1.德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表《测量洒桶的新立体几何》，论述了求圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法。
2.牛顿先后写成了三篇微积分论文：《分析学》（1669）、《流数法》（1671）、《求积术》（1691）。
3.1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微分学论文《新方法》，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。
4.泰勒在自己的《正的和反的增量方法》中，陈述了他早在1712年就已获得的那个著名定理：
其中v为独立变量z的增量， 和 为流数。泰勒假定z随时间均匀变化，故 为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”：
。
5.欧拉于1748年出版的《无限小分析引论》以及随后发表的《微分学》和《积分学》是微积分史上里程碑式的著作。
欧拉关于曲面论的经典工作《关于曲面上曲线的研究》（1760）被公认为微分几何史上的一个里程碑。欧拉在其中将曲面表示为 z = f (x,y)，并引进了相当于
的标准符号外，欧拉还正确地建立了曲面的曲率概念，引进了法曲率、主曲率等概念，并得到了法曲率的欧拉公式 （其中χ1, χ2是主曲率，α是一法截面与主曲率所在法截面的交角）。
6. 拉格朗日最负盛名的著作是《分析力学》；拉普拉斯许多最重要的数学成果包含在他的五大卷《天体力学》中。
7. 达朗贝尔1747年发表的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》看作为偏微分方程论的发端。
8. 拉普拉斯在1785年发表的论文《球状物体的引力理论与行星形状》中，引进了与引力分量具有偏导数关系的标量函数V，它与引力分量Fx,Fy,Fz,之间有关系：
。
9. 1731年法国数学家克莱洛发表了《关于双重曲率曲线的研究》，开创了空间曲线理论，是建立微分几何的重要一步。
10. 瑞士数学家克拉姆在其《代数曲线分析引论》（1750）中提出了由系数行列式来确定线性代数方程组解的表达式的法则，即“克拉姆法则”。
11. 哥德巴赫猜想现在的表述形式是英国数学家华林在他的《代数沉思录》中首先给出的。
12. 在施罗德的三大卷《逻辑代数讲义》（1890-1905）中，布尔代数更是发展到了顶峰。
13. 高斯在1801年发表了他的《算术研究》后，数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。
14. 俄国数学家罗巴切夫斯基先是于1826年在喀山大学发表了《简要论述平行线定理的一个严格证明》的演讲，报告了自己关于非欧几何的发现，而后又在1829年发表了题为《论几何原理》的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。
15. 1872年，克莱因发表了著名的演讲《爱尔朗根纲要》，阐述了几何学统一的新思想：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问。
16. 希尔伯特在《几何基础》（1899）中使用的公理化方法最为成功。
17. 法国数学家傅里叶因研究吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律，于1822年发表了《热的解析理论》
18. 庞加莱1881-1886年间在同一标题《由微分方程定义的曲线》下发表的4篇论文，寻求只通过考察微分方程本身就可以回答关于稳定性等问题的方法，创建了微分方程定性理论。
19. 诺特1921年发表的《环中的理想论》看作是现代抽象代数的开端。
20. 庞加莱1895-1905年间在同一主题《位置分析》下发表的一组论文，开创了现代拓扑学研究。
21. 1941年德国数学家豪斯道夫发表的《集合论基础》，以“邻域”概念出发，标志着点集拓扑学的正式诞生。
22. 荷兰数学家惠更斯在1657年发表了《论赌博中的计算》这部历史上最早的概率论著作。
23. 雅各布•伯努利，他在遗著《猜度术》（1713）中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：
若在一系列独立试验中，事件A发生的概率为常数且等于 ，那么 以及充分大小试验次数n，有
，（η为任意小正数），
其中 为 次试验中事件A出现的次数。伯努利定理刻画了大量经验观测中呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位。
23. 拉普拉斯1812年出版的《概率的分析理论》，以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，使以往零散的结果系统化。
24. 科尔莫戈洛夫开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述，并于1933年发表了经典性著作《概率论基础》，通过广泛类比，为概率论建立起了严格的公理化体系，从而赋予概率论以演绎数学的特征，使其取得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着。
25. 莱维从1938年开始创立研究随机过程的新方法，即着眼于轨道性质的概率方法。1948年出版《随机过程与布朗运动》，提出了独立增量过程的一般理论，并以其为基础极大地推进了对作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。自然界中许多随机现象表现出某种平稳性，统计特征不随时间的推移而变化的随机过程叫做平稳过程，平稳过程的相关理论是1934年由辛钦提出的。
26. 1956年，托姆发表《可微映射的奇点》，成为以后整个奇点理论发展的纲领。1969年，托姆在奇点分类基础上提出了一个描述突变现象的数学模型，以后又在《结构稳定与形态发生》（1972）这部专著中系统论述了这方面的思想，从而又形成了一门新的分支，突变理论。突变理论提供了研究自然界中不连续变化现象的数学工具。
27. 1959年美籍法国数学家、经济学家德布洛发表《价格理论》，对一般经济均衡理论给出了严格的公理化表述，使公理化方法成为现代经济学研究的基本方法。
28. 沃尔德原为解决军方提出的实际问题而提出序贯分析和统率决策理论。1947年，他发表专著《序贯分析》，使之在战后发展为数理统计中一个重要分支。
29. 贝尔曼1957年发表的专著《动态规划》，标志着该学科的建立。
30. 948年，维纳终于出版了他的名著《控制论》，宣告了这门学科的诞生。
31. 信息论的创始人是美国人香农，他1948年发表“通信的数学理论”等论文，以概率论为基础研究信息量与通信编码。
32. 1931年，奥地利数学家哥德尔（K.Gödel，1906-1978）发表题为《论<数学原理>及有关系统中的形式不可判定命题》（Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme）的论文，其中证明了一条定理：
任一足以自然数算术的形式系统，如果是相容的，则它一定存在有一个不可判定命题，即存在某一命题A使A与A的否定在该系统中皆不可证。
33. 陈省身1944年发表的论文《对闭黎曼流形高斯—博内公式的一个简单的内蕴证明》，率先采用了内蕴丛，即长度为1的切向量丛，攻克了这个“几何学中极其重要和困难的问题”.
2009年4月29日星期三
二十世纪最伟大的数学家
1.A.N.Kolmogorov ---为概率论建立了公理体系的俄罗斯人。
2.H.Poincare -----H.庞加莱人类历史上最后一位全才科学家。
3.D.Hilbert -----号称数学之王，无数天才的老师。
4.A.E,Nother -----二十世纪代数学执牛耳者，诺特阿姨。
5.Von Neumann-----计算机的发明者，地球人都知道。
6.H.weyl ---你还知道哪个外尔？
7.A.Weil ----韦伊，布尔巴基学派的精神领袖。
8.I.M.Gelfand——首届Wolf奖得主，泛函分析大师。
9.Wiener -----典型的神童，控制论的创立人。
10.Alxsandrff ---
11.Ledesque ----实分析开山鼻祖，被同行认为精神病勒贝格。
12.Shafarevich ----
13.V.I.Arnold---- A.N.Kolmogorov最得意的门徒。
14.Dedekind ------著名的戴德金分割－实数理论。
15.Markov ------马尔可夫？学概率的人都知道。
16.Klein -----厄兰根纲领，天才啊。
17.E.Artin -----人们对他的一般评价是，大代数学家。
18.Jordan -------老觉得他是十九世纪的人，呵呵。
19.Siegel-----来自哥廷根 ？首届Wolf奖得主。
20.Sobolev ----- 非线性分析知道
21.J.P.Serre ——1954年获Fields奖，时年不足28周岁。
22.Gorthenideck -----走在时代前面的格罗滕迪克？上帝！神明！
23.Whiteny ----惠特尼，微分拓扑的开山鼻祖。
24.E.Cartan ----大器晚成的微分几何大家，实在应该排在前十。
25.Thom -------突变论创立者。
26.Milnor ----与纳什合称普林斯顿那一届的双子星，微分拓扑大师。
27.Hadamand——哈马达代数学
28.Godel ------哥德尔居然只排28？
29.Landau ----巨富的数学家。
30.Hecke -----实在没想到这个人有这么牛，听说过赫克代数而已。
31.陈省身 ----一代宗师，华人的骄傲。
32.Zermelo ---集合论的东东，学过实变得人都知道。
33.Puntrijagin ----
34.H.Cartan --应该是老嘉当的儿子了，子承父业。
35.Hopf ----来自瑞士的拓扑学大师，Harvard大学教授。
36.小平邦彦----***人，勤奋的代数几何学家。
37.Cantor ----集合论的康托只有37
38.Chevalley----布饶尔应该排第几呢？
39.Picard—— 存在与唯一性定理？
40.Whitehead -----来自剑桥的哲学家？
41.Caratheodory ——
42.G.H.Hardy ---来自剑桥，最“纯粹”的数学家。
43.Alfors ---首届Feilds奖得主。
44.Selberg——李的同胞，很难想象挪威竟出了那么多一流的数学家。
45.Tucker ----塔克，纳什在普林斯顿的老师。经济学中的塔克均衡的创立者。
46.高木贞治——***最早具有国际声誉的数学家。
47.Lefschetz --普林斯顿王朝的缔造者。
48.Banach -----泛函分析，太靠后了，无语。
49.Eilenberg --艾伦伯格，和华老很交好。
50.Atiyah ----二十世纪后半期英国数学的代表。
51.Sinai——
52.Smale-----大学时代被系主任追着退学，呵呵。
53.志村五郎 ---志村五郎猜想？
54.Vinogradov ----维诺格拉朵夫？这个人比华老怎么样？
55.Zarisky—— 二十世纪代数几何的代表人物扎里斯基。
56.Litelewood ------哈代的好的合作者。
57,Nelivanna
58,Linnik
59,Schur----有限群理论上多次出现的名字，舒尔。
60,Luzin -------鲁津啊，A.N.Kolmogorov 的博士生导师。
61,Fredholm－－－泛函分析
62,van de Waerden ----读过《代数学》吗？
63,Tihonov
64,Bernstein ---
65,Roknlin
66,福原满洲雄
67,Hormander
68,Turing ——图灵奖没人不知道。
69,Minkowsky ----天妒英才啊，感叹。
70,Perron
71,Darboux－－－实变函数，概率
72.Levy ----学实变的时候听说过这个人。
73,Ramanujan----莫非就是印度那位超天才数学家？呵呵。
74,Bronwer
75.Borel -----波莱尔的书，大学生必读。
76.Harish-Chandra
77,Skolem
78,Leray
79.Calreman
80.Mumford-----芒福德，代数几何学家，Fields奖得主。
81.Krull----
82.Fisher ---数理统计先驱
83.Suslin -----
84,Schwartz ----泛函分析，概率
85.Schannon ——莫非就是那个“仙农”。
86.Deligne -----
87.Bochner ——
88.中山正——***人有那么牛吗？
89.Zeeman -----
90.华罗庚 ----华老，这个排名令人欣慰。
91.Petrovsky ----
92.Geromov ----
93.佐腾干夫—— 没有看到Langlands，却有这么多无关的***人，奇怪。
94.Russell -------罗素数学家？哲学家？
95.Birkhoff ----名声很大，具体的不太了解。
96.Lindeloff——林德洛夫，应该是在实变函数课上听说过他。
97.Teichmuller----
98.Brauer ----令人震惊的排名，别把代数学家不当人。
99.Garding ----写《数学概览》的瑞典人戈丁？
100.Witt---
2.H.Poincare -----H.庞加莱人类历史上最后一位全才科学家。
3.D.Hilbert -----号称数学之王，无数天才的老师。
4.A.E,Nother -----二十世纪代数学执牛耳者，诺特阿姨。
5.Von Neumann-----计算机的发明者，地球人都知道。
6.H.weyl ---你还知道哪个外尔？
7.A.Weil ----韦伊，布尔巴基学派的精神领袖。
8.I.M.Gelfand——首届Wolf奖得主，泛函分析大师。
9.Wiener -----典型的神童，控制论的创立人。
10.Alxsandrff ---
11.Ledesque ----实分析开山鼻祖，被同行认为精神病勒贝格。
12.Shafarevich ----
13.V.I.Arnold---- A.N.Kolmogorov最得意的门徒。
14.Dedekind ------著名的戴德金分割－实数理论。
15.Markov ------马尔可夫？学概率的人都知道。
16.Klein -----厄兰根纲领，天才啊。
17.E.Artin -----人们对他的一般评价是，大代数学家。
18.Jordan -------老觉得他是十九世纪的人，呵呵。
19.Siegel-----来自哥廷根 ？首届Wolf奖得主。
20.Sobolev ----- 非线性分析知道
21.J.P.Serre ——1954年获Fields奖，时年不足28周岁。
22.Gorthenideck -----走在时代前面的格罗滕迪克？上帝！神明！
23.Whiteny ----惠特尼，微分拓扑的开山鼻祖。
24.E.Cartan ----大器晚成的微分几何大家，实在应该排在前十。
25.Thom -------突变论创立者。
26.Milnor ----与纳什合称普林斯顿那一届的双子星，微分拓扑大师。
27.Hadamand——哈马达代数学
28.Godel ------哥德尔居然只排28？
29.Landau ----巨富的数学家。
30.Hecke -----实在没想到这个人有这么牛，听说过赫克代数而已。
31.陈省身 ----一代宗师，华人的骄傲。
32.Zermelo ---集合论的东东，学过实变得人都知道。
33.Puntrijagin ----
34.H.Cartan --应该是老嘉当的儿子了，子承父业。
35.Hopf ----来自瑞士的拓扑学大师，Harvard大学教授。
36.小平邦彦----***人，勤奋的代数几何学家。
37.Cantor ----集合论的康托只有37
38.Chevalley----布饶尔应该排第几呢？
39.Picard—— 存在与唯一性定理？
40.Whitehead -----来自剑桥的哲学家？
41.Caratheodory ——
42.G.H.Hardy ---来自剑桥，最“纯粹”的数学家。
43.Alfors ---首届Feilds奖得主。
44.Selberg——李的同胞，很难想象挪威竟出了那么多一流的数学家。
45.Tucker ----塔克，纳什在普林斯顿的老师。经济学中的塔克均衡的创立者。
46.高木贞治——***最早具有国际声誉的数学家。
47.Lefschetz --普林斯顿王朝的缔造者。
48.Banach -----泛函分析，太靠后了，无语。
49.Eilenberg --艾伦伯格，和华老很交好。
50.Atiyah ----二十世纪后半期英国数学的代表。
51.Sinai——
52.Smale-----大学时代被系主任追着退学，呵呵。
53.志村五郎 ---志村五郎猜想？
54.Vinogradov ----维诺格拉朵夫？这个人比华老怎么样？
55.Zarisky—— 二十世纪代数几何的代表人物扎里斯基。
56.Litelewood ------哈代的好的合作者。
57,Nelivanna
58,Linnik
59,Schur----有限群理论上多次出现的名字，舒尔。
60,Luzin -------鲁津啊，A.N.Kolmogorov 的博士生导师。
61,Fredholm－－－泛函分析
62,van de Waerden ----读过《代数学》吗？
63,Tihonov
64,Bernstein ---
65,Roknlin
66,福原满洲雄
67,Hormander
68,Turing ——图灵奖没人不知道。
69,Minkowsky ----天妒英才啊，感叹。
70,Perron
71,Darboux－－－实变函数，概率
72.Levy ----学实变的时候听说过这个人。
73,Ramanujan----莫非就是印度那位超天才数学家？呵呵。
74,Bronwer
75.Borel -----波莱尔的书，大学生必读。
76.Harish-Chandra
77,Skolem
78,Leray
79.Calreman
80.Mumford-----芒福德，代数几何学家，Fields奖得主。
81.Krull----
82.Fisher ---数理统计先驱
83.Suslin -----
84,Schwartz ----泛函分析，概率
85.Schannon ——莫非就是那个“仙农”。
86.Deligne -----
87.Bochner ——
88.中山正——***人有那么牛吗？
89.Zeeman -----
90.华罗庚 ----华老，这个排名令人欣慰。
91.Petrovsky ----
92.Geromov ----
93.佐腾干夫—— 没有看到Langlands，却有这么多无关的***人，奇怪。
94.Russell -------罗素数学家？哲学家？
95.Birkhoff ----名声很大，具体的不太了解。
96.Lindeloff——林德洛夫，应该是在实变函数课上听说过他。
97.Teichmuller----
98.Brauer ----令人震惊的排名，别把代数学家不当人。
99.Garding ----写《数学概览》的瑞典人戈丁？
100.Witt---
2009年2月24日星期二
规范场论
规范场论 (Gauge Theory) 是基于对称变换可以局部也可以全局地施行这一思想的一类物理理论。非交换对称群的规范场论有时也称为杨-米尔斯理论。物理系统往往用在某种变换下不变的拉格朗日量表述，当变换在每一时空点同时施行，它们有全局对称性。规范场论推广了这一思想，它要求拉格朗日量必须也有局部对称性—应该可以在时空的特定区域施行这些对称变换而不影响到另外一个区域。这个要求是广义相对论的等价原理的一个推广。
规范“对称性”反映了系统表述的一个冗余性。
规范场论在物理学上的重要性，在于其成功为量子电动力学、弱相互作用和强相互作用提供了一个统一的数学形式化架构——标准模型。这套理论精确地表述了自然界的三种基本力的实验预测，它是一个规范群为SU(3) × SU(2) × U(1)的规范场论。像弦论这样的现代理论，以及广义相对论的一些表述，都是某种意义上的规范场论。
有时，规范对称性一词被用于更广泛的含义，包括任何局部对称性，例如微分同胚。该术语的这个含义不在本条目使用。
目录 [隐藏]
1 简史
2 电磁学中的简单的规范对称性的例子
3 经典规范场论
3.1 一个例子：标量 O(n) 规范场论
3.2 规范场的拉格朗日量
3.3 一个简单的例子：电动力学
4 数学形式化
5 规范理论的量子化
5.1 方法和目标
5.2 反常
6 参看
7 参考
简史
最早包含规范对称性的物理理论是麦克斯韦的电动力学。但是，该对称性的重要性在早期的表述中没有被注意到。在爱因斯坦发展广义相对论之后，赫尔曼·外尔在试图统一广义相对论和电磁学的尝试中，猜想Eichinvarianz或者说尺度（“规范”）变换下的不变性可能也是广义相对论的局部对称性。后来发现该猜想将导致某些非物理的结果。但是在量子力学发展以后，魏尔、Vladimir Fock和Fritz London实现了该思想，但作了一些修改（把缩放因子用一个复数代替，并把尺度变化变成了相变—一个U(1)规范对称性），这对一个相应于带电荷的量子粒子其波函数受到电磁场的影响，给定了一个漂亮的解释。这是第一个规范场论。泡利在1940年推动了该理论的传播，参看R.M. P.13, 203。
1950年代，为了解决一些基本粒子物理中的巨大混乱，杨振宁和罗伯特·米尔斯引入非交换规范场论作为理解将核子绑在原子核中的强相互作用的模型。（Ronald Shaw，和Abdus Salam一起工作，在他的博士论文中独立地引入了相同的概念。）通过推广电磁学中的规范不变性，他们试图构造基于（非交换的）SU(2)对称群在同位旋质子和中子对上的作用的理论，类似于U(1)群在量子电动力学的旋量场上的作用。在粒子物理中，重点是使用量子化规范场论。
