定数学来源于实际；对西方数学，他认为“技取其长而理唯其是”，“法有可采何论东西,理所当明何分新旧”,应该“去中西之见,以平心观理”,态度是比较正确的。年希尧的《视学》是中国第一部介绍西方透视学的著作。
清康熙皇帝十分重视西方科学，他除了亲自学习天文数学外，还培养了一些人才和翻译了一些著作。1712年康熙皇帝命梅瑴成任蒙养斋汇编官，会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书。1721年完成《律历渊源》100卷,以康熙“御定”的名义于1723年出版。其中《数理精蕴》53卷主要由梅瑴成负责，分上下2编，上编包括《几何原本》3卷、《算法原本》1卷,均译自法文著作；下编40卷，包括算术、代数、平面几何、平面三角、立体几何等初等数学，附有素数表、对数表和三角函数表。《数理精蕴》的基本内容除传统数学和早期传入的西方数学外，新传入的数学有借根方比例、“连比例”方法，椭圆面积和椭球体积以及计算尺、素数表等。由于它是一部比较全面的初等数学百科全书,并有康熙“御定”的名义，因此对当时数学研究是具有一定影响的。
1701年法国人杜德美带来J.格雷果里的"弧求正弦"、“弧求正矢”和I.牛顿的“圆径求周”三个无穷级数的公式，但没有证明。1800年前后，明安图、董祐诚、项名达各自依据《数理精蕴》提出的“连比例”方法，对这些级数进行研究，获得一些创造性结果。明安图著有《割圆密率捷法》4卷 (1774年由他的学生陈际新定稿)，他除了证明杜德美传入的 3个公式外，还创造“弧求通弦”、“弧求正矢”、“通弦求弧”、“正矢求弧”、“正弦求弧”、“正矢求弧” 6个新的公式。董祐诚著有《割圜连比例图解》2卷(1819)，他把明安图9个公式概括为“分弧通弦求全弧通弦”、“分弧中矢求全弧中矢”、“分弧通弦求通弧通弦”、“分弧中矢求通弦中矢”4个公式。1837年项名达又把董祐诚的4个公式概括为“分弧通弦求全弧通弦”、“分弧中矢求全弧中矢”两个公式。他著有《象数一原》6卷(1837,由戴煦续成)。著作后面附有《椭圆求周术》，正确地解决了椭圆求周长的问题。
戴煦对三角函数的幂级数公式和椭圆求周的问题也有研究，著有《外切密率》4卷(1852),补充正切、余切、正割、余割四个幂级数公式。为了简化对数的计算,他创立了指数为任何有理数的二项式定理展开式，从而也得到对数函数的幂级数公式。这些成果记载在他著的《对数简法》2卷(1845)和《续对数简法》1卷(1846)中。
与戴煦同时,李善兰在1845年著有《方圆阐幽》1卷，《弧矢启秘》2卷与《对数探源》2卷。他创造尖锥术，并用它来论证二项平方根的幂级数公式，π的幂级数公式，“正弦求弧”、“正切求弧”、“弧求正弦”、“弧求正切”、“弧求正矢”、“弧求正割”等三角函数幂级数公式以及对数函数幂级数公式。所谓尖锥术是指对一切自然数n的乘方数 xn都可用线段长表示，它们可以积迭成 n乘尖锥面。这种尖锥面由相互垂直的底线、高(h)和凹向的尖锥曲线组成。其面积为。这种尖锥面表示法已具有解析几何的坐标表示的思想，求积法相当于幂函数的定积分公式。
综上述可以看到，清代数学家对西方数学做了大量的会通工作，并取得许多独创性的成果。这些成果，如和传统数学比较，是有进步的，但和同时代的西方比较，则明显落后了。
传统数学的整理和研究 雍正即位(1723)以后，对外闭关自守，导致西方科学停止输入中国，对内对汉族士大夫实行高压政策。在这种情况下，一般学者既不能接触西方数学，又不敢过问经世致用之学，因而埋头于究治古籍。乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学派。1773年开设四库全书馆，辑录《永乐大典》保存佚书和征集私家藏书，于1781年编成《四库全书》，先后收集到《算经十书》和宋元时期的数学著作。纂修兼分校官戴震（1724～1777）对《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五经算术》 4部著作详加校勘，改正许多误文夺字,对学者是有帮助的。随后,李潢(?～1811)著的《九章算术细草图说》9卷，《海岛算经细草图说》1卷和《辑古算经考注》2卷，李锐注的《数书九章》、《测圆海镜》和《益古演段》，沈钦裴著的《四元玉鉴细草》2 卷（1829）和罗士琳撰的《四元玉鉴细草》24卷(1834)都很有参考价值。