该思想后来被发现能够用于弱相互作用的量子场论，以及它和电磁学的统一在电弱理论中。当人们意识到非交换规范场论能够导出一个称为渐进自由的特色的时候，规范场论变得更有吸引力，因为渐进自由被认为是强相互作用的一个重要特点—因而推动了寻找强相互作用的规范场论的研究。这个理论现在称为量子色动力学，是一个SU(3)群作用在夸克的色荷上的规范场论。标准模型用规范场论的语言统一了电磁力、弱相互作用和强相互作用的表述。
1970年代Michael Atiyah爵士提出了研究经典杨-米尔斯方程的数学解的计划。1983年，Atiyah的学生Simon Donaldson 在这个工作之上证明了光滑4-流形的可微分类和它们只差一个同胚的分类非常不同。Michael Freedman采用Donaldson的工作证明伪R4的存在，也就是，欧氏4维空间上的奇异微分结构。这导致对于规范场论本身的兴趣，独立于它在基础物理中的成功。1994年，爱德华·威滕和Nathan Seiberg发明了基于超对称的规范场技术，使得特定拓扑不变量的计算成为可能。这些从规范场论来的对数学的贡献导致了对该领域的新兴趣。
电磁学中的简单的规范对称性的例子
电路中接地的定义是规范对称性的一个例子；当线路所有点的电位升高相同的值时，电路的行为完全不变；因为电路中的电位差不变。该事实的一个常见释例是栖息在高压电线上的鸟不会遭电击，因为鸟对地绝缘。
这称为整体规范对称性Trefil,1983。电压的绝对值不是真实的；真正影响电路的是电路组件两端的电压差。接地点的定义是任意的，但一旦该点确定了，则该定义必须全局的采用。
相反，如果某个对称性可以从一点到另一点任意的定义，它是一个局域规范对称性。
^ James S. Trefil 1983年, 创造的瞬间。 Scribner, ISBN 0-684-17963-6 92-93页。
经典规范场论
本节要求一些经典或量子场论的知识，以及拉格朗日量的使用。
本节中的定义：规范群，规范场，相互作用拉格朗日量，规范玻色子
一个例子：标量 O(n) 规范场论
下面解释了局域规范不变性可以从整体对称性质启发式地“导出”，并且解释了它如何导向原来不相互作用的场之间的相互作用。
考虑一个n个不相互作用的标量场的集合，它们有相同的质量m。该系统用一个作用量表示，它是每个标量场φi的作用量之和
拉格朗日量可以简明的写作
这是通过引入一个场的矢量
现在很明显地，拉格朗日量在下面的变换中不变
只要G是一个常数 矩阵，G属于n-乘-n 正交群 O(n)。这是这个特定的拉格朗日量的全局对称性，而对称群经常称为规范群。很巧合的是，诺特定理蕴含着该变换群作用下的不变量导致如下的流的守恒
其中Ta矩阵是SO(n)群的生成元。每个生成元有一个守恒流。
现在，要求这个拉格朗日量必须有局域O(n)-不变性要求G矩阵（原来是常数）必须允许成为时空坐标x的函数。
不幸的是，G矩阵无法“传递”给导数。当G = G(x)，
这意味着定义一个有如下属性的“导数”D
可以验证这样一个“导数”（称为协变导数）是
其中规范场 A(x)定义为有如下变换律的场
而g为耦合常数 - 定义一个相互作用强度的量。
规范场在一点的取值是李代数的一个元素，因此可以展开为
所以相互独立的测度场取值和李代数的生成元一样多。
最后，我们有了一个局域规范不变拉格朗日量
泡利把应用到象Φ这样的场上的变换称为第一类规范变换，而把A中的补偿变换称为第二类规范变换。
费曼的标量玻色子通过规范玻色子相互作用的示意图
这个拉格朗日量和初始的全局规范不变的拉格朗日量的区别可以视为相互作用拉格朗日量
这个项作为要求局部规范不变性的结果而引入了n个标量场之间的相互作用。在这个经典场论的量子化版本中，规范场A(x)的量子称为规范玻色子。相互作用拉格朗日量在量子场论中的解释是标量玻色子通过交换这些规范玻色子来相互作用。
[编辑]规范场的拉格朗日量
我们关于经典规范理论的图像基本完成了，还剩协变导数D的定义，为此我们必须知道规范场 A(x) 在所有时空点的值。它可以通过一个场方程的解给出，而不是手工的设置这个场的值。进一步要求产生这个场方程的拉格朗日量也是局部规范不变的，规范场拉格朗日量的最一般的形式可以（传统地）写作
其中
而迹在场的矢量空间上取。
注意在这个拉格朗日量中，没有一个场Φ其变换抵消A的变换。该项在规范变换中的不变性是前面经典（或者说几何，如果喜欢的话）对称性的特殊情况。该对称性必须被限制以施行量子化，这个过程被称为规范固定，但是即使在限制之后，规范变换还是可能的（参看Sakurai， 高等量子力学，1-4节）。
O(n)规范场论的拉格朗日量现在成了
一个简单的例子：电动力学
作为前面章节中发展的形式化表述的简单应用，考虑电动力学的情形，只考虑电子场。产生电子场的狄拉克方程的最简单的作用（传统上）是
该系统的全局对称性是
这里的规范群是U(1)，也就是场的相位角，带一个常数θ。
“局部”化这个对称性意味着用θ(x)取代θ。
一个合适的共变导数是
将“荷” e视为通常的电荷（这也是规范理论中这个术语的使用的来源），而把规范场A(x)视为电磁场的4维矢量势得到一个相互作用拉格朗日量
其中J(x)是通常的电流密度的4矢量。规范原理因而可以视作以一种自然的方式引入了所谓的电磁场到电子场的最小耦合。
为规范场A(x)加入一个拉格朗日量，用场强张量的术语就象在电动力学中一样，可以得到在量子电动力学中作为起点的拉格朗日量。
参看：狄拉克方程，麦克斯韦方程组，量子电动力学
数学形式化
规范理论通常用微分几何的语言讨论。数学上，一个规范就是某个流形的（局部）坐标系的一个选择。一个规范变换也就是一个坐标变换。
注意，虽然规范理论被联络的研究占据了大部分（主要是因为它主要在高能物理中研究），联络的思想一般不是规范理论的基本或者中心概念。事实上，一般规范理论的一个结果表明规范变换的仿射表示（也就是仿射模）可以分类到一种满足特定属性的节丛的截面。有些表示在每一点共变（物理学家称其为第一类规范变换），有些表示象联络形式一样变换（物理学家称其为第二类规范变换）（注意这是一种仿射表示），还有其它更一般的表示，例如BF理论中的B场。当然，我们可以考虑更一般的表示（实现），但那很复杂。但是，非线性σ模型非线性地变换，所以它们也有用处。
若我们有一个主丛P其底空间是空间或时空而结构群是一个李群，则P的截面组成一个群称为规范变换群。
我们可以在该主丛上定义一个联络（规范联络），这可以在每个相伴矢量丛上产生一个共变导数∇。若我们选择一个局部标架（截面的局部基），我们就可以用联络形式A表示这个共变导数，A是一个李代数-值的1-形式，在物理学中称为规范势，它显然不是内在的量，而是一个依赖于标架的选择的量。从这个联络形式，我们可以构造曲率形式F，这是一个李代数-值的2-形式，这是一个内在量，定义为
其中 d 代表外微分而代表楔积。
无穷小规范变换形成一个李代数，可以表述为一个光滑李代数值的标量，ε。在这样一个无穷小规范变换下，
其中是李括号。
一个有趣的结果是，若，则 其中D是共变导数
而且，，这意味着F共变地变换。
需要注意的一点是不是所有的一般规范变换都可以用无穷小规范变换生成；例如，当底流形是一个无边界的紧致流形使得从该流形到李群的映射的同伦类非平凡的时候。参看瞬子（instanton）中的例子。
杨-米尔斯作用现在可以如下给出
其中 * 代表霍奇对偶而积分和在微分几何中的定义一样。
一个规范-不变量也就是在规范变换下的不变量的例子是威尔逊环（Wilson loop），它定义在闭合路径γ上，定义如下：
其中χ是复表示ρ的特征标；而表示路径排序算子。
规范理论的量子化
规范理论可以用能够应用到任何量子场论的方法的特殊化来量子化。但是，因为规范约束（参看上面的数学表述一节）所带来的微妙性，存在很多需要解决的理论问题，他们在其他场论中并不存在。同时，规范理论的更丰富的结构使得一些计算得以简化：例如Ward恒等式建立了不同的重正化常数的联系。
方法和目标
第一个量子化的规范理论是量子电动力学（QED）。为此发展的最初的方法涉及规范固定和施行标准量子化。Gupta-Bleuler方法也被发展出来用于处理这个问题。非交换规范理论现在用很多不同的方法处理。量子化的方法在量子化条目有介绍。
量子化的要点在于能够计算对于理论所允许的各种进程的量子振幅。技术上，它们退化为在真空状态下的特定相关系数函数的计算。这涉及到理论的一个重正化。
当理论的巡行耦合足够小时，所有需要计算的量可以用微扰理论计算。设计用于简化这样的计算的量子化方案（例如标准量子化）可以称为微扰量子化方案。现在一些这种方法导向了规范理论的更精确的试验测试。
但是，在多数规范理论中，有很多有趣的问题是非微扰的。设计用于这些问题的量子化方案可以称为非微扰量子化方案。这样的方案的精确计算经常需要超级计算，因而目前比其他方案的发展要少。
反常
一些理论经典的对称性在量子理论中不再成立—这个现象称为一个反常。最出名的包括：
共形反常，它导致了一个跑动耦合常数。在QED中，这导致了朗道奇点（Landau pole）。在量子色动力学（QCD）中，这导致渐进自由。
手征反常，出现在费米子手性或者矢量场论中。这通过瞬子的概念和拓扑有紧密的关联。
在QCD中，这个反常导致了π介子衰变成为两个光子。
规范反常，在任何自洽的物理理论中必须消去。在电弱理论中，这个消去要求夸克和轻子数量相等。这被称为GIM机制。
规范“对称性”反映了系统表述的一个冗余性。
规范场论在物理学上的重要性，在于其成功为量子电动力学、弱相互作用和强相互作用提供了一个统一的数学形式化架构——标准模型。这套理论精确地表述了自然界的三种基本力的实验预测，它是一个规范群为SU(3) × SU(2) × U(1)的规范场论。像弦论这样的现代理论，以及广义相对论的一些表述，都是某种意义上的规范场论。
有时，规范对称性一词被用于更广泛的含义，包括任何局部对称性，例如微分同胚。该术语的这个含义不在本条目使用。
目录 [隐藏]
1 简史
2 电磁学中的简单的规范对称性的例子
3 经典规范场论
3.1 一个例子：标量 O(n) 规范场论
3.2 规范场的拉格朗日量
3.3 一个简单的例子：电动力学
4 数学形式化
5 规范理论的量子化
5.1 方法和目标
5.2 反常
6 参看
7 参考
简史
最早包含规范对称性的物理理论是麦克斯韦的电动力学。但是，该对称性的重要性在早期的表述中没有被注意到。在爱因斯坦发展广义相对论之后，赫尔曼·外尔在试图统一广义相对论和电磁学的尝试中，猜想Eichinvarianz或者说尺度（“规范”）变换下的不变性可能也是广义相对论的局部对称性。后来发现该猜想将导致某些非物理的结果。但是在量子力学发展以后，魏尔、Vladimir Fock和Fritz London实现了该思想，但作了一些修改（把缩放因子用一个复数代替，并把尺度变化变成了相变—一个U(1)规范对称性），这对一个相应于带电荷的量子粒子其波函数受到电磁场的影响，给定了一个漂亮的解释。这是第一个规范场论。泡利在1940年推动了该理论的传播，参看R.M. P.13, 203。
1950年代，为了解决一些基本粒子物理中的巨大混乱，杨振宁和罗伯特·米尔斯引入非交换规范场论作为理解将核子绑在原子核中的强相互作用的模型。（Ronald Shaw，和Abdus Salam一起工作，在他的博士论文中独立地引入了相同的概念。）通过推广电磁学中的规范不变性，他们试图构造基于（非交换的）SU(2)对称群在同位旋质子和中子对上的作用的理论，类似于U(1)群在量子电动力学的旋量场上的作用。在粒子物理中，重点是使用量子化规范场论。
该思想后来被发现能够用于弱相互作用的量子场论，以及它和电磁学的统一在电弱理论中。当人们意识到非交换规范场论能够导出一个称为渐进自由的特色的时候，规范场论变得更有吸引力，因为渐进自由被认为是强相互作用的一个重要特点—因而推动了寻找强相互作用的规范场论的研究。这个理论现在称为量子色动力学，是一个SU(3)群作用在夸克的色荷上的规范场论。标准模型用规范场论的语言统一了电磁力、弱相互作用和强相互作用的表述。
1970年代Michael Atiyah爵士提出了研究经典杨-米尔斯方程的数学解的计划。1983年，Atiyah的学生Simon Donaldson 在这个工作之上证明了光滑4-流形的可微分类和它们只差一个同胚的分类非常不同。Michael Freedman采用Donaldson的工作证明伪R4的存在，也就是，欧氏4维空间上的奇异微分结构。这导致对于规范场论本身的兴趣，独立于它在基础物理中的成功。1994年，爱德华·威滕和Nathan Seiberg发明了基于超对称的规范场技术，使得特定拓扑不变量的计算成为可能。这些从规范场论来的对数学的贡献导致了对该领域的新兴趣。
电磁学中的简单的规范对称性的例子
电路中接地的定义是规范对称性的一个例子；当线路所有点的电位升高相同的值时，电路的行为完全不变；因为电路中的电位差不变。该事实的一个常见释例是栖息在高压电线上的鸟不会遭电击，因为鸟对地绝缘。
这称为整体规范对称性Trefil,1983。电压的绝对值不是真实的；真正影响电路的是电路组件两端的电压差。接地点的定义是任意的，但一旦该点确定了，则该定义必须全局的采用。
相反，如果某个对称性可以从一点到另一点任意的定义，它是一个局域规范对称性。
^ James S. Trefil 1983年, 创造的瞬间。 Scribner, ISBN 0-684-17963-6 92-93页。
经典规范场论
本节要求一些经典或量子场论的知识，以及拉格朗日量的使用。
本节中的定义：规范群，规范场，相互作用拉格朗日量，规范玻色子
一个例子：标量 O(n) 规范场论
下面解释了局域规范不变性可以从整体对称性质启发式地“导出”，并且解释了它如何导向原来不相互作用的场之间的相互作用。
考虑一个n个不相互作用的标量场的集合，它们有相同的质量m。该系统用一个作用量表示，它是每个标量场φi的作用量之和
拉格朗日量可以简明的写作
这是通过引入一个场的矢量
现在很明显地，拉格朗日量在下面的变换中不变
只要G是一个常数 矩阵，G属于n-乘-n 正交群 O(n)。这是这个特定的拉格朗日量的全局对称性，而对称群经常称为规范群。很巧合的是，诺特定理蕴含着该变换群作用下的不变量导致如下的流的守恒
其中Ta矩阵是SO(n)群的生成元。每个生成元有一个守恒流。
现在，要求这个拉格朗日量必须有局域O(n)-不变性要求G矩阵（原来是常数）必须允许成为时空坐标x的函数。
不幸的是，G矩阵无法“传递”给导数。当G = G(x)，
这意味着定义一个有如下属性的“导数”D
可以验证这样一个“导数”（称为协变导数）是
其中规范场 A(x)定义为有如下变换律的场
而g为耦合常数 - 定义一个相互作用强度的量。
规范场在一点的取值是李代数的一个元素，因此可以展开为
所以相互独立的测度场取值和李代数的生成元一样多。
最后，我们有了一个局域规范不变拉格朗日量
泡利把应用到象Φ这样的场上的变换称为第一类规范变换，而把A中的补偿变换称为第二类规范变换。
费曼的标量玻色子通过规范玻色子相互作用的示意图
这个拉格朗日量和初始的全局规范不变的拉格朗日量的区别可以视为相互作用拉格朗日量
这个项作为要求局部规范不变性的结果而引入了n个标量场之间的相互作用。在这个经典场论的量子化版本中，规范场A(x)的量子称为规范玻色子。相互作用拉格朗日量在量子场论中的解释是标量玻色子通过交换这些规范玻色子来相互作用。
[编辑]规范场的拉格朗日量
我们关于经典规范理论的图像基本完成了，还剩协变导数D的定义，为此我们必须知道规范场 A(x) 在所有时空点的值。它可以通过一个场方程的解给出，而不是手工的设置这个场的值。进一步要求产生这个场方程的拉格朗日量也是局部规范不变的，规范场拉格朗日量的最一般的形式可以（传统地）写作
其中
而迹在场的矢量空间上取。
注意在这个拉格朗日量中，没有一个场Φ其变换抵消A的变换。该项在规范变换中的不变性是前面经典（或者说几何，如果喜欢的话）对称性的特殊情况。该对称性必须被限制以施行量子化，这个过程被称为规范固定，但是即使在限制之后，规范变换还是可能的（参看Sakurai， 高等量子力学，1-4节）。
O(n)规范场论的拉格朗日量现在成了
一个简单的例子：电动力学
作为前面章节中发展的形式化表述的简单应用，考虑电动力学的情形，只考虑电子场。产生电子场的狄拉克方程的最简单的作用（传统上）是
该系统的全局对称性是
这里的规范群是U(1)，也就是场的相位角，带一个常数θ。
“局部”化这个对称性意味着用θ(x)取代θ。
一个合适的共变导数是
将“荷” e视为通常的电荷（这也是规范理论中这个术语的使用的来源），而把规范场A(x)视为电磁场的4维矢量势得到一个相互作用拉格朗日量
其中J(x)是通常的电流密度的4矢量。规范原理因而可以视作以一种自然的方式引入了所谓的电磁场到电子场的最小耦合。
为规范场A(x)加入一个拉格朗日量，用场强张量的术语就象在电动力学中一样，可以得到在量子电动力学中作为起点的拉格朗日量。
参看：狄拉克方程，麦克斯韦方程组，量子电动力学
数学形式化
规范理论通常用微分几何的语言讨论。数学上，一个规范就是某个流形的（局部）坐标系的一个选择。一个规范变换也就是一个坐标变换。
注意，虽然规范理论被联络的研究占据了大部分（主要是因为它主要在高能物理中研究），联络的思想一般不是规范理论的基本或者中心概念。事实上，一般规范理论的一个结果表明规范变换的仿射表示（也就是仿射模）可以分类到一种满足特定属性的节丛的截面。有些表示在每一点共变（物理学家称其为第一类规范变换），有些表示象联络形式一样变换（物理学家称其为第二类规范变换）（注意这是一种仿射表示），还有其它更一般的表示，例如BF理论中的B场。当然，我们可以考虑更一般的表示（实现），但那很复杂。但是，非线性σ模型非线性地变换，所以它们也有用处。
若我们有一个主丛P其底空间是空间或时空而结构群是一个李群，则P的截面组成一个群称为规范变换群。
我们可以在该主丛上定义一个联络（规范联络），这可以在每个相伴矢量丛上产生一个共变导数∇。若我们选择一个局部标架（截面的局部基），我们就可以用联络形式A表示这个共变导数，A是一个李代数-值的1-形式，在物理学中称为规范势，它显然不是内在的量，而是一个依赖于标架的选择的量。从这个联络形式，我们可以构造曲率形式F，这是一个李代数-值的2-形式，这是一个内在量，定义为
其中 d 代表外微分而代表楔积。
无穷小规范变换形成一个李代数，可以表述为一个光滑李代数值的标量，ε。在这样一个无穷小规范变换下，
其中是李括号。
一个有趣的结果是，若，则 其中D是共变导数
而且，，这意味着F共变地变换。
需要注意的一点是不是所有的一般规范变换都可以用无穷小规范变换生成；例如，当底流形是一个无边界的紧致流形使得从该流形到李群的映射的同伦类非平凡的时候。参看瞬子（instanton）中的例子。
杨-米尔斯作用现在可以如下给出
其中 * 代表霍奇对偶而积分和在微分几何中的定义一样。
一个规范-不变量也就是在规范变换下的不变量的例子是威尔逊环（Wilson loop），它定义在闭合路径γ上，定义如下：
其中χ是复表示ρ的特征标；而表示路径排序算子。
规范理论的量子化
规范理论可以用能够应用到任何量子场论的方法的特殊化来量子化。但是，因为规范约束（参看上面的数学表述一节）所带来的微妙性，存在很多需要解决的理论问题，他们在其他场论中并不存在。同时，规范理论的更丰富的结构使得一些计算得以简化：例如Ward恒等式建立了不同的重正化常数的联系。
方法和目标
第一个量子化的规范理论是量子电动力学（QED）。为此发展的最初的方法涉及规范固定和施行标准量子化。Gupta-Bleuler方法也被发展出来用于处理这个问题。非交换规范理论现在用很多不同的方法处理。量子化的方法在量子化条目有介绍。
量子化的要点在于能够计算对于理论所允许的各种进程的量子振幅。技术上，它们退化为在真空状态下的特定相关系数函数的计算。这涉及到理论的一个重正化。
当理论的巡行耦合足够小时，所有需要计算的量可以用微扰理论计算。设计用于简化这样的计算的量子化方案（例如标准量子化）可以称为微扰量子化方案。现在一些这种方法导向了规范理论的更精确的试验测试。
但是，在多数规范理论中，有很多有趣的问题是非微扰的。设计用于这些问题的量子化方案可以称为非微扰量子化方案。这样的方案的精确计算经常需要超级计算，因而目前比其他方案的发展要少。
反常
一些理论经典的对称性在量子理论中不再成立—这个现象称为一个反常。最出名的包括：
共形反常，它导致了一个跑动耦合常数。在QED中，这导致了朗道奇点（Landau pole）。在量子色动力学（QCD）中，这导致渐进自由。
手征反常，出现在费米子手性或者矢量场论中。这通过瞬子的概念和拓扑有紧密的关联。
在QCD中，这个反常导致了π介子衰变成为两个光子。
规范反常，在任何自洽的物理理论中必须消去。在电弱理论中，这个消去要求夸克和轻子数量相等。这被称为GIM机制。
维基百科:希尔伯特的23个问题
1900年，希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了23道最重要的数学问题，这就是著名的希尔伯特的23个问题。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。
希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域，除数学物理外很少涉及应用数学，更不曾预料到电脑发展将对数学的产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。
希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题，7-12是数论问题，13-18属于代数和几何问题，19-23属于数学分析。
问题解决进度
以下列出希尔伯特的23个问题：
第一题 连续统假设 已解决。1963年美国数学家保罗·柯恩以力迫法（forcing）证明连续统假设不能由ZFC推导。也就是说，连续统假设成立与否无法由ZFC确定。
第二题 算术公理之相容性 已解决。库尔特·哥德尔在1930年证明了哥德尔不完备定理。
第三题 两四面体有相同体积之证明法 已解决。希尔伯特的学生马克斯·德恩以一反例证明了是不可以的了。
第四题 建立所有度量空间使得所有线段为测地线 太隐晦。希尔伯特对于这个问题的定义过于含糊。
第五题 所有连续群是否皆为可微群 已解决。1953年日本数学家山迈英彦已得到完全肯定的结果。
第六题 公理化物理 非数学。对于物理学能否全盘公理化，有很多人质疑。
第七题 若 b 是无理数、a 是非0、1代数数，那么 ab 是否超越数 已解决。分别于1934年、1935年由Gelfond与Schneider独立地解决。