随着《算经十书》与宋元数学著作的收集与注释，出现了一个研究传统数学的高潮。其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循、汪莱、李锐、李善兰等。焦循在《加减乘除释》（1798）中，用甲、乙、丙、丁……等天干字表示具体的数，列出加、减、乘、除的几个基本定律，用这些符号和定律来说明古代算法原理，这在中国数学史上是一个创造。汪莱著有《衡斋算学》 7册(1796～1805)。在第五册(1801)中，他讨论了二次、三次方程有多少正根以及正根和系数的关系问题，得到与韦达定理相当的结果。在第七册(1805)中专门讨论三项方程xn-pxm+q=0（n>m 都是正整数，p、q都是正数），他用归纳法得到上述方程有正根的条件相当于
1802年李锐见到汪莱的《衡斋算学》第五册算书后，写了“第五册算书跋”，提出 n次高次方程只有一个正根与多于一个正根和方程系数的符号有关，和得到一个正根后的(n-1)次方程的系数符号有关,他的结论基本上是正确的。在《开方说》(1817)中李锐进一步指出：高次方程系数符号变化一次的有1正根，变化二次的有2正根，变化三次的有3正根或1正根，变化四次的有4正根或2正根，所缺正根称为“无数”，“凡无数必两，无一无数者”。这些与笛卡儿的符号规则基本相同。他还指出：二次方程有2根，三次方程有3根或1根，四次方程有4根或2根（以上均包括负根）；若方程有正、负根,将方程系数的正负号隔位易之，则正负根互换符号；方程的重根与“无数”不同等等。汪莱、李锐的工作，和宋元时代的代数学比较是青出于蓝而胜于蓝的；和西方代数学比较，在时间上晚了一些，但他们的成果是在没有受到西方近代数学的影响下独立得到的。
对朱世杰的垛积术进行研究并有重大成果的是李善兰，在《垛积比类》（约1859）中，李善兰创造了一个著名的恒等式：
式中为朱世杰三角垛的一般项，是二项式定理系数。利用三角垛求和公式就得出一个中外驰名的三角自乘垛求和公式：
他还得到三角变垛、三角再变垛和三角三变垛的公式。
与传统数学研究出现高潮的同时，阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记──《畴人传》(1795～1810)。《畴人传》收集从黄帝时期到嘉庆四年(1799)已故的天文学家和数学家270余人(其中有数学著作传世的不足50人)和明末以来介绍西方天文数学的传教士 41人。这部著作全由“掇拾史书，荃萃群籍，甄而录之”而成，收集的完全是第一手的原始资料，在学术界颇有影响。
近代数学的传入 鸦片战争（1840）以后，西方近代数学开始传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆，介绍西方数学。第二次鸦片战争(1860)后，曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”，也主张介绍和学习西方数学。1864年美国长老会教士狄考文于山东登州设立文会馆。1866年恭亲王奕建议在同文馆内添设算学，1868年曾国藩、李鸿章于上海江南制造局内添设翻译馆，中国数学工作者在上述部门和外国人一起翻译了一批近代数学著作。其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《几何原本》后 9卷（1857）、《代数学》13卷(1859)、《代微积拾级》18卷(1859)；华蘅芳与英人傅兰雅合译的《代数术》25卷 (1872)、《微积溯源》8卷（1874）、《决疑数学》10卷(1880)；邹立文与狄考文编译的《形学备旨》10卷(1885)、《代数备旨》13卷(1891)；《笔算数学》3册 (1892)；谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》3卷(1893)，《八线备旨》4卷(1894)等等。