第八题 黎曼猜想及哥德巴赫猜想 部分解决。1966年中国数学家陈景润部分解答了哥德巴赫猜想。
第九题 任意代数数域的一般互反律 部分解决。1921年日本的高木贞治，1927年德国的埃米尔·阿廷（E.Artin）各有部份解答。
第十题 不定方程可解性 已解决。1970年苏联数学家马蒂塞维奇证明：在一般情况答案是否定的。
第十一题 代数系数之二次形式 已解决。有理数的部分由哈塞于1923年解决，实数的部分则由希格尔于1930年解决。
第十二题 扩展代数数 已解决。1920年高木贞治开创了阿贝尔类域理论。
第十三题 以二元函数解任意七次方程 已解决。1957年柯尔莫哥洛夫和阿诺德证明其不可能性。
第十四题 证明一些函数完全系统（Complete system of functions）之有限性 已解决。1962年日本人永田雅宜提出反例。
第十五题 舒伯特列举微积分（Schubert's enumerative calculus）之严格基础 部分解决。一部分在1938年由范德瓦登得到严谨的证明。
第十六题 代数曲线及表面之拓扑结构 未解决
第十七题 把有理函数写成平方和分式 已解决。1927年埃米尔·阿廷（Emil Artin）已解决实封闭域。
第十八题 非正多面体能否密铺空间、球体最紧密的排列 已解决。1910年比伯巴赫做出“n维空间由有限多个群嵌成”
第十九题 拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析（Analytic） 已解决。1904年由伯恩斯坦（Serge Bernstein）解决。
第二十题 所有有界限条件的变量问题（Variational problem）是否都有解 已解决
第二十一题 证明有线性微分方程有给定的单值群（monodromy group） 已解决
第二十二题 以自守函数（Automorphic functions）一致化可解析关系 已解决。1904年由科比和庞加莱取得解决。
第二十三题 变分法的长远发展 已解决
[]
希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域，除数学物理外很少涉及应用数学，更不曾预料到电脑发展将对数学的产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。
希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题，7-12是数论问题，13-18属于代数和几何问题，19-23属于数学分析。
问题解决进度
以下列出希尔伯特的23个问题：
第一题 连续统假设 已解决。1963年美国数学家保罗·柯恩以力迫法（forcing）证明连续统假设不能由ZFC推导。也就是说，连续统假设成立与否无法由ZFC确定。
第二题 算术公理之相容性 已解决。库尔特·哥德尔在1930年证明了哥德尔不完备定理。
第三题 两四面体有相同体积之证明法 已解决。希尔伯特的学生马克斯·德恩以一反例证明了是不可以的了。
第四题 建立所有度量空间使得所有线段为测地线 太隐晦。希尔伯特对于这个问题的定义过于含糊。
第五题 所有连续群是否皆为可微群 已解决。1953年日本数学家山迈英彦已得到完全肯定的结果。
第六题 公理化物理 非数学。对于物理学能否全盘公理化，有很多人质疑。
第七题 若 b 是无理数、a 是非0、1代数数，那么 ab 是否超越数 已解决。分别于1934年、1935年由Gelfond与Schneider独立地解决。
第八题 黎曼猜想及哥德巴赫猜想 部分解决。1966年中国数学家陈景润部分解答了哥德巴赫猜想。
第九题 任意代数数域的一般互反律 部分解决。1921年日本的高木贞治，1927年德国的埃米尔·阿廷（E.Artin）各有部份解答。
第十题 不定方程可解性 已解决。1970年苏联数学家马蒂塞维奇证明：在一般情况答案是否定的。
第十一题 代数系数之二次形式 已解决。有理数的部分由哈塞于1923年解决，实数的部分则由希格尔于1930年解决。
第十二题 扩展代数数 已解决。1920年高木贞治开创了阿贝尔类域理论。
第十三题 以二元函数解任意七次方程 已解决。1957年柯尔莫哥洛夫和阿诺德证明其不可能性。
第十四题 证明一些函数完全系统（Complete system of functions）之有限性 已解决。1962年日本人永田雅宜提出反例。
第十五题 舒伯特列举微积分（Schubert's enumerative calculus）之严格基础 部分解决。一部分在1938年由范德瓦登得到严谨的证明。
第十六题 代数曲线及表面之拓扑结构 未解决
第十七题 把有理函数写成平方和分式 已解决。1927年埃米尔·阿廷（Emil Artin）已解决实封闭域。
第十八题 非正多面体能否密铺空间、球体最紧密的排列 已解决。1910年比伯巴赫做出“n维空间由有限多个群嵌成”
第十九题 拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析（Analytic） 已解决。1904年由伯恩斯坦（Serge Bernstein）解决。
第二十题 所有有界限条件的变量问题（Variational problem）是否都有解 已解决
第二十一题 证明有线性微分方程有给定的单值群（monodromy group） 已解决
第二十二题 以自守函数（Automorphic functions）一致化可解析关系 已解决。1904年由科比和庞加莱取得解决。
第二十三题 变分法的长远发展 已解决
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2009年2月13日星期五
维诺格拉多夫
维诺格拉多夫，1891年9月14日生于俄国西部普斯科夫省大卢基县的米洛留勃村；1983年3月20日卒于莫斯科．数学．
维诺格拉多夫的父亲是米洛留勃村墓地教堂的一名牧师，母亲是一名教师．维诺格拉多夫从小就表现出绘画的才能．当时牧师的孩子通常是进教会学校读书，而他的父母却一反惯例，于1903年送他到大卢基城的一所主要是讲授自然科学、现代语言及绘画的实科中学去就读．1910年他中学毕业后，进入首都彼得堡(1914—1924年间改称彼得格勒；后又更名为列宁格勒)的彼得堡大学的物理数学系学习，1914年毕业．在该系著名学者Я．B．乌斯宾斯基等人的影响下，维诺格拉多夫对数论产生了浓厚的兴趣．1915年，由于他关于二次剩余及非剩余分布问题所获得的研究成果，经B．A．斯捷克洛夫推荐，授予他一项奖学金，此后他成功地通过了硕士学位．1918—1920年，维诺格拉多夫先后在国立彼尔姆大学及苏联东欧部分的莫洛托夫大学任教，先任副教授，后担任教授．1920年底，他回到彼得格勒，任彼得格勒工学院教授及彼得格勒大学副教授．在彼得格勒工学院他开设高等数学课，在彼得格勒大学他开设数论课，这门课就成了他后来所著《数论基础》一书的基础．1925年他升任列宁格勒大学教授，并担任该校数论及概率教研室主任．
1929年1月他当选为苏联科学院院士，这标志着他开始进入国家级的科学活动组织者及管理人才的行列中．他与C．И．瓦维洛夫共同制订了对科学院物理-数学研究所进行重大改组的计划．1930—1932年他出任人口统计研究所所长，1930—1934年任物理-数学研究所数学部主任．1934年，物理-数学研究所分为两个所：列别捷夫物理研究所与斯捷克洛夫数学研究所．维诺格拉多夫被任命为斯捷克洛夫数学研究所第一任所长，直到去世前，他一直担任这一职务．其间，苏联科学院从列宁格勒迁往莫斯科，斯捷克洛夫数学研究所即建在瓦维洛夫大街上．1950年起，他任《苏联科学院通报》数学组主编，1958年起任全苏数学家委员会主席．他始终对数学教育有极大的兴趣，直到去世前一直任全苏中学数学改革委员会主席．
维诺格拉多夫中等身材，体格异常健壮．即便到90高龄，他也从不坐电梯去办公室，且步履十分矫健．他与人谈话常用俄语，但能说一口相当熟练的英语．他一生中只有很少几次出国参加活动．其中有两次出访联合王国，一次是1946年参加英国皇家协会主办的牛顿纪念活动，另一次是参加1958年的爱丁堡国际数学家大会．维诺格拉多夫十分好客，待人诚挚体贴．1971年借祝维诺格拉多夫80寿辰之机，在莫斯科举行了一次学术讨论会．维诺格拉多夫自费主办了一次宴会，邀请与会的国内外数学家参加，他亲笔填写了每份请帖，对每位客人都给予了热情的款待．
维诺格拉多夫一生中被20多个外国科学院及科学协会等机构授予院士、名誉院士、会员、名誉会员等称号．1939年被授予伦敦数学会名誉会员称号，1942年当选为英国皇家学会外籍会员．他一生还多次荣获苏联政府及苏联科学院等颁发的勋章及荣誉称号．其中计有：
社会主义劳动英雄(2次)，列宁勋章(5次)，锤子与镰刀勋章(2次)，十月革命勋章，斯大林奖金(现改称国家奖金)，列宁奖金，罗蒙诺索夫金质奖章，其中罗蒙诺索夫金质奖章是苏联科学院的最高奖．
波利亚-维诺格拉多夫不等式
设m≥1为给定的整数，a，b为两个整数．若a—b可被m整除，则记m|(a—b)，称m为模，并称a与b对模m同余，记为a≡b(mod m)．对固定的模m，同余关系是一个等价关系．把对模m同余的所有整数归为一类，称为模m的一个剩余类，则全体整数恰可分成m个不同的剩余类．从每一类中取一代表元组成的集合称为模m的一个完全剩余系．对剩余类可以很自然地定义类的加、减、乘法，它们与整数的加、减、乘法有完全类似的性质．
设m=p≥3为素数，f(x)=anxn+…a1x＋a0是一个n≥1次整系数多项式．若x0满足同余方程
f(x)≡0(modp)， (1)
易见一切满足t≡x0(modp)的t皆满足(1)，它们称为(1)的一个解．与代数基本定理对应，我们有如下定理．
定理(拉格朗日)若an (modp)，则(1)至多有n个解．
当n=2时，求解(1)可以归结为求解特殊形式的二次同余方程
x2≡a(modp)． (2)
A．M．勒让德(Legendre)首先定义了如下的符号，此即初等数论中著名的勒让德符号：
非剩余(即平方非剩余)．在模p的一个完全剩余系｛1，2，…，p｝中，易见除p外，二次剩余与非剩余各占一半，故
实际上，对任何整数N均有
这表明在模p的一个完全剩余系里，二次剩余与非剩余个数总是相等．一个自然的问题是：对任意整数N及任给正整数M，当a取遍区间[N＋1，N+M]中的整数时，其中二次剩余及非剩余的分布情况如何？(3)表明其中二次剩余与非剩余的个数之差为
由(5)知不妨可设1≤M＜p／2．维诺格拉多夫证明了
上式表明，当区间长度M适当大时，其中二次剩余与非剩余的个数相差甚少．正是由于这项研究成果，1915年他被授予一项奖学金，并被批准留校攻读学位．
勒让德符号实际上是以p为模的一种实原特征，它是更为广泛的狄利克雷(Dirichlet)特征χq(a)的特例，这里q是特征的模．1918年，维诺格拉多夫与波利亚互相独立地证明了：若χq(a)是以q为模的一个原特征，则对任何整数N≥1皆有
若χq(a)为非主特征，则有
这些不等式统称为波利亚-维诺格拉多夫不等式．
1977年，H．L．蒙哥马利(Montgomery)与R．C．沃恩(Vaughan)在假设广义黎曼猜想(简记为GRH)成立的条件下证明了：对非主特征有
而R．E．A．C．佩利(Paley)于1932年就构造出一列无穷多个不同的二次特征χqj(j=1，2，…)，使得
因此，(7*)与最好可能的结果(7.1)相比已经相当接近．
设n2(p)＞1为模p的最小二次非剩余．1919年，维诺格拉多夫利用(7)及素数分布的简单性质证明了
他猜想对任给ε＞0有n2(p)=O(pε)，他还猜想对任给ε＞0有 安克尼(Ankeny)证明了：若GRH成立，则有n2(p)=O(ln2p)．对于后一猜想，1967年P．D．T．A．埃利奥特(Elliott)证明了它是GRH的一个推论．这两个猜想迄今仍未获得证明．他关于二次及高次剩余分布、原根与指数分布等问题的许多结果已被D．A．伯吉斯(Burgess)等人加以改进．有关结果请见W．纳基耶维奇(Narkiewicz)所写专著第Ⅱ章及其他文献．
类数均值公式及格点问题
设a，b，c为取定的整数，称二次齐次式
f(x，y)=ax2＋bxy＋cy2
为一个二元二次型，简记为{a，b，c}，称d=b2-4ac为其判别式．若(a，b，c)=1，则称{a，b，c}为本原二次型，简称原型，这里(a，b，c)表a，b，c三数的最大公约数．
设给定两个型{a1，b1，c1}与{a2，b2，c2}，其变量分别为x，y及u，v．若有一个整系数变换
使{a1，b1，c1}变为{a2，b2，c2}，则称它们是相似型．易证相似是二次型的一种等价关系．利用它可将判别式为d的所有本原二次型分成两两不相交的等价类．用h(d)表示把判别式d的本原二次型所分成的等价类的个数．容易证明，对每个判别式d，h(d)皆有限．
对判别式为-d＜0的正定型，F．高斯(Gauss)在其所著《算术研究》(Disquisitiones arithmeticae，1801)一书第302篇中不加证明地给出一个渐近公式
1865及1874年，R．李普希茨(Lipschitz)与F．默滕斯(Mertens)先后得到(8)式的第一项(参见P．巴赫曼(Bachma-nn)著《解析数论》(Die analytische Zahlentheorie，1894)二卷十三章§16)，但他们的方法均未能得到第二项主项．
1917年，维诺格拉多夫给出了研究算术函数渐近表示中余项估计这一难题的一个新方法，它比Г．沃罗诺伊于1903年提出的方法简单，且能获得几乎相同的结果．维诺格拉多夫新方法的重点在于如下的所谓“第一基本公式”：
设k≥1，A＞29，R＞Q皆为实数，函数f(x)在区间[Q，R]中二阶可微且满足
则有
其中｛y｝表示实数y的小数部分，而
由此并利用上述李普希茨文章中的一个恒等式
即证得(8)式，并得到
R(n)＝O(n5/6(ln n)2/3)， (13)
其中μ(m)为麦比乌斯(M bius)函数，F(m)为满足某些不等式组的整值解组数．1963年他得到
R(n)=O(n2/3(lnn)6)， (14)
这一纪录至今未被打破．
维诺格拉多夫的第一基本公式可以解释成为关于由
x=Q，x=R，y=f(x)，y=0
所围成的平面区域内的整点个数的一个命题．1925年V．雅尼克(Jarnik)证明了，(11)已是基本上最好可能的结果．由是可知，维诺格拉多夫方法可用于处理域内整点问题．设p(x)表示落在球
u2＋v2+w2≤x
中的整点个数．1963年维诺格拉多夫证明了
这仍是目前已知最好的结果．
华林问题
1770年，E．华林(Waring)在《代数沉思录》(Meditationesalgebraicae)第204—205页上发表了如下的猜想：
每个自然数皆可表为四个整数的平方和，皆可表为九个非负整数的立方和，皆可表为十九个整数的四次方之和，等等．
综观其言，他实质上提出了如下的问题：对每个给定的整数k≥2，是否存在一个只与k有关的正整数s=s(k)，使每个正整数皆可表为至多s个非负整数的k次方之和？求最小正整数s(k)=g(k)，使每个正整数皆可表为g(k)个非负整数的k次方之和，此即著名的关于g(k)的华林问题．若不要求这种表示对每个正整数成立，改为要求对充分大的正整数皆成立，又以G(k)表示满足这种要求的最小的s(k)，估计G(k)的上界即著名的关于G(k)的华林问题．
1909年，D．希尔伯特(Hilbert)首次用多重积分证明了A．胡尔维茨(Hurwitz)提出而未能证明的一个恒等式，由此即得：对形如k=2c的幂k，华林问题中的s(k)是存在的．由此再用初等方法可对一般性的k证明s(k)的存在性．但希尔伯特方法所得s(k)之数值太大，方法也相当复杂，在近代数论的发展中没有找到进一步的应用．
1920—1928年间，G．H．哈代(Hardy)与J．E．李特伍德(Littlewood)在总标题为“‘Partitio numerorum’的若干问题”(Some problems of“Partitio numerorum”)的七篇论文中，系统地开创并发展了解析数论中一个新方法，此即当今著称的哈代与李特伍德的圆法．而在哈代与S．拉马努金(Ramanujan)1918年发表的一篇论文中已经有了圆法的思想．
1924年，维诺格拉多夫对希尔伯特关于华林问题的结果给出一个新证明，它相当初等，只用到傅里叶(Fourier)级数及外尔(Weyl)估计三角和的方法，而没有用圆法．E．兰道(Landau)在《数论导引》(Vorlesungen ber Zahlentheorie，1927)第一卷第六部分第五章指出，维诺格拉多夫的方法可用于求g(k)的相当满意的上界．1936年L．E．迪克森(Dickson)与S．S．皮莱(Pillai)相互独立地得到g(k)问题近乎最后的解决，其中证明的关键部分有赖于对维诺格拉多夫方法的应用．
在哈代与李特伍德上述系列文章的Ⅳ中证明了：若s≥(k-2)2k-1+5，k≥3，Rs(n)是n表为s个k次方之和的表法数，则对充分大的n有
其中 (n)大于某个正常数．由是他们首次得出显式上界
G(k)≤(k-2)2k-1+5． (17)
在1925年发表的Ⅵ中，他们纠正了上文中一个引理证明中的错误并得到：对k≥4有
G(k)≤(k-2)2k-2+k+5
他们的方法是考虑无限和
及其s次幂
由柯西积分公式有
C是以原点为圆心，半径为ρ(0＜ρ＜1)的圆周，他们在s≥s0(k)且n充分大时找到一种渐近计算积分(19)的方法．
1928年，维诺格拉多夫改为考虑有限和
及其s次幂
这里e(x)=e2πix，N=［n1/k］，而Rs(m，n)是m表为s个不超过N的非负整数k次幂和的表法个数．易见
由此他也导出了(16)，并证明了(17)．这大大简化了哈代与李特伍德的方法，也为解决数论中各种困难的问题开辟了一条更为广阔的道路．此后，他多次回到这一问题．他关于渐近公式成立时G(k)上界的最后结果是
G(k)≤2k2(2lnk＋ln lnk+5)(k≥4)． (23)
如果放弃渐近公式(16)而只证Rs(n)＞0，则可得到G(k)的好得多的上界．1934年，维诺格拉多夫第一个获得阶为klnk的上界
G(k)＜6klnk+(ln216+4)k(k≥4)． (24)
显然可证有
G(k)＞k， (25)
故(24)中的阶klnk已基本上是最好可能的了．1959年他得到：对k＞170000有
G(k)＜k(2lnk＋4lnlnk+2lnlnlnk＋13)， (26)
并且得到
1985年A．A．卡拉楚巴用p-adic方法证明了，对k≥4000有
G(k)＜2k(lnk＋lnlnk+6)， (28)
这是目前G(k)上界的最好结果．对较小的k，更好的结果请见所列文献及专著．
哥德巴赫猜想
1742年，德国数学家C．哥德巴赫(Goldbach)在与L．欧拉(Euler)的几次通信中提出了整数表为素数和的两个猜想，用现代语言来说，就是：
(A)每个≥6的偶数都是两个奇素数之和，
(B)每个≥9的奇数都是三个奇素数之和．
这就是当今著称的哥德巴赫猜想，(A)通常称为关于偶数的哥德巴赫猜想，(B)称为关于奇数的哥德巴赫猜想．直到1900年希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上的著名演讲发表之前，有关这个猜想的研究尚未取得任何实质性的进展．
哈代与李特伍德在他们上述系列论文的Ⅲ与Ⅴ(发表于1923年)中，用圆法对哥德巴赫猜想进行了研究．鉴于圆法与维诺格拉多夫方法对哥德巴赫猜想的主要贡献在于解决了猜想(B)，而对猜想(A)只能得到“几乎全体偶数皆可表为二奇素数之和”这样的结果，本文中只对涉及猜想(B)的结果加以讨论．
在Ⅲ中，哈代与李特伍德考虑了函数
及其r次幂
这里
于是
这里C1是以原点为中心、半径为e-1/n的圆周．与前类似地将积分(32)分成主项与余项，他们在余项的估计中遇到对狄利克雷L函数的零点分布缺乏了解这一重大困难．不得已假设下面的猜想(R)成立：
点皆位于半平面Rez≤θ中．
在此假设下，他们证明了：充分大的奇数n表为三个奇素数之和的表法个数N3(n)有渐近式
其中
特别地，当(R)成立时，每个充分大的奇数n皆可表为三个奇素数之和．
维诺格拉多夫在他于1937年发表的著名论文中改为考虑过素数值求和的有限三角和
用In记n表为三个奇素数和的表法个数，则与(22)式同法有
适当将[0，1]划分成基本区间(也称优弧)与余区间(也称劣弧)两部分，相应的积分分别记为In(1)与In(2)．
对In(1)用西格尔(Siegel)-瓦尔菲茨(Walfisz)定理不难给出其主项及余项估计．为估计In(2)，维诺格拉多夫对形如(35)的素变数三角和给出了非平凡的上界估计，从而不用任何假设证明了：存在常数B0(现在称为维诺格拉多夫常数)，每个奇数n≥B0皆可表为三个奇素数之和．
应用上面的证法，常数B0无法算出来，这是因为上面证明中用到的西格尔-瓦尔菲茨定理中涉及的常数不能有效地算出．为具体求出B0的上界，可用较弱的佩奇(Page)定理代替西格尔-瓦尔菲茨定理．1956年，K．Г．博罗兹德基求得
B0≤exp(exp16.038)， (37)
这个值现在完全可以得到较大的改进．
同年，维诺格拉多夫对形如
的更一般的素变数三角和得到非平凡的上界估计，这里f(x)为实系数多项式．特别当f(x)=xk时他对华林-哥德巴赫问题得到如下结果：
lnk+lnlnk+5)]，则n→∞时有
有关其他形状的素变数三角和估计及应用请见所列专著及文献．
模1一致分布
先考虑一个简单问题．设θ为一个实数，对任意给定的自然数N，考虑区间[0，1)中如下N+1个实数
0，｛θ｝，…，｛Nθ｝．
如果将［0，1)等分成N个长为1／N的子区间，则至少有两个整数a，b，0 ≤a＜b≤N，使{aθ}与{bθ}在同一子区间中，即
|｛bθ｝－｛aθ｝＜1／N．
定义k=b-a，h=[bθ]-[aθ]，则有一对整数h，k，0＜k≤N，使
|kθ—h|＜1／N≤1／k，
事实上可以要求(h，k)=1，又在θ为无理数时，满足上述要求的数对h，k有无穷多对．完全类似地可证下述命题：设θ为无理数，a为任一实数，则有无穷多对整数hn，kn(kn＞0)使
|θkn-hn-a|＜3／kn．
由此立即推出，［0，1)中每一点都是点集｛mθ｝(m=1，2，…)的极限点．那么，点集{mθ}在(0，1)中是否“均匀分布”呢？为了使“均匀分布”意义明确，我们给出如下的定义：设ω=(xn)，n=1，2，…是一个给定的实数列，我们称ω是模1一致分布的，如果对每对实数a，b，0≤a＜b≤1有