《代微积拾级》是中国第一部微积分学译本，《代数学》是英国数学家A.德·摩根所著，是一部重要的符号代数学译本，《决疑数学》是第一部概率论译本。在这些译著中，创造了许多数学名词和术语，至今还在应用，但所用数学符号一般已被淘汰了。戊戌变法(1898)以后，各地兴办新法学校，上述一些著作便成为主要教科书。在翻译西方数学著作的同时,中国学者也进行一些研究,写出一些著作,较重要的有李善兰的《尖锥变法解》1卷、《考数根法》1卷(1872);夏鸾翔(1823～1864)的《洞方术图解》2卷(1857)、《致曲术》1卷、《致曲图解》1卷等等，都是会通中西学术思想的研究成果。
由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程，加上清末统治者十分腐败，在太平天国运动的冲击下，在帝国主义列强的掠夺下，焦头烂额，无暇顾及数学研究。直到1919年五四运动以后近代数学的研究才真正开始。
2008年12月10日星期三
阿兰·图灵
阿兰·麦席森·图灵（Alan Mathison Turing，1912.6.23—1954.6.7），英国数学家、逻辑学家，他被视为计算机之父。 1931年图灵进入剑桥大学国王学院，毕业后到美国普林斯顿大学攻读博士学位，二战爆发后回到剑桥，后曾协助军方破解德国的著名密码系统Enigma，帮助盟军取得了二战的胜利。
◆故事从谜开始 英国现代计算机的起步是从德国的密码电报机——Enigma(谜)开始的，而解开这个谜的不是别人，正是阿兰·图灵，一个在计算机界响当当的人物，可与美国的冯·诺依曼相媲美的电脑天才。在他短暂的生涯中，图灵在量子力学、数理逻辑、生物学、化学方面都有深入的研究，在晚年还开创了一门新学科—— 非线性力学。
图灵英年早逝。在他42年的人生历程中，他的创造力是丰富多彩的，他是天才的数学家和计算机理论专家。24岁提出图灵机理论，31岁参与COLOSSUS的研制，33岁设想仿真系统，35岁提出自动程序设计概念，38岁设计“图灵测验”。这一朵朵灵感浪花无不闪耀着他在计算机发展史上的预见性。特别是在60年代后当然，图灵最高的成就还是在电脑和人工智能方面，他是这一领域开天辟地的大师。为表彰他的贡献，专门设有一个一年一度的“图灵奖”，颁发给最优秀的电脑科学家。这枚奖章就像“诺贝尔奖”一样，为计算机界的获奖者带来至高无上的荣誉。而阿兰·图灵本人，更被人们推崇为人工智能之父，在计算机业十倍速变化的历史画卷中永远占有一席之地。他的惊世才华和盛年夭折，也给他的个人生活涂上了谜一样的传奇色彩。
其祖父曾获得剑桥大学数学荣誉学位，但他父亲的数学才能平平。因此，图灵的家庭教育，对他以后在数学及计算机方面的成就并没有多少帮助。小时候的图灵生性活泼好动，很早就表现出对科学的探索精神。据他母亲回忆，3岁时，小图灵就进行了他的首次实验，尝试把一个玩具木头人的小胳膊、小腿掰下来栽到花园里，等待长出更多的木头人。到了8岁，他更开始尝试写一部科学著作，题目为《关于一种显微镜》。在这部很短的书中，天才儿童图灵拼错了很多单词，句法也有些问题，但写得还能让人看懂，很像那么一回事儿。在书的开头和结尾，他都用同一句话“首先你必须知道光是直的”作前后呼应， 但中间的内容却很短，短得破了科学著作的记录。图灵曾说 ：“我似乎总想从最普通的东西中弄出些名堂。”就连和小朋友们玩足球，他也能放弃当前锋进球这样出风头的事，只喜欢在场外巡边，因为这样能有机会去计算球飞出边界的角度。他的老师认为 ：“图灵的头脑思维可以像袋鼠一样进行跳跃。”图灵是个天才。他16岁就开始研究爱因斯坦的相对论。1931年，图灵考入剑桥大学国王学院，开始他的数学生涯，研究量子力学、概率论和逻辑学。在校期间，图灵还是现代语言哲学大师维特根斯坦班上最出色的学生。他对由剑桥大学的罗素和怀特海创立的数理逻辑很感兴趣。数理逻辑的创建，主要源于古希腊克里特岛上有个叫爱皮梅尼特的“智者”，他说 ：“所有的克里特岛人都说谎”。我们可以把它简化为：“我说的这句话是假话”。这就出现一种两面都无法自圆的怪圈：如果他没有说谎，那他这句话是错的，他是在说谎；如果他真的在说谎，那他说自己在说谎是对的，所以他又没有说谎。罗素和怀特海把它从逻辑、集合论以及数论中驱逐出去，最后又想尽办法归入《数学原理》之中。