这里A(［a，b)；N；ω)表示x1，…，xn中使小数部分{xn}落在［a，b)中的项的个数．
对如何判别一致分布(modl)，有如下重要的韦尔判别法：数列(xn)，n=1，2，…为一致分布(modl)的充分必要条件是，对所有整数h≠0有
因此，能否对形如
的三角和给出适当的估计，是判别数列是否一致分布的关键．在某些重要而又困难的情形，维诺格拉多夫方法是解决这一关键困难的基本工具．
设a为一给定无理数，定义
xn=apn，n=1，2，…，
这里pn表示第n个素数，则由维诺格拉多夫估计(35)型和的方法易得
故由韦尔判别法立即证得(apn)是一致分布的．完全类似地可证：数列(f(pn))，n=1，2，…为一致分布(modl)，这里f(x)是首项系数为无理数的实系数多项式．值得一提的是，1937年P．屠阮(Turán)首次在假设GRH为真的条件下证明了(apn)的一致分布性．
带误差项的素数定理
令π(x)表示不超过x的素数个数，寻求它当x充分大时的渐近表示是19世纪近百年中数学家们的一项中心任务．1848—1850年，俄国数学家п．л．切比雪夫首开纪录，证得
1859年，黎曼在其著名论文中用新的解析方法揭示出ζ函数与素数分布之间的深刻联系．1896年，J．阿达玛(Hadamard)与C．J．德拉瓦莱-普桑(de la Vallée Poussin)相互独立地证明了素数定理：
这等价于
此后，数学家们一直致力于求π(x)-lix的最佳误差．1901年，H．冯•科克(Koch)在黎曼猜想成立的假设下证明了有
熟知，只要对ζ函数在σ=1附近的值给出适当的估计，就可以得出ζ(s)无零点区域的对应结果，从而给出π(x)-lix的相应估计．而在估计ζ函数邻近σ=1的阶时，维诺格拉多夫的三角和方法是相当有效的．1958年，维诺格拉多夫与H．М．科罗博夫相互独立地得到
(a＞0，ε＞0为任意给定的实数)，相应的ζ函数无零点区域为
这些都是迄今已知最好的结果．
本桥洋一(本桥洋一， Motohashi Yoichi)曾用筛法对形如
的无零点区域给出一个初等证明，而蒙哥马利则用另外的方法给出(46)的另一证明，这些请见他们各自的专著．
主要著作评介及对中国数论界的影响
维诺格拉多夫一生发表过一百多篇论文，出版过四部专著及两部选集．他的四部专著中，影响最大的是其中的三部：《数论基础》，以下简称《基础》；《数论中的三角和方法》，以下简称《方法》；《三角和方法的特殊变体》，以下简称《变体》．
《基础》一书初版于1936年，先后译成匈牙利文(1952)、捷克文(1953)、英文(1954)、波兰文(1954)、德文(1955)、日文(1961)、西班牙文(1971)等多种文字．1952年由上海商务印书馆初次出中文版，1956年由北京高等教育出版社出新一版，译者裘光明．我国著名数学家、中国科学院数学研究所第一任所长华罗庚教授为中译本撰写了指导性的介绍，题为“介绍《数论基础》”，对书的内容、习题及维诺格拉多夫的研究成果，给了极高的评价．
《基础》一书共分六章，介绍了初等数论的一些基本内容．每章后习题分两部分，计算题强调了计算技巧的训练；而通过理论性的习题向读者介绍了许多著名的数论问题，如：有理数逼近实数，切比雪夫不等式，圆内整点问题，狄利克雷除数问题，V．布龙(Brun)筛法，三角和估计，函数值的分数部分的估计，佩尔(Pell)方程，波利亚-维诺格拉多夫不等式，剩余与非剩余的分布等．使初学者也能对近代解析数论的一些问题与方法，特别是维诺格拉多夫方法的基本技巧有所了解．即使在今天，它也不失为一本好的参考书．
《方法》一书是维诺格拉多夫方法的代表作．1947年初版，1954年出了英文版，次年在我国《数学进展》1卷1期上印行了中文译本，译者越民义．由于维诺格拉多夫在其科学研究最初十年中的重要成就，兰道在他的前述专著中曾专辟一章对他的方法加以介绍．此后出版的许多重要数论专著中都有关于维诺格拉多夫方法的专门介绍．
在《方法》一书的引言中，维诺格拉多夫介绍了他本人自1934年以来所创立的三角和方法的要旨、应用及历史．他指出，这一方法的最基本结论是形如
的积分之估计，此即著名的维诺格拉多夫中值定理，这里
而f(x)=anxn+…+a1x
为实系数多项式．目前估计I上界的最满意的方法系由卡拉楚巴于1965年给出的，这方面的理论已推广到多重三角和中，这些发展均基于卡拉楚巴1962—1966年间提出的一种新的p-adic形式的维诺格拉多夫方法(参见《斯捷克洛夫数学研究所著作集》英译本1986年第3期(Proc．of the Steklov Institute of Math.，1986，Issue 3，pp．3—30))．
维诺格拉多夫方法的关键技巧在于对形如
的双重三角和给出非平凡估计，这里ξ(x)，η(y)是任意的复值函数，a为实数且
由柯西不等式有
右方的二重和可按几何级数来计算，由此可得W的适当估计．当然，如何把一个数论问题与一个恰当的二重三角和联系起来，这是需要相当技巧的．在该书中作者对其方法的基本工具、技巧及在华林问题、多项式值的分数部分之分布、华林-哥德巴赫问题中的应用作了较详尽的介绍．
《变体》一书出版于1976年，它与《方法》的不同之处在于，《变体》讨论的是其方法的较为简单的变体(指不需要均值定理为基础)所涉及的一些应用，如球内整点问题，G(k)上界估计，哥德巴赫奇数猜想及若干特殊的素变数三角和估计等，最后一章给出他的方法的某种初等形式(不用无穷小作工具)及若干应用．
维诺格拉多夫方法及其著作对中国及世界数学界产生了重大影响．华罗庚教授三十年代起的许多研究工作都受到维诺格拉多夫方法的深刻影响．1941年，华罗庚教授将自己对维诺格拉多夫方法的研究成果写成《堆垒素数论》一书，寄交苏联斯捷克洛夫数学研究所作为专刊发表，得到维诺格拉多夫院士的赞赏和支持．时因二次大战，该书俄文版推迟到1946年才正式出版．维诺格拉多夫院士还邀请华罗庚教授访问了苏联．华罗庚教授在数学研究所培养的第一批研究人材中，就有相当数量的人深入学习过维诺格拉多夫方法，并在后来的研究工作中反复运用这一方法取得过出色的成就．
1988年夏天在北京举行的“纪念华罗庚数论与分析国际会议”，就有卡拉楚巴等维诺格拉多夫学派传人参加．这对加强中苏两国间的学术交流，恢复并发展由维诺格拉多夫与华罗庚所建立的两国数学界(尤其是数论学界)的传统友谊，将起到良好的作用．
维诺格拉多夫的父亲是米洛留勃村墓地教堂的一名牧师，母亲是一名教师．维诺格拉多夫从小就表现出绘画的才能．当时牧师的孩子通常是进教会学校读书，而他的父母却一反惯例，于1903年送他到大卢基城的一所主要是讲授自然科学、现代语言及绘画的实科中学去就读．1910年他中学毕业后，进入首都彼得堡(1914—1924年间改称彼得格勒；后又更名为列宁格勒)的彼得堡大学的物理数学系学习，1914年毕业．在该系著名学者Я．B．乌斯宾斯基等人的影响下，维诺格拉多夫对数论产生了浓厚的兴趣．1915年，由于他关于二次剩余及非剩余分布问题所获得的研究成果，经B．A．斯捷克洛夫推荐，授予他一项奖学金，此后他成功地通过了硕士学位．1918—1920年，维诺格拉多夫先后在国立彼尔姆大学及苏联东欧部分的莫洛托夫大学任教，先任副教授，后担任教授．1920年底，他回到彼得格勒，任彼得格勒工学院教授及彼得格勒大学副教授．在彼得格勒工学院他开设高等数学课，在彼得格勒大学他开设数论课，这门课就成了他后来所著《数论基础》一书的基础．1925年他升任列宁格勒大学教授，并担任该校数论及概率教研室主任．
1929年1月他当选为苏联科学院院士，这标志着他开始进入国家级的科学活动组织者及管理人才的行列中．他与C．И．瓦维洛夫共同制订了对科学院物理-数学研究所进行重大改组的计划．1930—1932年他出任人口统计研究所所长，1930—1934年任物理-数学研究所数学部主任．1934年，物理-数学研究所分为两个所：列别捷夫物理研究所与斯捷克洛夫数学研究所．维诺格拉多夫被任命为斯捷克洛夫数学研究所第一任所长，直到去世前，他一直担任这一职务．其间，苏联科学院从列宁格勒迁往莫斯科，斯捷克洛夫数学研究所即建在瓦维洛夫大街上．1950年起，他任《苏联科学院通报》数学组主编，1958年起任全苏数学家委员会主席．他始终对数学教育有极大的兴趣，直到去世前一直任全苏中学数学改革委员会主席．
维诺格拉多夫中等身材，体格异常健壮．即便到90高龄，他也从不坐电梯去办公室，且步履十分矫健．他与人谈话常用俄语，但能说一口相当熟练的英语．他一生中只有很少几次出国参加活动．其中有两次出访联合王国，一次是1946年参加英国皇家协会主办的牛顿纪念活动，另一次是参加1958年的爱丁堡国际数学家大会．维诺格拉多夫十分好客，待人诚挚体贴．1971年借祝维诺格拉多夫80寿辰之机，在莫斯科举行了一次学术讨论会．维诺格拉多夫自费主办了一次宴会，邀请与会的国内外数学家参加，他亲笔填写了每份请帖，对每位客人都给予了热情的款待．
维诺格拉多夫一生中被20多个外国科学院及科学协会等机构授予院士、名誉院士、会员、名誉会员等称号．1939年被授予伦敦数学会名誉会员称号，1942年当选为英国皇家学会外籍会员．他一生还多次荣获苏联政府及苏联科学院等颁发的勋章及荣誉称号．其中计有：
社会主义劳动英雄(2次)，列宁勋章(5次)，锤子与镰刀勋章(2次)，十月革命勋章，斯大林奖金(现改称国家奖金)，列宁奖金，罗蒙诺索夫金质奖章，其中罗蒙诺索夫金质奖章是苏联科学院的最高奖．
波利亚-维诺格拉多夫不等式
设m≥1为给定的整数，a，b为两个整数．若a—b可被m整除，则记m|(a—b)，称m为模，并称a与b对模m同余，记为a≡b(mod m)．对固定的模m，同余关系是一个等价关系．把对模m同余的所有整数归为一类，称为模m的一个剩余类，则全体整数恰可分成m个不同的剩余类．从每一类中取一代表元组成的集合称为模m的一个完全剩余系．对剩余类可以很自然地定义类的加、减、乘法，它们与整数的加、减、乘法有完全类似的性质．
设m=p≥3为素数，f(x)=anxn+…a1x＋a0是一个n≥1次整系数多项式．若x0满足同余方程
f(x)≡0(modp)， (1)
易见一切满足t≡x0(modp)的t皆满足(1)，它们称为(1)的一个解．与代数基本定理对应，我们有如下定理．
定理(拉格朗日)若an (modp)，则(1)至多有n个解．
当n=2时，求解(1)可以归结为求解特殊形式的二次同余方程
x2≡a(modp)． (2)
A．M．勒让德(Legendre)首先定义了如下的符号，此即初等数论中著名的勒让德符号：
非剩余(即平方非剩余)．在模p的一个完全剩余系｛1，2，…，p｝中，易见除p外，二次剩余与非剩余各占一半，故
实际上，对任何整数N均有
这表明在模p的一个完全剩余系里，二次剩余与非剩余个数总是相等．一个自然的问题是：对任意整数N及任给正整数M，当a取遍区间[N＋1，N+M]中的整数时，其中二次剩余及非剩余的分布情况如何？(3)表明其中二次剩余与非剩余的个数之差为
由(5)知不妨可设1≤M＜p／2．维诺格拉多夫证明了
上式表明，当区间长度M适当大时，其中二次剩余与非剩余的个数相差甚少．正是由于这项研究成果，1915年他被授予一项奖学金，并被批准留校攻读学位．
勒让德符号实际上是以p为模的一种实原特征，它是更为广泛的狄利克雷(Dirichlet)特征χq(a)的特例，这里q是特征的模．1918年，维诺格拉多夫与波利亚互相独立地证明了：若χq(a)是以q为模的一个原特征，则对任何整数N≥1皆有
若χq(a)为非主特征，则有
这些不等式统称为波利亚-维诺格拉多夫不等式．
1977年，H．L．蒙哥马利(Montgomery)与R．C．沃恩(Vaughan)在假设广义黎曼猜想(简记为GRH)成立的条件下证明了：对非主特征有
而R．E．A．C．佩利(Paley)于1932年就构造出一列无穷多个不同的二次特征χqj(j=1，2，…)，使得
因此，(7*)与最好可能的结果(7.1)相比已经相当接近．
设n2(p)＞1为模p的最小二次非剩余．1919年，维诺格拉多夫利用(7)及素数分布的简单性质证明了
他猜想对任给ε＞0有n2(p)=O(pε)，他还猜想对任给ε＞0有 安克尼(Ankeny)证明了：若GRH成立，则有n2(p)=O(ln2p)．对于后一猜想，1967年P．D．T．A．埃利奥特(Elliott)证明了它是GRH的一个推论．这两个猜想迄今仍未获得证明．他关于二次及高次剩余分布、原根与指数分布等问题的许多结果已被D．A．伯吉斯(Burgess)等人加以改进．有关结果请见W．纳基耶维奇(Narkiewicz)所写专著第Ⅱ章及其他文献．
类数均值公式及格点问题
设a，b，c为取定的整数，称二次齐次式
f(x，y)=ax2＋bxy＋cy2
为一个二元二次型，简记为{a，b，c}，称d=b2-4ac为其判别式．若(a，b，c)=1，则称{a，b，c}为本原二次型，简称原型，这里(a，b，c)表a，b，c三数的最大公约数．
设给定两个型{a1，b1，c1}与{a2，b2，c2}，其变量分别为x，y及u，v．若有一个整系数变换
使{a1，b1，c1}变为{a2，b2，c2}，则称它们是相似型．易证相似是二次型的一种等价关系．利用它可将判别式为d的所有本原二次型分成两两不相交的等价类．用h(d)表示把判别式d的本原二次型所分成的等价类的个数．容易证明，对每个判别式d，h(d)皆有限．
对判别式为-d＜0的正定型，F．高斯(Gauss)在其所著《算术研究》(Disquisitiones arithmeticae，1801)一书第302篇中不加证明地给出一个渐近公式
1865及1874年，R．李普希茨(Lipschitz)与F．默滕斯(Mertens)先后得到(8)式的第一项(参见P．巴赫曼(Bachma-nn)著《解析数论》(Die analytische Zahlentheorie，1894)二卷十三章§16)，但他们的方法均未能得到第二项主项．
1917年，维诺格拉多夫给出了研究算术函数渐近表示中余项估计这一难题的一个新方法，它比Г．沃罗诺伊于1903年提出的方法简单，且能获得几乎相同的结果．维诺格拉多夫新方法的重点在于如下的所谓“第一基本公式”：
设k≥1，A＞29，R＞Q皆为实数，函数f(x)在区间[Q，R]中二阶可微且满足
则有
其中｛y｝表示实数y的小数部分，而
由此并利用上述李普希茨文章中的一个恒等式
即证得(8)式，并得到
R(n)＝O(n5/6(ln n)2/3)， (13)
其中μ(m)为麦比乌斯(M bius)函数，F(m)为满足某些不等式组的整值解组数．1963年他得到
R(n)=O(n2/3(lnn)6)， (14)
这一纪录至今未被打破．
维诺格拉多夫的第一基本公式可以解释成为关于由
x=Q，x=R，y=f(x)，y=0
所围成的平面区域内的整点个数的一个命题．1925年V．雅尼克(Jarnik)证明了，(11)已是基本上最好可能的结果．由是可知，维诺格拉多夫方法可用于处理域内整点问题．设p(x)表示落在球
u2＋v2+w2≤x
中的整点个数．1963年维诺格拉多夫证明了
这仍是目前已知最好的结果．
华林问题
1770年，E．华林(Waring)在《代数沉思录》(Meditationesalgebraicae)第204—205页上发表了如下的猜想：
每个自然数皆可表为四个整数的平方和，皆可表为九个非负整数的立方和，皆可表为十九个整数的四次方之和，等等．
综观其言，他实质上提出了如下的问题：对每个给定的整数k≥2，是否存在一个只与k有关的正整数s=s(k)，使每个正整数皆可表为至多s个非负整数的k次方之和？求最小正整数s(k)=g(k)，使每个正整数皆可表为g(k)个非负整数的k次方之和，此即著名的关于g(k)的华林问题．若不要求这种表示对每个正整数成立，改为要求对充分大的正整数皆成立，又以G(k)表示满足这种要求的最小的s(k)，估计G(k)的上界即著名的关于G(k)的华林问题．
1909年，D．希尔伯特(Hilbert)首次用多重积分证明了A．胡尔维茨(Hurwitz)提出而未能证明的一个恒等式，由此即得：对形如k=2c的幂k，华林问题中的s(k)是存在的．由此再用初等方法可对一般性的k证明s(k)的存在性．但希尔伯特方法所得s(k)之数值太大，方法也相当复杂，在近代数论的发展中没有找到进一步的应用．
1920—1928年间，G．H．哈代(Hardy)与J．E．李特伍德(Littlewood)在总标题为“‘Partitio numerorum’的若干问题”(Some problems of“Partitio numerorum”)的七篇论文中，系统地开创并发展了解析数论中一个新方法，此即当今著称的哈代与李特伍德的圆法．而在哈代与S．拉马努金(Ramanujan)1918年发表的一篇论文中已经有了圆法的思想．
1924年，维诺格拉多夫对希尔伯特关于华林问题的结果给出一个新证明，它相当初等，只用到傅里叶(Fourier)级数及外尔(Weyl)估计三角和的方法，而没有用圆法．E．兰道(Landau)在《数论导引》(Vorlesungen ber Zahlentheorie，1927)第一卷第六部分第五章指出，维诺格拉多夫的方法可用于求g(k)的相当满意的上界．1936年L．E．迪克森(Dickson)与S．S．皮莱(Pillai)相互独立地得到g(k)问题近乎最后的解决，其中证明的关键部分有赖于对维诺格拉多夫方法的应用．
在哈代与李特伍德上述系列文章的Ⅳ中证明了：若s≥(k-2)2k-1+5，k≥3，Rs(n)是n表为s个k次方之和的表法数，则对充分大的n有
其中 (n)大于某个正常数．由是他们首次得出显式上界
G(k)≤(k-2)2k-1+5． (17)
在1925年发表的Ⅵ中，他们纠正了上文中一个引理证明中的错误并得到：对k≥4有
G(k)≤(k-2)2k-2+k+5
他们的方法是考虑无限和
及其s次幂
由柯西积分公式有
C是以原点为圆心，半径为ρ(0＜ρ＜1)的圆周，他们在s≥s0(k)且n充分大时找到一种渐近计算积分(19)的方法．
1928年，维诺格拉多夫改为考虑有限和
及其s次幂
这里e(x)=e2πix，N=［n1/k］，而Rs(m，n)是m表为s个不超过N的非负整数k次幂和的表法个数．易见
由此他也导出了(16)，并证明了(17)．这大大简化了哈代与李特伍德的方法，也为解决数论中各种困难的问题开辟了一条更为广阔的道路．此后，他多次回到这一问题．他关于渐近公式成立时G(k)上界的最后结果是
G(k)≤2k2(2lnk＋ln lnk+5)(k≥4)． (23)
如果放弃渐近公式(16)而只证Rs(n)＞0，则可得到G(k)的好得多的上界．1934年，维诺格拉多夫第一个获得阶为klnk的上界
G(k)＜6klnk+(ln216+4)k(k≥4)． (24)
显然可证有
G(k)＞k， (25)
故(24)中的阶klnk已基本上是最好可能的了．1959年他得到：对k＞170000有
G(k)＜k(2lnk＋4lnlnk+2lnlnlnk＋13)， (26)
并且得到
1985年A．A．卡拉楚巴用p-adic方法证明了，对k≥4000有
G(k)＜2k(lnk＋lnlnk+6)， (28)
这是目前G(k)上界的最好结果．对较小的k，更好的结果请见所列文献及专著．
哥德巴赫猜想
1742年，德国数学家C．哥德巴赫(Goldbach)在与L．欧拉(Euler)的几次通信中提出了整数表为素数和的两个猜想，用现代语言来说，就是：
(A)每个≥6的偶数都是两个奇素数之和，
(B)每个≥9的奇数都是三个奇素数之和．
这就是当今著称的哥德巴赫猜想，(A)通常称为关于偶数的哥德巴赫猜想，(B)称为关于奇数的哥德巴赫猜想．直到1900年希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上的著名演讲发表之前，有关这个猜想的研究尚未取得任何实质性的进展．
哈代与李特伍德在他们上述系列论文的Ⅲ与Ⅴ(发表于1923年)中，用圆法对哥德巴赫猜想进行了研究．鉴于圆法与维诺格拉多夫方法对哥德巴赫猜想的主要贡献在于解决了猜想(B)，而对猜想(A)只能得到“几乎全体偶数皆可表为二奇素数之和”这样的结果，本文中只对涉及猜想(B)的结果加以讨论．
在Ⅲ中，哈代与李特伍德考虑了函数
及其r次幂
这里
于是
这里C1是以原点为中心、半径为e-1/n的圆周．与前类似地将积分(32)分成主项与余项，他们在余项的估计中遇到对狄利克雷L函数的零点分布缺乏了解这一重大困难．不得已假设下面的猜想(R)成立：
点皆位于半平面Rez≤θ中．
在此假设下，他们证明了：充分大的奇数n表为三个奇素数之和的表法个数N3(n)有渐近式
其中
特别地，当(R)成立时，每个充分大的奇数n皆可表为三个奇素数之和．
维诺格拉多夫在他于1937年发表的著名论文中改为考虑过素数值求和的有限三角和
用In记n表为三个奇素数和的表法个数，则与(22)式同法有
适当将[0，1]划分成基本区间(也称优弧)与余区间(也称劣弧)两部分，相应的积分分别记为In(1)与In(2)．
对In(1)用西格尔(Siegel)-瓦尔菲茨(Walfisz)定理不难给出其主项及余项估计．为估计In(2)，维诺格拉多夫对形如(35)的素变数三角和给出了非平凡的上界估计，从而不用任何假设证明了：存在常数B0(现在称为维诺格拉多夫常数)，每个奇数n≥B0皆可表为三个奇素数之和．
应用上面的证法，常数B0无法算出来，这是因为上面证明中用到的西格尔-瓦尔菲茨定理中涉及的常数不能有效地算出．为具体求出B0的上界，可用较弱的佩奇(Page)定理代替西格尔-瓦尔菲茨定理．1956年，K．Г．博罗兹德基求得
B0≤exp(exp16.038)， (37)
这个值现在完全可以得到较大的改进．
同年，维诺格拉多夫对形如
的更一般的素变数三角和得到非平凡的上界估计，这里f(x)为实系数多项式．特别当f(x)=xk时他对华林-哥德巴赫问题得到如下结果：
lnk+lnlnk+5)]，则n→∞时有
有关其他形状的素变数三角和估计及应用请见所列专著及文献．
模1一致分布
先考虑一个简单问题．设θ为一个实数，对任意给定的自然数N，考虑区间[0，1)中如下N+1个实数
0，｛θ｝，…，｛Nθ｝．
如果将［0，1)等分成N个长为1／N的子区间，则至少有两个整数a，b，0 ≤a＜b≤N，使{aθ}与{bθ}在同一子区间中，即
|｛bθ｝－｛aθ｝＜1／N．
定义k=b-a，h=[bθ]-[aθ]，则有一对整数h，k，0＜k≤N，使
|kθ—h|＜1／N≤1／k，
事实上可以要求(h，k)=1，又在θ为无理数时，满足上述要求的数对h，k有无穷多对．完全类似地可证下述命题：设θ为无理数，a为任一实数，则有无穷多对整数hn，kn(kn＞0)使
|θkn-hn-a|＜3／kn．
由此立即推出，［0，1)中每一点都是点集｛mθ｝(m=1，2，…)的极限点．那么，点集{mθ}在(0，1)中是否“均匀分布”呢？为了使“均匀分布”意义明确，我们给出如下的定义：设ω=(xn)，n=1，2，…是一个给定的实数列，我们称ω是模1一致分布的，如果对每对实数a，b，0≤a＜b≤1有
这里A(［a，b)；N；ω)表示x1，…，xn中使小数部分{xn}落在［a，b)中的项的个数．
对如何判别一致分布(modl)，有如下重要的韦尔判别法：数列(xn)，n=1，2，…为一致分布(modl)的充分必要条件是，对所有整数h≠0有
因此，能否对形如
的三角和给出适当的估计，是判别数列是否一致分布的关键．在某些重要而又困难的情形，维诺格拉多夫方法是解决这一关键困难的基本工具．
设a为一给定无理数，定义
xn=apn，n=1，2，…，
这里pn表示第n个素数，则由维诺格拉多夫估计(35)型和的方法易得
故由韦尔判别法立即证得(apn)是一致分布的．完全类似地可证：数列(f(pn))，n=1，2，…为一致分布(modl)，这里f(x)是首项系数为无理数的实系数多项式．值得一提的是，1937年P．屠阮(Turán)首次在假设GRH为真的条件下证明了(apn)的一致分布性．
带误差项的素数定理
令π(x)表示不超过x的素数个数，寻求它当x充分大时的渐近表示是19世纪近百年中数学家们的一项中心任务．1848—1850年，俄国数学家п．л．切比雪夫首开纪录，证得
1859年，黎曼在其著名论文中用新的解析方法揭示出ζ函数与素数分布之间的深刻联系．1896年，J．阿达玛(Hadamard)与C．J．德拉瓦莱-普桑(de la Vallée Poussin)相互独立地证明了素数定理：
这等价于
此后，数学家们一直致力于求π(x)-lix的最佳误差．1901年，H．冯•科克(Koch)在黎曼猜想成立的假设下证明了有
熟知，只要对ζ函数在σ=1附近的值给出适当的估计，就可以得出ζ(s)无零点区域的对应结果，从而给出π(x)-lix的相应估计．而在估计ζ函数邻近σ=1的阶时，维诺格拉多夫的三角和方法是相当有效的．1958年，维诺格拉多夫与H．М．科罗博夫相互独立地得到
(a＞0，ε＞0为任意给定的实数)，相应的ζ函数无零点区域为
这些都是迄今已知最好的结果．
本桥洋一(本桥洋一， Motohashi Yoichi)曾用筛法对形如
的无零点区域给出一个初等证明，而蒙哥马利则用另外的方法给出(46)的另一证明，这些请见他们各自的专著．
主要著作评介及对中国数论界的影响
维诺格拉多夫一生发表过一百多篇论文，出版过四部专著及两部选集．他的四部专著中，影响最大的是其中的三部：《数论基础》，以下简称《基础》；《数论中的三角和方法》，以下简称《方法》；《三角和方法的特殊变体》，以下简称《变体》．
《基础》一书初版于1936年，先后译成匈牙利文(1952)、捷克文(1953)、英文(1954)、波兰文(1954)、德文(1955)、日文(1961)、西班牙文(1971)等多种文字．1952年由上海商务印书馆初次出中文版，1956年由北京高等教育出版社出新一版，译者裘光明．我国著名数学家、中国科学院数学研究所第一任所长华罗庚教授为中译本撰写了指导性的介绍，题为“介绍《数论基础》”，对书的内容、习题及维诺格拉多夫的研究成果，给了极高的评价．
《基础》一书共分六章，介绍了初等数论的一些基本内容．每章后习题分两部分，计算题强调了计算技巧的训练；而通过理论性的习题向读者介绍了许多著名的数论问题，如：有理数逼近实数，切比雪夫不等式，圆内整点问题，狄利克雷除数问题，V．布龙(Brun)筛法，三角和估计，函数值的分数部分的估计，佩尔(Pell)方程，波利亚-维诺格拉多夫不等式，剩余与非剩余的分布等．使初学者也能对近代解析数论的一些问题与方法，特别是维诺格拉多夫方法的基本技巧有所了解．即使在今天，它也不失为一本好的参考书．
《方法》一书是维诺格拉多夫方法的代表作．1947年初版，1954年出了英文版，次年在我国《数学进展》1卷1期上印行了中文译本，译者越民义．由于维诺格拉多夫在其科学研究最初十年中的重要成就，兰道在他的前述专著中曾专辟一章对他的方法加以介绍．此后出版的许多重要数论专著中都有关于维诺格拉多夫方法的专门介绍．
在《方法》一书的引言中，维诺格拉多夫介绍了他本人自1934年以来所创立的三角和方法的要旨、应用及历史．他指出，这一方法的最基本结论是形如
的积分之估计，此即著名的维诺格拉多夫中值定理，这里
而f(x)=anxn+…+a1x
为实系数多项式．目前估计I上界的最满意的方法系由卡拉楚巴于1965年给出的，这方面的理论已推广到多重三角和中，这些发展均基于卡拉楚巴1962—1966年间提出的一种新的p-adic形式的维诺格拉多夫方法(参见《斯捷克洛夫数学研究所著作集》英译本1986年第3期(Proc．of the Steklov Institute of Math.，1986，Issue 3，pp．3—30))．
维诺格拉多夫方法的关键技巧在于对形如
的双重三角和给出非平凡估计，这里ξ(x)，η(y)是任意的复值函数，a为实数且
由柯西不等式有
右方的二重和可按几何级数来计算，由此可得W的适当估计．当然，如何把一个数论问题与一个恰当的二重三角和联系起来，这是需要相当技巧的．在该书中作者对其方法的基本工具、技巧及在华林问题、多项式值的分数部分之分布、华林-哥德巴赫问题中的应用作了较详尽的介绍．
《变体》一书出版于1976年，它与《方法》的不同之处在于，《变体》讨论的是其方法的较为简单的变体(指不需要均值定理为基础)所涉及的一些应用，如球内整点问题，G(k)上界估计，哥德巴赫奇数猜想及若干特殊的素变数三角和估计等，最后一章给出他的方法的某种初等形式(不用无穷小作工具)及若干应用．
维诺格拉多夫方法及其著作对中国及世界数学界产生了重大影响．华罗庚教授三十年代起的许多研究工作都受到维诺格拉多夫方法的深刻影响．1941年，华罗庚教授将自己对维诺格拉多夫方法的研究成果写成《堆垒素数论》一书，寄交苏联斯捷克洛夫数学研究所作为专刊发表，得到维诺格拉多夫院士的赞赏和支持．时因二次大战，该书俄文版推迟到1946年才正式出版．维诺格拉多夫院士还邀请华罗庚教授访问了苏联．华罗庚教授在数学研究所培养的第一批研究人材中，就有相当数量的人深入学习过维诺格拉多夫方法，并在后来的研究工作中反复运用这一方法取得过出色的成就．
1988年夏天在北京举行的“纪念华罗庚数论与分析国际会议”，就有卡拉楚巴等维诺格拉多夫学派传人参加．这对加强中苏两国间的学术交流，恢复并发展由维诺格拉多夫与华罗庚所建立的两国数学界(尤其是数论学界)的传统友谊，将起到良好的作用．
西方数学史上的8本名著
人类本身有一种不可弥补的缺憾，即知识无法遗传。面对人类的文明所创造的一切，每个人都必须从头再学，硕大的知识之果使人不胜重负。本文想以最简洁的文字向读者提供其精髓，包括作者、书名、发表年月、主要内容以及在学科史上的地位与价值，有一个对数学领域重大成果总体式的鸟瞰与把握。
1、《几何原本》（Elements of Euclid）
欧几里德（Euclid，前300－前275？）古希腊数学家。
本书的印刷量仅次于《圣经》，是数学史上第一本成系统的著作，也是第一本译成中文的西文名著。原名《欧几里德几何学》，明朝徐光启译时改为《几何原本》。全书13卷，从5条公设和5条公理出发，构造了几何的一种演绎体系，这种不假于实体世界，仅由一组公理实施逻辑推理而证明出定理的方法，是人类思想的一大进步。此书从写作的时代一直流传至今，对人类活动起着持续的重大影响，直到19世纪非欧几里德几何出现以前，一直是几何推理、定理和方法的主要来源。
2、《算术研究》（Disquisitiones Arithmetical，1798）
高斯（C.F.Gauss，1774－1855），德国数学家。
“数学之王”的称号可以说是对高斯极其恰当的赞辞。他与阿基米德、牛顿并列为历史上最伟大的数学家。他的名言“数学，科学的皇后；算术，数学的皇后”，贴切地表达了他对于数学在科学中的关键作用的观点。他24岁时发表了这本书，这是数学史上最出色的成果之一，系统而广泛地阐述了数论里有影响的概念和方法。由此推倒了18世界数学的理论和方法，以革新的数论开辟了通往19世纪中叶分析学的严格化道路。高斯立论极端谨慎，有3个原则：“少些；但要成熟”：“不留下进一步要做的事情”。
3、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1854）
黎曼（B.Riemann，1826－1866），德国数学家。
黎曼是19世纪最有创造力的数学家之一。虽然他没有活到40岁，著作也不多，但几乎每篇文章都开创了一个新的领域。本篇是黎曼在格丁根大学任大学讲师时的就职演讲，是数学史上最著名的演讲之一，题为“关于构成几何基础的假设”。在演讲中黎曼独立提出了非欧几里德几何，即“黎曼几何”，又称椭圆几何。他的这一关于空间几何的独具胆识的思想，对近代理论物理学发生深远的影响，成为爱因斯坦相对论的几何基础。
4、《集合一般理论的基础》（Foundations of a General Theory of Aggregates，1883）
康托尔（G.Cantor，1845－1918），德国数学家。
康托尔创立的集合论，是19世纪最伟大的成就之一。本书是康托尔研究集合论的专著。他通过建立处理数学中无限的基本技巧而极大地推动了分析和逻辑的发展，凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新的思想模式。
5、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1899）
希耳伯特（D.Hilbert，1862－1943），德国数学家。
希耳伯特是整个一代国际数学界的巨人。由高高斯、狄利克雷和黎曼于19世纪开创的生气勃勃的数学传统在20世纪的头30年中主要由于希耳伯特而更为显赫著名。在本书中，希耳伯特用几何学的例子来阐述公理体系的集合理论的处理方法，它标志着几何学公理化处理的转折点。希耳伯特的名言：“我必须知道，我必将知道”，总结了他献身数学并以毕生业务使之发展到新水平的激情。
6、《测度的一般理论和概率论》（General Theoey of Measure and Probability Theory，1929）
柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov，1903－1993），苏联数学家。
柯尔莫哥洛夫是20世纪最有影响的苏联数学家。他对许多数学分支贡献了创造性的一般理论。此篇论文是研究概率的名作，在随后的50年中被人们作为概率论的完全公理而接受。在1937年又出版《概率论的解析方法》一书，阐述了无后效的随机过程理论的原理，标志着概论论发展的一个新时期。
7、《论＜数学原理＞及其相关系统形式不可判定命题》（On Formally Undecidble Propositions of Principia Mathematica and Related Systems，1931）
哥德尔（K.Godel，1906－1978），美籍奥地利数学家。
哥德尔在本篇中给出了著名的哥德尔证明，其内容是，要任何一个严格的数学系统中，必定有用本系统内的公理无法证明其成立或不成立的命题，因此，不能说算术的基本公理不会出现矛盾。这个证明成了20世纪数学的标志，至今仍有影响和争论。它结束了近一个世纪来数学家们为建立能为全部数学提供严密基础公理的企图。
8、《数学原理》（Elements Mathematique I-XXXIX，1939－）
本书的署名是布尔巴基（Bourbiaki），他不是一个人，而是对现代数学影响巨大的数学家集团。在本世纪30年代由法国的一群年轻数学家结合而成他们把人类长期积累的数学知识按照数学结构整理而成为一个井井有条、博大精深的体系，已出版的近40卷的《数学原理》成为一部经典著作，成为许多研究工作的出发点和参考指南，并成为蓬勃发展的数学科学的主流，这套巨著究竟何时算完，谁也说不清。但是这个体系连同布尔巴基学派对数学的其他贡献，在数学史上是独一无二的。
1、《几何原本》（Elements of Euclid）
欧几里德（Euclid，前300－前275？）古希腊数学家。
本书的印刷量仅次于《圣经》，是数学史上第一本成系统的著作，也是第一本译成中文的西文名著。原名《欧几里德几何学》，明朝徐光启译时改为《几何原本》。全书13卷，从5条公设和5条公理出发，构造了几何的一种演绎体系，这种不假于实体世界，仅由一组公理实施逻辑推理而证明出定理的方法，是人类思想的一大进步。此书从写作的时代一直流传至今，对人类活动起着持续的重大影响，直到19世纪非欧几里德几何出现以前，一直是几何推理、定理和方法的主要来源。
2、《算术研究》（Disquisitiones Arithmetical，1798）
高斯（C.F.Gauss，1774－1855），德国数学家。
“数学之王”的称号可以说是对高斯极其恰当的赞辞。他与阿基米德、牛顿并列为历史上最伟大的数学家。他的名言“数学，科学的皇后；算术，数学的皇后”，贴切地表达了他对于数学在科学中的关键作用的观点。他24岁时发表了这本书，这是数学史上最出色的成果之一，系统而广泛地阐述了数论里有影响的概念和方法。由此推倒了18世界数学的理论和方法，以革新的数论开辟了通往19世纪中叶分析学的严格化道路。高斯立论极端谨慎，有3个原则：“少些；但要成熟”：“不留下进一步要做的事情”。
3、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1854）
黎曼（B.Riemann，1826－1866），德国数学家。
黎曼是19世纪最有创造力的数学家之一。虽然他没有活到40岁，著作也不多，但几乎每篇文章都开创了一个新的领域。本篇是黎曼在格丁根大学任大学讲师时的就职演讲，是数学史上最著名的演讲之一，题为“关于构成几何基础的假设”。在演讲中黎曼独立提出了非欧几里德几何，即“黎曼几何”，又称椭圆几何。他的这一关于空间几何的独具胆识的思想，对近代理论物理学发生深远的影响，成为爱因斯坦相对论的几何基础。
4、《集合一般理论的基础》（Foundations of a General Theory of Aggregates，1883）
康托尔（G.Cantor，1845－1918），德国数学家。
康托尔创立的集合论，是19世纪最伟大的成就之一。本书是康托尔研究集合论的专著。他通过建立处理数学中无限的基本技巧而极大地推动了分析和逻辑的发展，凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新的思想模式。
5、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1899）
希耳伯特（D.Hilbert，1862－1943），德国数学家。
希耳伯特是整个一代国际数学界的巨人。由高高斯、狄利克雷和黎曼于19世纪开创的生气勃勃的数学传统在20世纪的头30年中主要由于希耳伯特而更为显赫著名。在本书中，希耳伯特用几何学的例子来阐述公理体系的集合理论的处理方法，它标志着几何学公理化处理的转折点。希耳伯特的名言：“我必须知道，我必将知道”，总结了他献身数学并以毕生业务使之发展到新水平的激情。
6、《测度的一般理论和概率论》（General Theoey of Measure and Probability Theory，1929）
柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov，1903－1993），苏联数学家。
柯尔莫哥洛夫是20世纪最有影响的苏联数学家。他对许多数学分支贡献了创造性的一般理论。此篇论文是研究概率的名作，在随后的50年中被人们作为概率论的完全公理而接受。在1937年又出版《概率论的解析方法》一书，阐述了无后效的随机过程理论的原理，标志着概论论发展的一个新时期。
7、《论＜数学原理＞及其相关系统形式不可判定命题》（On Formally Undecidble Propositions of Principia Mathematica and Related Systems，1931）
哥德尔（K.Godel，1906－1978），美籍奥地利数学家。
哥德尔在本篇中给出了著名的哥德尔证明，其内容是，要任何一个严格的数学系统中，必定有用本系统内的公理无法证明其成立或不成立的命题，因此，不能说算术的基本公理不会出现矛盾。这个证明成了20世纪数学的标志，至今仍有影响和争论。它结束了近一个世纪来数学家们为建立能为全部数学提供严密基础公理的企图。
8、《数学原理》（Elements Mathematique I-XXXIX，1939－）
本书的署名是布尔巴基（Bourbiaki），他不是一个人，而是对现代数学影响巨大的数学家集团。在本世纪30年代由法国的一群年轻数学家结合而成他们把人类长期积累的数学知识按照数学结构整理而成为一个井井有条、博大精深的体系，已出版的近40卷的《数学原理》成为一部经典著作，成为许多研究工作的出发点和参考指南，并成为蓬勃发展的数学科学的主流，这套巨著究竟何时算完，谁也说不清。但是这个体系连同布尔巴基学派对数学的其他贡献，在数学史上是独一无二的。
2009年1月9日星期五
希尔伯特提出的23个世界数学难题
1900年德国数学家希尔伯特在巴黎第二届国际数学家代表会上提出23个重要的数学问题，称为希尔伯特数学问题﹝Hilbert's Mathematical Problems﹞。内容涉及现代数学大部份重要领域，目的是为新世纪的数学发展提供目标和预测成果，结果大大推动了20世纪数学的发展。该23个问题的简介如下：1. 连续统假设。
2. 算术公理体系的兼容性。
3. 只根据合同公理证明底面积相等、高相等的两个四面体有相等的体积是不 可 能的。即不能将这两个等体积的四面体剖分为若干相同的小多面体。4. 直线作为两点间最短距离的几何结构的研究。
5. 拓扑群成为李群的条件。
6. 物理学各分支的公理化。
7. 某些数的无理性与超越性。
8. 素数问题。包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等问题。
9. 一般互反律的证明。
10. 丢番图方程可解性的判别。
11. 一般代数数域的二次型论。
12. 类域的构成问题。具体为阿贝尔域上的克罗内克定理推广到作意代数有理 域。
13. 不可能用只有两个变量的函数解一般的七次方程。
14. 证明某类完全函数系的有限性。
15. 舒伯特计数演算的严格基础。
16. 代数曲线与曲面的拓扑研究。
17. 正定形式的平方表示式。
18. 由全等多面体构造空间。
19. 正则变分问题的解是否一定解析。
20. 一般边值问题。
21. 具有给定单值群的线性微分方程的存在性。
22. 用自守函数将解析关系单值化。
23. 发展变分学的方法。
1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
3．两个等底等高四面体的体积相等问题
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。6.物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。
7.某些数的无理性与超越性 1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0 ，1，和任意代数无理数β证明了αβ 的超越性。
8.素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。
9．在任意数域中证明最一般的互反律该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。
10．丢番图方程的可解性能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。11．系数为任意代数数的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。
12．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。
13．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x （a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。
14．证明某类完备函数系的有限性这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。
15．舒伯特计数演算的严格基础一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。16．代数曲线和代数曲线面的拓扑问题这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。
17．半正定形式的平方和表示一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。
18．用全等多面体构造空间由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。
19．正则变分问题的解是否一定解析对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。
20．一般边值问题这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。
21．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。
22．由自守函数构成的解析函数的单值化它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。
23．变分法的进一步发展出这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。
这23问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数学的发展。