图灵一上大学，就迷上了《数学原理》。在1931年，著名的“哥德尔定理”出现后(该定理认为没有一种公理系统可以导出数论中所有的真实命题，除非这种系统本身就有悖论)，天才的图灵在数理逻辑大本营的剑桥大学提出一个设想 ：能否有这样一台机器，通过某种一般的机械步骤，能在原则上一个接一个地解决所有的数学问题。大学毕业后，图灵去美国普林斯顿大学攻读博士学位，还顺手发明过一个解码器。在那里，他遇见了冯·诺依曼，后者对他的论文击节赞赏，并随后由此提出了“存储程序”概念。图灵学成后又回到他的母校任教。在短短的时间里，图灵就发表了几篇很有份量的数学论文，为他赢得了很大的声誉。
◆故事以谜结束
1951年，图灵以他杰出的贡献被当选为英国皇家学会会员。就在他事业步入辉煌之际，灾难降临了。1952年，图灵遭到警方拘捕，原因是他是一个同性恋者。与其他一些智慧超群的人物一样，图灵在个人生活方式上也“与众不同”。当时，人们对同性恋还没有像现在这样宽容，而是把这种行为当作一桩伤风败俗的罪孽。事情的败露是这样的，当时有一位叫琼·克拉克(Joan Clarke)的姑娘爱上了图灵，图灵也对对方很有好感，并向对方求婚，琼欣然接受。但不久，图灵自己退缩了，告诉琼，他是同性恋者。在1948年，图灵就由于同性恋倾向，离开了当时属于高度保密的英国国家物理实验室(NPL)。但也有人说，图灵是被英国军事情报部门“开除”出去的，对于这位天才的离去，许多人怅惜不已。
1952年3月31日，图灵更因为和曼彻斯特当地一位青年有染，被警方逮捕。在法庭上，图灵既不否认，也不为自己辨解。在庄严的法庭上，他郑重其事地告诉人们：他的行为没有错，结果被判有罪。在入狱和治疗两者中间，图灵选择了注射激素，来治疗所谓的“性欲倒错”。此后图灵开始研究生物学、化学，还和一位心理医生有很深的交往。那时，他的脾气已变得躁怒不安，性格更为阴沉怪僻。1953年3月，他因为接待过一位被英国警方注意的挪威客人，成为警方的目标，甚至去希腊度假时也被跟踪。
1954年6月8日，图灵42岁，正逢进入他生命中最辉煌的创造顶峰。一天早晨，女管家走进他的卧室，发现台灯还亮着，床头上还有个苹果，只咬了一小半，图灵沉睡在床上，一切都和往常一样。但这一次，图灵是永远地睡着了，不会再醒来……经过解剖，法医断定是剧毒氰化物致死，那个苹果是在氰化物溶液中浸泡过的。图灵的母亲则说他是在做化学实验时，不小心沾上的，她的"艾伦"从小就有咬指甲的习惯。但外界的说法是服毒自杀，一代天才就这样走完了人生。
◆故事从谜开始 英国现代计算机的起步是从德国的密码电报机——Enigma(谜)开始的，而解开这个谜的不是别人，正是阿兰·图灵，一个在计算机界响当当的人物，可与美国的冯·诺依曼相媲美的电脑天才。在他短暂的生涯中，图灵在量子力学、数理逻辑、生物学、化学方面都有深入的研究，在晚年还开创了一门新学科—— 非线性力学。
图灵英年早逝。在他42年的人生历程中，他的创造力是丰富多彩的，他是天才的数学家和计算机理论专家。24岁提出图灵机理论，31岁参与COLOSSUS的研制，33岁设想仿真系统，35岁提出自动程序设计概念，38岁设计“图灵测验”。这一朵朵灵感浪花无不闪耀着他在计算机发展史上的预见性。特别是在60年代后当然，图灵最高的成就还是在电脑和人工智能方面，他是这一领域开天辟地的大师。为表彰他的贡献，专门设有一个一年一度的“图灵奖”，颁发给最优秀的电脑科学家。这枚奖章就像“诺贝尔奖”一样，为计算机界的获奖者带来至高无上的荣誉。而阿兰·图灵本人，更被人们推崇为人工智能之父，在计算机业十倍速变化的历史画卷中永远占有一席之地。他的惊世才华和盛年夭折，也给他的个人生活涂上了谜一样的传奇色彩。