2. 算术公理体系的兼容性。
3. 只根据合同公理证明底面积相等、高相等的两个四面体有相等的体积是不 可 能的。即不能将这两个等体积的四面体剖分为若干相同的小多面体。4. 直线作为两点间最短距离的几何结构的研究。
5. 拓扑群成为李群的条件。
6. 物理学各分支的公理化。
7. 某些数的无理性与超越性。
8. 素数问题。包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等问题。
9. 一般互反律的证明。
10. 丢番图方程可解性的判别。
11. 一般代数数域的二次型论。
12. 类域的构成问题。具体为阿贝尔域上的克罗内克定理推广到作意代数有理 域。
13. 不可能用只有两个变量的函数解一般的七次方程。
14. 证明某类完全函数系的有限性。
15. 舒伯特计数演算的严格基础。
16. 代数曲线与曲面的拓扑研究。
17. 正定形式的平方表示式。
18. 由全等多面体构造空间。
19. 正则变分问题的解是否一定解析。
20. 一般边值问题。
21. 具有给定单值群的线性微分方程的存在性。
22. 用自守函数将解析关系单值化。
23. 发展变分学的方法。
1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
3．两个等底等高四面体的体积相等问题
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。6.物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。
7.某些数的无理性与超越性 1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0 ，1，和任意代数无理数β证明了αβ 的超越性。
8.素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。
9．在任意数域中证明最一般的互反律该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。
10．丢番图方程的可解性能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。11．系数为任意代数数的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。
12．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。
13．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x （a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。
14．证明某类完备函数系的有限性这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。
15．舒伯特计数演算的严格基础一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。16．代数曲线和代数曲线面的拓扑问题这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。
17．半正定形式的平方和表示一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。
18．用全等多面体构造空间由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。
19．正则变分问题的解是否一定解析对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。
20．一般边值问题这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。
21．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。
22．由自守函数构成的解析函数的单值化它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。
23．变分法的进一步发展出这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。
这23问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数学的发展。
2008年12月14日星期日
中国数学史
数学是中国古代科学中一门重要的学科，它的历史悠久，成就辉煌。根据它本身发展的特点，可以分为五个时期：①中国古代数学的萌芽；②中国古代数学体系的形成；③中国古代数学的发展；④中国古代数学的繁荣；⑤中西方数学的融合。
中国古代数学的萌芽 原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有｜,,,等表示1，2，3,4的符号。《易·繫辞》中说:“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。”这就是说，到原始公社末期，人们已开始用文字符号取代结绳记事了。西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案,半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形(见彩图)。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载。夏禹治水时已使用了这些工具。
商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期。在周代，又把以前用阴(--)、阳(-)符号构成的八卦表示8种事物发展为六十四卦,表示64种事物。公元前1世纪的《周髀算经》 提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法,他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练,作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。
春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用。筹算记数法已使用十进位值制。约公元前 4世纪的《墨经》描述这种记数法时说：“一少于二而多于五。说在建位。”这就是说，一在个位少于二，在十位就多于五，每个数字的大小除由它本身所表示的数值决定外，还要看它在整个数中所处的位置。根据后来约公元 4世纪的《孙子算经》的记载,任何数都是由九个纵排数字｜和九个横排数字－＝按个、百、万等用纵筹,十、千等用横筹来表示,零用空位表示。这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。在《考工记》中,已分别用矩、勾、倨、宣、、柯、磬析表示直角、锐角、钝角、45°、67°30┡、101°15┡、151°52.5┡（或135°）,还有用规(圆周)的部分(圆弧)来表示刀和弓的大小，例如“合六而成规”，“合九而成规”，“合七而成规”等等。战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”（无穷大）定义为“至大无外”,“小一”（无穷小）定义为“至小无内”,还提出“轮不辗地”、“南方无穷而有穷”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如，圆：一中同长也（从中心到周界有相同长度）；方：柱隅四殻也（四边四角皆正）；平：同高也（高度相等）；直：参也（三点相齐）；次（相切）：无间而不相樱也（既无大小又不相合）；端(点)：体之无厚而最前者也(部分中没有大小并处于最前缘者)，等等。墨家提出“环俱抵”（圆环转动时每一点都与地面接触而形成一根直线）来反驳名家的“轮不辗地”，次的定义显然来源于此。他们认为，在区域的前缘连一根线也容纳不下（域不容尺）称为“有穷”；不论区域多大，在其前缘总能容下一线之宽(莫不容尺)，称为“无穷”。因此在墨家看来，一个具体的空间不能既是“有穷”，又是“无穷”的。墨家也不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点（非半弗则不动，说在端）。名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论对中国古代数学理论的发展是很有意义的。
中国古代数学体系的形成 秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科以及《九章算术》为代表的数学著作的出现。《汉书·艺文志》载有《许商算术》2卷和《杜忠算术》16卷，但均已失传。1983年12月在湖北江陵张家山出土一本西汉初年的《算数书》，收有许多应用的数学问题。现有传本的著作是公元前1世纪的《周髀算经》和公元1世纪的《九章算术》(见彩图)。《周髀算经》是一部讲述盖天学说的天文著作，书中有较复杂的开方、分数运算和勾股定理的应用等数学问题。
《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算，今有术(西方称三率法)，开平方与开立方（包括二次方程数值解法），盈不足术（西方称双设法），各种面积和体积公式，线性方程组解法，正负数运算的加减法则，勾股形解法（特别是勾股定理和求勾股数的方法）等,水平都是很高的,其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。
《九章算术》有几个显著的特点：①采用按类分章的数学问题集的形式；②算式都是从筹算记数法发展起来的，这些算式表示法紧密地依赖于数字在图式上的位置；③以算术、代数为主,几何也是偏重于量的计算,很少涉及图形的性质;④重视应用,缺乏理论阐述。这些特点同当时社会条件与学术思想有关。秦汉时期，一切科学技术要求密切为当时确立和巩固封建制度以及发展社会生产服务。秦始皇为了推行中央集权制，重用荀派儒学和法家刑名之学，甚至不惜采取焚书坑儒的措施。汉武帝以后，为了巩固封建政权，接受董仲舒“罢黜百家，独尊儒术”的意见，把经董仲舒改造的儒家思想作为统治阶级的思想。西汉末年著名学者刘歆曾经谈到对数学的看法,他说:“夫推历、生律、制器、规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量、探赜索隐，钩深致远，莫不用焉。度长短者不失毫厘,量多少者不失圭撮,权轻重者不失黍絫。”刘歆这种强调数学应用的看法是具有代表性的。最后成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。
《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。
中国古代数学的发展 魏、晋数学的发展 魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，各抒己见，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能善于运用逻辑思维，分析义理。这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注 2卷（已失传）,魏末晋初刘徽撰《九章算术》注10卷(263)、《九章重差图》1卷（已失传）都是出现在这个时期,赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的5个公式；在“日高图及注”中,他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。
刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行"析理"，才能使数学著作简明严密，利于读者。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。例如，刘徽从率（后称为比）的定义出发论述了分数运算和今有术的道理，并推广今有术得到合比定理，他根据率、线性方程组和正负数的定义阐明方程组解法中消元的道理，指出方程式个数少于未知数个数时，方程组的解只能是一个比值；在一个方程式中，正与负可以同时变号；减法消元和加法消元可以统一为一种方法。刘徽指出，在开方求得整数后，还可以继续开方，“求其微数”。这不仅解决了求无理根的问题，而且提出了十进小数的方法。他创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式,并首次用理论的方法算得圆周率和。他提出用无穷分割的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之比恒为2:1,解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽实际上应用了下列公理：等高的两立体，若其任意同高处的水平截面积成比例，则这两立体体积亦成同样的比例；并根据这个公理,指出球的体积与其外切“牟合方盖”(两个等半径的圆柱正交的共同部分,（见彩图)的体积之比为π:4，为彻底解决球的体积提出了正确的途径。
刘徽在数学理论上取得如此重大的成就，除和他那个时代重视理论探讨的学术风气有关外，作为个人，有两点是十分重要的。第一，反对今文经学中的阴阳奇偶学说。在《九章算术·少广》章开立圆术注中,刘徽批评张衡在推导球的体积时，为了附会阴阳奇偶的学说而不顾疏密是一种弊病。第二，反对古文经学的繁琐和守旧思想。在《九章算术·方田》章圆田术注和《九章算术·方程》章末题注中他批评当时学者的"踵古"思想和“胶柱调瑟”不知变通的思想,认为数学如“疱丁之理”,应该讲求技巧，见简即用。
南北朝数学的发展 东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。在北方，由于当时社会的需要，在《九章算术》的基础上，数学仍在继续发展。《孙子算经》、《夏侯阳算经》（已失传）、《张丘建算经》就是这个时期的著作。从留传下来的《孙子算经》与《张丘建算经》来看，它们仍依《九章算术》的体例，甚至有些题目也是为了解释《九章算术》的算法。也有一些难题和解法超出《九章算术》的范围，并对后来数学的发展有着相当的影响，例如一次同余式组解法，等差级数求和、求公差、求项数的方法和不定方程解法等。
祖冲之父子的工作则是经济文化南移以后南方数学发展的具有代表性的工作，他们在《九章算术》刘徽注的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。根据史书的记载,祖冲之曾经注解《九章算术》,并与他的儿子祖暅共撰《缀术》六卷。这些著作均已失传。在《隋书·律历志》与李淳风《九章算术》注等零星记载中，他们的数学工作主要有下列几项。
① 圆周率 据推测, 祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积,从而得到 3.1415926< π <3.1415927。他又创造了新的方法，得到圆周率两个分数值,即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久。
② 祖暅公理和球体积 祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积必相等，这就是著名的祖暅公理。祖暅应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。
③ 二次与三次方程 《隋书· 律历志》在叙述祖冲之的圆周率以后说：“又设开差幂,开差立,兼以正负参之。指要精密，算氏之最者也。”中国古代称正系数的二次与三次方程解法为开带从平方和开带从立方，祖冲之用“差幂”取代带从平方，用“差立”取代带从立方,应指包括负系数在内的二次与三次方程的解法,因为只有负系数的方程在开方时才需“兼以正负参之”。这一数学工作确实是划时代的重大成就。
祖冲之父子这些成就也和他们的数学思想有关。和刘徽一样，祖冲之强烈反对踵古,他在大明六年(462)和戴法兴辩论历法时，提出对古代一切历法理论都要加以核验,决不“虚推古人”。他重视实践,为了制定一个准确的历法，他不辞劳苦，长期进行观测。他认为日、月、五星运行的速度“非出神怪,有形可验,有数可推”。祖暅也十分重视数学思维和数学推理，他提出，如果不能从已知条件直接导出结论时，可以假借相同的条件来进行分析（控远以演类，借况以折微）；在谈到球体积公式还没有解决时说：“夫岂难哉，抑末之思也。”言外之意是，他的球体积公式是经过逻辑思维推得的。
隋、唐数学的发展 隋炀帝好大喜功,大兴土木,客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》,主要是讨论土木工程中计算土方、工程的分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学发展的情况。已知不等高的长方棱台体积和上底、下底、高、长的差，求上底、下底、高和长是一个三次方程问题。王孝通的主要贡献是在《九章算术》的基础上，在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要,也为后来天元术的建立打下基础。此外,对传统的勾股形解法，他也有所发展，已知勾股形的勾股积与勾股差（或股弦差），求勾股，这类问题王孝通也是用数字三次方程解决的（见王孝通）。
唐初封建统治者继承隋制,656年在国子监设立算学馆,设有算学博士和助教,学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本。明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的;他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解,对读者是有帮助的(见《算经十书》)。
隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。206年,为了确定合朔时刻，刘洪在《乾象历》中首次提出用一次内插公式来确定月球在n+s（n为正整数，s<1）日共行的度数。600年,隋代天文学家刘焯在《皇极历》中提出一个推算日、月、五星视行度数的等间距二次内插公式。727年一行（张燧,683～727）在他的《大衍历》中又提出一个不等间距的二次内插公式。唐代其他历法，都应用内插法进行计算。
计算技术的改革 算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革。现传本《数术记遗》（题东汉徐岳撰,北周甄鸾注）载有“积算”、“太乙”、“两仪”、“三才”、“五行”、“八卦”、“九宫”、“运筹”、“了知”、“成数”、“把头”、“龟算”、“珠算”、“计数”等14种算法,反映了这种改革的情况。其中“太乙算”、“两仪算”、“三才算”和“珠算”都是用珠的槽算盘，在技术上是一项重要的改革。尤其是“珠算”,它继承了筹算五升十进与位值制的优点,又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用。
唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，书目中提到的“一位算法”、“求一”、“得一”的内容就是用分解因数的方法；化多位乘除为个位乘除；或用折半、加倍、退位的方法把乘除数化为首位是1的数,从而变乘除为加减。现传本《夏侯阳算经》记有很多这样的例子，例如“九因五添”、“添四四”、“身外减二”、“隔位加二”、“损一位”等等，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。
中国古代数学的繁荣 960年,北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣,科学技术突飞猛进,火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》。1213年鲍澣之又进行翻刻。这些情况为数学发展创造了良好的条件。从11～14世纪约300年期间,出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪（11世纪中期）的《黄帝九章算法细草》(已失传)，刘益(12世纪中期)的《议古根源》（已失传），秦九韶的《数书九章》 (1247),李冶的《测圆海镜》 (1248)和《益古演段》 (1259)，杨辉的《详解九章算法》(1261)、《日用算法》（1262）和《杨辉算法》(1274～1275)，朱世杰的《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》 (1303)等,很多领域都达到古代数学的高峰。其中一些成就也是当时世界数学的高峰。
增乘开方法与贾宪三角（二项系数表） 从开平方、开立方到4次以上的开方，在认识上是一个飞跃,实现这个飞跃的是贾宪。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方作法本源”图（见彩图）“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开 4次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其中贾宪三角比巴斯卡三角形早600多年。
高次方程数值解法 把增乘开方法推广到数字高次方程（包括系数为负的情形）解法的是刘益（12世纪中期）。《杨辉算法》中《田亩比类乘除捷法》卷下介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程,后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程（最高次数为10）的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，秦九韶把常数项规定为负数。他把高次方程解法分成各种类型,如：n次项系数不等于1的方程,奇次幂系数均为零的方程,进行x=y+с代换后常数项变号的方程与常数项符号不变而绝对值增大的方程等。方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母、常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第 2位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第 2位数的试除法。秦九韶的方法比霍纳方法早500多年。
高阶等差级数求和 高阶等差级数求和起源于沈括的"隙积术"。沈括在《梦溪笔谈》卷十八中提出,用棋子之类的东西堆成长方垛，棋子总数为
(αb)是第一层的个数，сd是第n层的个数)。杨辉在《详解九章算法》中讨论了上述垛积的 3个特例。即方亭垛(α＝b,с＝d)、方锥垛(α=b=1，с=d=n)和三角垛。朱世杰把高阶等差级数求和问题与二项系数表结合起来，得到三角形垛
和岚形垛
。
内插法 元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》(1280)中解决了三次函数的内插值问题。秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰在《四元玉鉴》“如象招数”题都提到内插法（他们称为招差术），朱世杰得到一个四次函数的内插公式。
一次同余式组解法 《孙子算经》“物不知数”题已提到一次同余式组解法的例子,秦九韶把它一般化。在这个方法中有一个必须解决的关键问题是求同余式kiGi呏1(mod αi)中的ki,式中。秦九韶在《数书九章》大衍类里，用更相减损的方法给出ki一个计算程序，完满地解决了这个问题，此外，秦九韶还讨论了模数αi是收数(小数)、通数(分数)、元数（一般正整数）、复数（10n的倍数）非两两互素的情形,并分别给出变上述4种数为两两互素的模数的方法。
高次方程立法 用天元（相当于现在的 x）作为未知数符号,立出高次方程,古代称为天元术。这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。李冶在一次项系数右旁记一“元”字（或在常数项右旁记一“太”字）。元以上的系数分别表示各正次幂，元以下的系数表示常数和各负次幂（在《益古演段》中又把这个次序倒转过来）。建立方程的具体方法是，根据问题的已知条件,列出两个相等的多项式p1(x)和p2(x)，令二者相减，即得一个数字高次方程。若其中一个多项式是分式多项式，如
,李冶则变另一多项式p2(x)为,使二者相减时消去分式多项式的分母，得 。这是刘徽关于率的概念在多项式运算中的应用与发展。
高次联立方程组 从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。祖颐在《四元玉鉴》后序中提到，平阳李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，霍山刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元。燕山朱汉卿“按天、地、人、物立成四元”。前二书已失传，留传至今并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。朱世杰的四元高次联立方程组表示法无疑是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央。四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法。其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，得到一个一元高次方程。最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展。朱世杰的方法比西方同类方法早400多年。
勾股形解法 勾股形解法在宋元时期有新的发展，朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法, 补充了《九章算术》的不足。 李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到一系列的结果。他把容圆勾股形分成14个相似的勾股形，除按传统的方法给出这些勾股形的名称外，还用文字作符号来表示，与现今用字母A，B，C,…表示几何图形相似。从14个勾股形中，李冶得到692条“识别杂记”,阐明各勾股形的线段之间与线段的和、差、积之间的关系。除原有的勾股容圆外，李冶得到勾上容圆、股上容圆、弦上容圆、勾股上容圆、勾外容圆、股外容圆、弦外容圆、勾外容圆半、股外容圆半等9个容圆公式,大大丰富了中国古代几何学的内容。
弧矢割圆术 已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧,求赤经余弧和赤纬度数,是一个解球面直角三角形的问题。传统历法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、沈括的会圆术(已知弦、矢、半径求弧长的近似公式)和天元术解决了这个问题。由于王恂、郭守敬求直径时用圆周率3以及沈括的公式是一个近似公式,因此结果不够精确。除此以外，整个推算步骤是正确无误的。从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径。
纵横图 纵横图又称幻方，根据《乾凿度》和东汉郑玄注,至迟在汉代已有一个三行纵横图。宋元时期,纵横图研究有了很大发展，杨辉在《续古摘奇算法》中记录了这方面的成就。杨辉指出,九宫图是一个从1～32的9个自然数排成三行三列,其行、列或对角线之和均为15的三行纵横图。这种图可以推广到从 1到n2的情形，它的行、列或对角线之和为n(1+n2)/2。他还列出四行、五行、六行、七行、八行、九行、十行8个纵横图,并指出三行和四行纵横图的构造方法。杨辉的这一工作为这个领域的研究开辟了道路。
小数 现传本《夏侯阳算经》已有化名数为十进小数的例子。宋元时代，这种十进小数有了广泛应用和发展，秦九韶用名数作为小数的符号,例如18.56寸表示如图1;李冶则依靠算式的位置表示,例如－8.25x2+2.673=0表示如图2。杨辉和朱世杰的化斤价为两价的歌诀，是小数的具体应用。
珠算的出现 中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多。改革的主要内容仍是乘除法。“留头乘”最早见于朱世杰《算学启蒙》。“九归”最早出现在沈括的《梦溪笔谈》，杨辉在《乘除通变本末》(1274)、朱世杰在《算学启蒙》中进一步把它完善。“归除”最早见于《算学启蒙》，“撞归”、“起一”是朱世杰首先提出来的，丁巨（著有《丁巨算法》，1355）、何平予（著有《详明算法》，1373）和贾亨（著有《算法全能集》）把它具体化。“留头乘”与“归除”的出现，使乘除法不需任何变通便可在一个横列里进行，与现今珠算的方法完全一样。与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋已可能出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘,又有一套完善的算法和口诀,那么应该说它最后完成于元代。
宋元数学的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果，是传统数学发展的必然结果。此外，数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的。宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义。李冶曾批评朱熹著作，说它不通的地方很多。他指出，说数学难认识是可以的，但说数学不能认识就不对；他认为数学来源于自然界，“苟能推自然之理”就可以“明自然之数”。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来也认识到，“通神明”的数学是不存在的，只有“经世务类万物”的数学。莫若在《四元玉鉴》序文中提出的“用假象真，以虚问实”则代表了朱世杰高度抽象思维的思想方法，杨辉对纵横图结构进行研究，揭示出洛书的本质，有力地批判了象数神秘主义。所有这些，无疑是促进数学发展的重要因素。
中、西方数学的融合 明代进入了封建社会的晚期，封建统治者实行极权统治，宣传唯心主义哲学，施行八股考试制度。在这种情况下，除珠算外，数学发展逐渐衰落。16世纪末以后，西方初等数学陆续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面。鸦片战争以后，近代数学开始传入中国，中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期,直到19世纪末与20世纪初,近代数学研究才真正开始。
珠算的普及 从明初到明中叶，商品经济有所发展，和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初《魁本对相四言杂字》(1371)和《鲁班木经》(15世纪上半叶)的出现，说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本，后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。随后，珠算著作也陆续出现。如吴敬《九章详注比类算法大全》（1450）、王文素《古今算学宝鉴》(1524)、徐心鲁《盘珠算法》(1573)、柯尚迁《数学通轨》(1578)、朱载堉的《算学新说》（1584）、程大位《直指算法统宗》(1592)等。随着珠算的普及，珠算算法和口诀也逐渐趋于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀；徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除，从而实现了珠算四则运算的全部口诀化；朱载堉和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算，程大位用珠算解数字二次、三次方程等等。程大位的著作在国内外流传很广，影响很大。
早期传入的西方数学 1582年意大利传教士利玛窦到中国,1607年以后,先后与徐光启翻译《几何原本》前6卷(1607)、《测量法义》1卷(1607～1608)，与李之藻编译《圜容较义》(1608)和《同文算指》(1613)。1629年，徐光启被礼部任命在历局督修历法,在他主持下,编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说，作为这一学说的数学基础，希腊的几何学,欧洲玉山若干的三角学以及纳皮尔算筹,伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来。
在传入的数学中,影响最大的是《几何原本》。《几何原本》是现传的中国第一部数学翻译著作。绝大部分数学名词都是首创，其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它“不必疑”,“不必改”,“举世无一人不当学”。他所著的《测量异同》和《勾股义》，就是应用《几何原本》的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术。他主编的《崇祯历书》,天文学和数学基本理论占全书30％,充分说明他对理论的重视。《几何原本》是明清两代数学家必读的数学书，对他们的研究工作也颇有影响。其次，应用最广的是三角学。介绍西方三角学的著作有邓玉函编译的《大测》2卷(1631)、《割圆八线表》6卷和罗雅谷的《测量全义》10卷（1631）。《大测》主要说明三角八线（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢）的性质，造表方法和用表方法。《测量全义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外，比较重要的是积化和差公式和球面三角（直角三角形的弧与角的关系式和一般三角形的正弦定理和余弦定理）。所有这些，在当时历法工作中都是随译随用的。
中西数学的会通 1646年，波兰传教士穆尼阁来华，跟随他学习西方科学的有薛凤祚、方中通等。穆尼阁去世后，薛凤祚据其所学，编成《历学会通》，想把中法西法融会贯通起来。《历学会通》中的数学内容主要有《比例对数表》1卷（1653）、《比例四线新表》1卷和《三角算法》1卷(1653)。前两书是介绍英国数学家 J.纳皮尔和H.布里格斯发明增修的对数。后一书除《崇祯历书》介绍的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式（Delambres analogies）、 纳氏比例式(Nepiers analogies)等。方中通所著《数度衍》(1641)，对对数理论进行解释。对数的传入是十分重要，它在历法计算中立即就得到应用。
清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多，影响较大的有王锡阐《图解》1卷,梅文鼎《梅氏丛书辑要》60卷(其中数学著作13种共40卷)，年希尧《视学》2卷等。王锡阐的工作主要是证明两角和、差的正弦和余弦公式。为了证明上述公式，他对涉及的名词概念都逐一加以定义,引入“折”的概念取代角;由于缺乏直角坐标系的概念，在证明时他还把两弧和两弧的和差分为小于象限或大于象限的各种情形，方法是独具一格的。梅文鼎是集中西数学之大成者。他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究，使濒于枯萎的明代数学出现了生机，在介绍西方数学中有校正、证明和补充。例如：校正了罗雅谷关于比例规叙述中的错误，证明三角学中没有证明的公式和定理等。梅文鼎认为传统的勾股形解法就是西方的几何学和三角学，他用勾股形解法的公式证明《几何原本》前6卷的15个定理,用勾股方法证明球面直角三角形的边角关系公式。他创造一种直角射影的方法证明球面三角学的余弦定理。对《测量全义》介绍的 5种多面体公式,他证明了其中4种,其中关于二十面体的计算,他纠正了《测量全义》和罗雅谷的错误等。梅文鼎肯定数学来源于实际；对西方数学，他认为“技取其长而理唯其是”，“法有可采何论东西,理所当明何分新旧”,应该“去中西之见,以平心观理”,态度是比较正确的。年希尧的《视学》是中国第一部介绍西方透视学的著作。
清康熙皇帝十分重视西方科学，他除了亲自学习天文数学外，还培养了一些人才和翻译了一些著作。1712年康熙皇帝命梅瑴成任蒙养斋汇编官，会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书。1721年完成《律历渊源》100卷,以康熙“御定”的名义于1723年出版。其中《数理精蕴》53卷主要由梅瑴成负责，分上下2编，上编包括《几何原本》3卷、《算法原本》1卷,均译自法文著作；下编40卷，包括算术、代数、平面几何、平面三角、立体几何等初等数学，附有素数表、对数表和三角函数表。《数理精蕴》的基本内容除传统数学和早期传入的西方数学外，新传入的数学有借根方比例、“连比例”方法，椭圆面积和椭球体积以及计算尺、素数表等。由于它是一部比较全面的初等数学百科全书,并有康熙“御定”的名义，因此对当时数学研究是具有一定影响的。
1701年法国人杜德美带来J.格雷果里的"弧求正弦"、“弧求正矢”和I.牛顿的“圆径求周”三个无穷级数的公式，但没有证明。1800年前后，明安图、董祐诚、项名达各自依据《数理精蕴》提出的“连比例”方法，对这些级数进行研究，获得一些创造性结果。明安图著有《割圆密率捷法》4卷 (1774年由他的学生陈际新定稿)，他除了证明杜德美传入的 3个公式外，还创造“弧求通弦”、“弧求正矢”、“通弦求弧”、“正矢求弧”、“正弦求弧”、“正矢求弧” 6个新的公式。董祐诚著有《割圜连比例图解》2卷(1819)，他把明安图9个公式概括为“分弧通弦求全弧通弦”、“分弧中矢求全弧中矢”、“分弧通弦求通弧通弦”、“分弧中矢求通弦中矢”4个公式。1837年项名达又把董祐诚的4个公式概括为“分弧通弦求全弧通弦”、“分弧中矢求全弧中矢”两个公式。他著有《象数一原》6卷(1837,由戴煦续成)。著作后面附有《椭圆求周术》，正确地解决了椭圆求周长的问题。
戴煦对三角函数的幂级数公式和椭圆求周的问题也有研究，著有《外切密率》4卷(1852),补充正切、余切、正割、余割四个幂级数公式。为了简化对数的计算,他创立了指数为任何有理数的二项式定理展开式，从而也得到对数函数的幂级数公式。这些成果记载在他著的《对数简法》2卷(1845)和《续对数简法》1卷(1846)中。
与戴煦同时,李善兰在1845年著有《方圆阐幽》1卷，《弧矢启秘》2卷与《对数探源》2卷。他创造尖锥术，并用它来论证二项平方根的幂级数公式，π的幂级数公式，“正弦求弧”、“正切求弧”、“弧求正弦”、“弧求正切”、“弧求正矢”、“弧求正割”等三角函数幂级数公式以及对数函数幂级数公式。所谓尖锥术是指对一切自然数n的乘方数 xn都可用线段长表示，它们可以积迭成 n乘尖锥面。这种尖锥面由相互垂直的底线、高(h)和凹向的尖锥曲线组成。其面积为。这种尖锥面表示法已具有解析几何的坐标表示的思想，求积法相当于幂函数的定积分公式。
综上述可以看到，清代数学家对西方数学做了大量的会通工作，并取得许多独创性的成果。这些成果，如和传统数学比较，是有进步的，但和同时代的西方比较，则明显落后了。
传统数学的整理和研究 雍正即位(1723)以后，对外闭关自守，导致西方科学停止输入中国，对内对汉族士大夫实行高压政策。在这种情况下，一般学者既不能接触西方数学，又不敢过问经世致用之学，因而埋头于究治古籍。乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学派。1773年开设四库全书馆，辑录《永乐大典》保存佚书和征集私家藏书，于1781年编成《四库全书》，先后收集到《算经十书》和宋元时期的数学著作。纂修兼分校官戴震（1724～1777）对《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五经算术》 4部著作详加校勘，改正许多误文夺字,对学者是有帮助的。随后,李潢(?～1811)著的《九章算术细草图说》9卷，《海岛算经细草图说》1卷和《辑古算经考注》2卷，李锐注的《数书九章》、《测圆海镜》和《益古演段》，沈钦裴著的《四元玉鉴细草》2 卷（1829）和罗士琳撰的《四元玉鉴细草》24卷(1834)都很有参考价值。
随着《算经十书》与宋元数学著作的收集与注释，出现了一个研究传统数学的高潮。其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循、汪莱、李锐、李善兰等。焦循在《加减乘除释》（1798）中，用甲、乙、丙、丁……等天干字表示具体的数，列出加、减、乘、除的几个基本定律，用这些符号和定律来说明古代算法原理，这在中国数学史上是一个创造。汪莱著有《衡斋算学》 7册(1796～1805)。在第五册(1801)中，他讨论了二次、三次方程有多少正根以及正根和系数的关系问题，得到与韦达定理相当的结果。在第七册(1805)中专门讨论三项方程xn-pxm+q=0（n>m 都是正整数，p、q都是正数），他用归纳法得到上述方程有正根的条件相当于
1802年李锐见到汪莱的《衡斋算学》第五册算书后，写了“第五册算书跋”，提出 n次高次方程只有一个正根与多于一个正根和方程系数的符号有关，和得到一个正根后的(n-1)次方程的系数符号有关,他的结论基本上是正确的。在《开方说》(1817)中李锐进一步指出：高次方程系数符号变化一次的有1正根，变化二次的有2正根，变化三次的有3正根或1正根，变化四次的有4正根或2正根，所缺正根称为“无数”，“凡无数必两，无一无数者”。这些与笛卡儿的符号规则基本相同。他还指出：二次方程有2根，三次方程有3根或1根，四次方程有4根或2根（以上均包括负根）；若方程有正、负根,将方程系数的正负号隔位易之，则正负根互换符号；方程的重根与“无数”不同等等。汪莱、李锐的工作，和宋元时代的代数学比较是青出于蓝而胜于蓝的；和西方代数学比较，在时间上晚了一些，但他们的成果是在没有受到西方近代数学的影响下独立得到的。
对朱世杰的垛积术进行研究并有重大成果的是李善兰，在《垛积比类》（约1859）中，李善兰创造了一个著名的恒等式：
式中为朱世杰三角垛的一般项，是二项式定理系数。利用三角垛求和公式就得出一个中外驰名的三角自乘垛求和公式：
他还得到三角变垛、三角再变垛和三角三变垛的公式。
与传统数学研究出现高潮的同时，阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记──《畴人传》(1795～1810)。《畴人传》收集从黄帝时期到嘉庆四年(1799)已故的天文学家和数学家270余人(其中有数学著作传世的不足50人)和明末以来介绍西方天文数学的传教士 41人。这部著作全由“掇拾史书，荃萃群籍，甄而录之”而成，收集的完全是第一手的原始资料，在学术界颇有影响。