其祖父曾获得剑桥大学数学荣誉学位，但他父亲的数学才能平平。因此，图灵的家庭教育，对他以后在数学及计算机方面的成就并没有多少帮助。小时候的图灵生性活泼好动，很早就表现出对科学的探索精神。据他母亲回忆，3岁时，小图灵就进行了他的首次实验，尝试把一个玩具木头人的小胳膊、小腿掰下来栽到花园里，等待长出更多的木头人。到了8岁，他更开始尝试写一部科学著作，题目为《关于一种显微镜》。在这部很短的书中，天才儿童图灵拼错了很多单词，句法也有些问题，但写得还能让人看懂，很像那么一回事儿。在书的开头和结尾，他都用同一句话“首先你必须知道光是直的”作前后呼应， 但中间的内容却很短，短得破了科学著作的记录。图灵曾说 ：“我似乎总想从最普通的东西中弄出些名堂。”就连和小朋友们玩足球，他也能放弃当前锋进球这样出风头的事，只喜欢在场外巡边，因为这样能有机会去计算球飞出边界的角度。他的老师认为 ：“图灵的头脑思维可以像袋鼠一样进行跳跃。”图灵是个天才。他16岁就开始研究爱因斯坦的相对论。1931年，图灵考入剑桥大学国王学院，开始他的数学生涯，研究量子力学、概率论和逻辑学。在校期间，图灵还是现代语言哲学大师维特根斯坦班上最出色的学生。他对由剑桥大学的罗素和怀特海创立的数理逻辑很感兴趣。数理逻辑的创建，主要源于古希腊克里特岛上有个叫爱皮梅尼特的“智者”，他说 ：“所有的克里特岛人都说谎”。我们可以把它简化为：“我说的这句话是假话”。这就出现一种两面都无法自圆的怪圈：如果他没有说谎，那他这句话是错的，他是在说谎；如果他真的在说谎，那他说自己在说谎是对的，所以他又没有说谎。罗素和怀特海把它从逻辑、集合论以及数论中驱逐出去，最后又想尽办法归入《数学原理》之中。
图灵一上大学，就迷上了《数学原理》。在1931年，著名的“哥德尔定理”出现后(该定理认为没有一种公理系统可以导出数论中所有的真实命题，除非这种系统本身就有悖论)，天才的图灵在数理逻辑大本营的剑桥大学提出一个设想 ：能否有这样一台机器，通过某种一般的机械步骤，能在原则上一个接一个地解决所有的数学问题。大学毕业后，图灵去美国普林斯顿大学攻读博士学位，还顺手发明过一个解码器。在那里，他遇见了冯·诺依曼，后者对他的论文击节赞赏，并随后由此提出了“存储程序”概念。图灵学成后又回到他的母校任教。在短短的时间里，图灵就发表了几篇很有份量的数学论文，为他赢得了很大的声誉。
◆故事以谜结束
1951年，图灵以他杰出的贡献被当选为英国皇家学会会员。就在他事业步入辉煌之际，灾难降临了。1952年，图灵遭到警方拘捕，原因是他是一个同性恋者。与其他一些智慧超群的人物一样，图灵在个人生活方式上也“与众不同”。当时，人们对同性恋还没有像现在这样宽容，而是把这种行为当作一桩伤风败俗的罪孽。事情的败露是这样的，当时有一位叫琼·克拉克(Joan Clarke)的姑娘爱上了图灵，图灵也对对方很有好感，并向对方求婚，琼欣然接受。但不久，图灵自己退缩了，告诉琼，他是同性恋者。在1948年，图灵就由于同性恋倾向，离开了当时属于高度保密的英国国家物理实验室(NPL)。但也有人说，图灵是被英国军事情报部门“开除”出去的，对于这位天才的离去，许多人怅惜不已。
1952年3月31日，图灵更因为和曼彻斯特当地一位青年有染，被警方逮捕。在法庭上，图灵既不否认，也不为自己辨解。在庄严的法庭上，他郑重其事地告诉人们：他的行为没有错，结果被判有罪。在入狱和治疗两者中间，图灵选择了注射激素，来治疗所谓的“性欲倒错”。此后图灵开始研究生物学、化学，还和一位心理医生有很深的交往。那时，他的脾气已变得躁怒不安，性格更为阴沉怪僻。1953年3月，他因为接待过一位被英国警方注意的挪威客人，成为警方的目标，甚至去希腊度假时也被跟踪。
1954年6月8日，图灵42岁，正逢进入他生命中最辉煌的创造顶峰。一天早晨，女管家走进他的卧室，发现台灯还亮着，床头上还有个苹果，只咬了一小半，图灵沉睡在床上，一切都和往常一样。但这一次，图灵是永远地睡着了，不会再醒来……经过解剖，法医断定是剧毒氰化物致死，那个苹果是在氰化物溶液中浸泡过的。图灵的母亲则说他是在做化学实验时，不小心沾上的，她的"艾伦"从小就有咬指甲的习惯。但外界的说法是服毒自杀，一代天才就这样走完了人生。
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