近代数学的传入 鸦片战争（1840）以后，西方近代数学开始传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆，介绍西方数学。第二次鸦片战争(1860)后，曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”，也主张介绍和学习西方数学。1864年美国长老会教士狄考文于山东登州设立文会馆。1866年恭亲王奕建议在同文馆内添设算学，1868年曾国藩、李鸿章于上海江南制造局内添设翻译馆，中国数学工作者在上述部门和外国人一起翻译了一批近代数学著作。其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《几何原本》后 9卷（1857）、《代数学》13卷(1859)、《代微积拾级》18卷(1859)；华蘅芳与英人傅兰雅合译的《代数术》25卷 (1872)、《微积溯源》8卷（1874）、《决疑数学》10卷(1880)；邹立文与狄考文编译的《形学备旨》10卷(1885)、《代数备旨》13卷(1891)；《笔算数学》3册 (1892)；谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》3卷(1893)，《八线备旨》4卷(1894)等等。《代微积拾级》是中国第一部微积分学译本，《代数学》是英国数学家A.德·摩根所著，是一部重要的符号代数学译本，《决疑数学》是第一部概率论译本。在这些译著中，创造了许多数学名词和术语，至今还在应用，但所用数学符号一般已被淘汰了。戊戌变法(1898)以后，各地兴办新法学校，上述一些著作便成为主要教科书。在翻译西方数学著作的同时,中国学者也进行一些研究,写出一些著作,较重要的有李善兰的《尖锥变法解》1卷、《考数根法》1卷(1872);夏鸾翔(1823～1864)的《洞方术图解》2卷(1857)、《致曲术》1卷、《致曲图解》1卷等等，都是会通中西学术思想的研究成果。
由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程，加上清末统治者十分腐败，在太平天国运动的冲击下，在帝国主义列强的掠夺下，焦头烂额，无暇顾及数学研究。直到1919年五四运动以后近代数学的研究才真正开始。
中国古代数学的萌芽 原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有｜,,,等表示1，2，3,4的符号。《易·繫辞》中说:“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。”这就是说，到原始公社末期，人们已开始用文字符号取代结绳记事了。西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案,半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形(见彩图)。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载。夏禹治水时已使用了这些工具。
商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期。在周代，又把以前用阴(--)、阳(-)符号构成的八卦表示8种事物发展为六十四卦,表示64种事物。公元前1世纪的《周髀算经》 提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法,他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练,作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。
春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用。筹算记数法已使用十进位值制。约公元前 4世纪的《墨经》描述这种记数法时说：“一少于二而多于五。说在建位。”这就是说，一在个位少于二，在十位就多于五，每个数字的大小除由它本身所表示的数值决定外，还要看它在整个数中所处的位置。根据后来约公元 4世纪的《孙子算经》的记载,任何数都是由九个纵排数字｜和九个横排数字－＝按个、百、万等用纵筹,十、千等用横筹来表示,零用空位表示。这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。在《考工记》中,已分别用矩、勾、倨、宣、、柯、磬析表示直角、锐角、钝角、45°、67°30┡、101°15┡、151°52.5┡（或135°）,还有用规(圆周)的部分(圆弧)来表示刀和弓的大小，例如“合六而成规”，“合九而成规”，“合七而成规”等等。战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”（无穷大）定义为“至大无外”,“小一”（无穷小）定义为“至小无内”,还提出“轮不辗地”、“南方无穷而有穷”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家给出一些数学定义。例如，圆：一中同长也（从中心到周界有相同长度）；方：柱隅四殻也（四边四角皆正）；平：同高也（高度相等）；直：参也（三点相齐）；次（相切）：无间而不相樱也（既无大小又不相合）；端(点)：体之无厚而最前者也(部分中没有大小并处于最前缘者)，等等。墨家提出“环俱抵”（圆环转动时每一点都与地面接触而形成一根直线）来反驳名家的“轮不辗地”，次的定义显然来源于此。他们认为，在区域的前缘连一根线也容纳不下（域不容尺）称为“有穷”；不论区域多大，在其前缘总能容下一线之宽(莫不容尺)，称为“无穷”。因此在墨家看来，一个具体的空间不能既是“有穷”，又是“无穷”的。墨家也不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点（非半弗则不动，说在端）。名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果。名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论对中国古代数学理论的发展是很有意义的。
中国古代数学体系的形成 秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科以及《九章算术》为代表的数学著作的出现。《汉书·艺文志》载有《许商算术》2卷和《杜忠算术》16卷，但均已失传。1983年12月在湖北江陵张家山出土一本西汉初年的《算数书》，收有许多应用的数学问题。现有传本的著作是公元前1世纪的《周髀算经》和公元1世纪的《九章算术》(见彩图)。《周髀算经》是一部讲述盖天学说的天文著作，书中有较复杂的开方、分数运算和勾股定理的应用等数学问题。
《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算，今有术(西方称三率法)，开平方与开立方（包括二次方程数值解法），盈不足术（西方称双设法），各种面积和体积公式，线性方程组解法，正负数运算的加减法则，勾股形解法（特别是勾股定理和求勾股数的方法）等,水平都是很高的,其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。
《九章算术》有几个显著的特点：①采用按类分章的数学问题集的形式；②算式都是从筹算记数法发展起来的，这些算式表示法紧密地依赖于数字在图式上的位置；③以算术、代数为主,几何也是偏重于量的计算,很少涉及图形的性质;④重视应用,缺乏理论阐述。这些特点同当时社会条件与学术思想有关。秦汉时期，一切科学技术要求密切为当时确立和巩固封建制度以及发展社会生产服务。秦始皇为了推行中央集权制，重用荀派儒学和法家刑名之学，甚至不惜采取焚书坑儒的措施。汉武帝以后，为了巩固封建政权，接受董仲舒“罢黜百家，独尊儒术”的意见，把经董仲舒改造的儒家思想作为统治阶级的思想。西汉末年著名学者刘歆曾经谈到对数学的看法,他说:“夫推历、生律、制器、规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量、探赜索隐，钩深致远，莫不用焉。度长短者不失毫厘,量多少者不失圭撮,权轻重者不失黍絫。”刘歆这种强调数学应用的看法是具有代表性的。最后成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。
《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。
中国古代数学的发展 魏、晋数学的发展 魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，各抒己见，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能善于运用逻辑思维，分析义理。这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注 2卷（已失传）,魏末晋初刘徽撰《九章算术》注10卷(263)、《九章重差图》1卷（已失传）都是出现在这个时期,赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的5个公式；在“日高图及注”中,他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。
刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行"析理"，才能使数学著作简明严密，利于读者。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。例如，刘徽从率（后称为比）的定义出发论述了分数运算和今有术的道理，并推广今有术得到合比定理，他根据率、线性方程组和正负数的定义阐明方程组解法中消元的道理，指出方程式个数少于未知数个数时，方程组的解只能是一个比值；在一个方程式中，正与负可以同时变号；减法消元和加法消元可以统一为一种方法。刘徽指出，在开方求得整数后，还可以继续开方，“求其微数”。这不仅解决了求无理根的问题，而且提出了十进小数的方法。他创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式,并首次用理论的方法算得圆周率和。他提出用无穷分割的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之比恒为2:1,解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽实际上应用了下列公理：等高的两立体，若其任意同高处的水平截面积成比例，则这两立体体积亦成同样的比例；并根据这个公理,指出球的体积与其外切“牟合方盖”(两个等半径的圆柱正交的共同部分,（见彩图)的体积之比为π:4，为彻底解决球的体积提出了正确的途径。
刘徽在数学理论上取得如此重大的成就，除和他那个时代重视理论探讨的学术风气有关外，作为个人，有两点是十分重要的。第一，反对今文经学中的阴阳奇偶学说。在《九章算术·少广》章开立圆术注中,刘徽批评张衡在推导球的体积时，为了附会阴阳奇偶的学说而不顾疏密是一种弊病。第二，反对古文经学的繁琐和守旧思想。在《九章算术·方田》章圆田术注和《九章算术·方程》章末题注中他批评当时学者的"踵古"思想和“胶柱调瑟”不知变通的思想,认为数学如“疱丁之理”,应该讲求技巧，见简即用。
南北朝数学的发展 东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。在北方，由于当时社会的需要，在《九章算术》的基础上，数学仍在继续发展。《孙子算经》、《夏侯阳算经》（已失传）、《张丘建算经》就是这个时期的著作。从留传下来的《孙子算经》与《张丘建算经》来看，它们仍依《九章算术》的体例，甚至有些题目也是为了解释《九章算术》的算法。也有一些难题和解法超出《九章算术》的范围，并对后来数学的发展有着相当的影响，例如一次同余式组解法，等差级数求和、求公差、求项数的方法和不定方程解法等。
祖冲之父子的工作则是经济文化南移以后南方数学发展的具有代表性的工作，他们在《九章算术》刘徽注的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。根据史书的记载,祖冲之曾经注解《九章算术》,并与他的儿子祖暅共撰《缀术》六卷。这些著作均已失传。在《隋书·律历志》与李淳风《九章算术》注等零星记载中，他们的数学工作主要有下列几项。
① 圆周率 据推测, 祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积,从而得到 3.1415926< π <3.1415927。他又创造了新的方法，得到圆周率两个分数值,即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久。
② 祖暅公理和球体积 祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积必相等，这就是著名的祖暅公理。祖暅应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。
③ 二次与三次方程 《隋书· 律历志》在叙述祖冲之的圆周率以后说：“又设开差幂,开差立,兼以正负参之。指要精密，算氏之最者也。”中国古代称正系数的二次与三次方程解法为开带从平方和开带从立方，祖冲之用“差幂”取代带从平方，用“差立”取代带从立方,应指包括负系数在内的二次与三次方程的解法,因为只有负系数的方程在开方时才需“兼以正负参之”。这一数学工作确实是划时代的重大成就。
祖冲之父子这些成就也和他们的数学思想有关。和刘徽一样，祖冲之强烈反对踵古,他在大明六年(462)和戴法兴辩论历法时，提出对古代一切历法理论都要加以核验,决不“虚推古人”。他重视实践,为了制定一个准确的历法，他不辞劳苦，长期进行观测。他认为日、月、五星运行的速度“非出神怪,有形可验,有数可推”。祖暅也十分重视数学思维和数学推理，他提出，如果不能从已知条件直接导出结论时，可以假借相同的条件来进行分析（控远以演类，借况以折微）；在谈到球体积公式还没有解决时说：“夫岂难哉，抑末之思也。”言外之意是，他的球体积公式是经过逻辑思维推得的。
隋、唐数学的发展 隋炀帝好大喜功,大兴土木,客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》,主要是讨论土木工程中计算土方、工程的分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学发展的情况。已知不等高的长方棱台体积和上底、下底、高、长的差，求上底、下底、高和长是一个三次方程问题。王孝通的主要贡献是在《九章算术》的基础上，在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要,也为后来天元术的建立打下基础。此外,对传统的勾股形解法，他也有所发展，已知勾股形的勾股积与勾股差（或股弦差），求勾股，这类问题王孝通也是用数字三次方程解决的（见王孝通）。
唐初封建统治者继承隋制,656年在国子监设立算学馆,设有算学博士和助教,学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本。明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的;他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解,对读者是有帮助的(见《算经十书》)。
隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。206年,为了确定合朔时刻，刘洪在《乾象历》中首次提出用一次内插公式来确定月球在n+s（n为正整数，s<1）日共行的度数。600年,隋代天文学家刘焯在《皇极历》中提出一个推算日、月、五星视行度数的等间距二次内插公式。727年一行（张燧,683～727）在他的《大衍历》中又提出一个不等间距的二次内插公式。唐代其他历法，都应用内插法进行计算。
计算技术的改革 算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革。现传本《数术记遗》（题东汉徐岳撰,北周甄鸾注）载有“积算”、“太乙”、“两仪”、“三才”、“五行”、“八卦”、“九宫”、“运筹”、“了知”、“成数”、“把头”、“龟算”、“珠算”、“计数”等14种算法,反映了这种改革的情况。其中“太乙算”、“两仪算”、“三才算”和“珠算”都是用珠的槽算盘，在技术上是一项重要的改革。尤其是“珠算”,它继承了筹算五升十进与位值制的优点,又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用。
唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，书目中提到的“一位算法”、“求一”、“得一”的内容就是用分解因数的方法；化多位乘除为个位乘除；或用折半、加倍、退位的方法把乘除数化为首位是1的数,从而变乘除为加减。现传本《夏侯阳算经》记有很多这样的例子，例如“九因五添”、“添四四”、“身外减二”、“隔位加二”、“损一位”等等，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。
中国古代数学的繁荣 960年,北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣,科学技术突飞猛进,火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》。1213年鲍澣之又进行翻刻。这些情况为数学发展创造了良好的条件。从11～14世纪约300年期间,出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪（11世纪中期）的《黄帝九章算法细草》(已失传)，刘益(12世纪中期)的《议古根源》（已失传），秦九韶的《数书九章》 (1247),李冶的《测圆海镜》 (1248)和《益古演段》 (1259)，杨辉的《详解九章算法》(1261)、《日用算法》（1262）和《杨辉算法》(1274～1275)，朱世杰的《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》 (1303)等,很多领域都达到古代数学的高峰。其中一些成就也是当时世界数学的高峰。
增乘开方法与贾宪三角（二项系数表） 从开平方、开立方到4次以上的开方，在认识上是一个飞跃,实现这个飞跃的是贾宪。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方作法本源”图（见彩图）“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开 4次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其中贾宪三角比巴斯卡三角形早600多年。
高次方程数值解法 把增乘开方法推广到数字高次方程（包括系数为负的情形）解法的是刘益（12世纪中期）。《杨辉算法》中《田亩比类乘除捷法》卷下介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程,后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程（最高次数为10）的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，秦九韶把常数项规定为负数。他把高次方程解法分成各种类型,如：n次项系数不等于1的方程,奇次幂系数均为零的方程,进行x=y+с代换后常数项变号的方程与常数项符号不变而绝对值增大的方程等。方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母、常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第 2位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第 2位数的试除法。秦九韶的方法比霍纳方法早500多年。
高阶等差级数求和 高阶等差级数求和起源于沈括的"隙积术"。沈括在《梦溪笔谈》卷十八中提出,用棋子之类的东西堆成长方垛，棋子总数为
(αb)是第一层的个数，сd是第n层的个数)。杨辉在《详解九章算法》中讨论了上述垛积的 3个特例。即方亭垛(α＝b,с＝d)、方锥垛(α=b=1，с=d=n)和三角垛。朱世杰把高阶等差级数求和问题与二项系数表结合起来，得到三角形垛
和岚形垛
。
内插法 元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》(1280)中解决了三次函数的内插值问题。秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰在《四元玉鉴》“如象招数”题都提到内插法（他们称为招差术），朱世杰得到一个四次函数的内插公式。
一次同余式组解法 《孙子算经》“物不知数”题已提到一次同余式组解法的例子,秦九韶把它一般化。在这个方法中有一个必须解决的关键问题是求同余式kiGi呏1(mod αi)中的ki,式中。秦九韶在《数书九章》大衍类里，用更相减损的方法给出ki一个计算程序，完满地解决了这个问题，此外，秦九韶还讨论了模数αi是收数(小数)、通数(分数)、元数（一般正整数）、复数（10n的倍数）非两两互素的情形,并分别给出变上述4种数为两两互素的模数的方法。
高次方程立法 用天元（相当于现在的 x）作为未知数符号,立出高次方程,古代称为天元术。这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。李冶在一次项系数右旁记一“元”字（或在常数项右旁记一“太”字）。元以上的系数分别表示各正次幂，元以下的系数表示常数和各负次幂（在《益古演段》中又把这个次序倒转过来）。建立方程的具体方法是，根据问题的已知条件,列出两个相等的多项式p1(x)和p2(x)，令二者相减，即得一个数字高次方程。若其中一个多项式是分式多项式，如
,李冶则变另一多项式p2(x)为,使二者相减时消去分式多项式的分母，得 。这是刘徽关于率的概念在多项式运算中的应用与发展。
高次联立方程组 从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。祖颐在《四元玉鉴》后序中提到，平阳李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，霍山刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元。燕山朱汉卿“按天、地、人、物立成四元”。前二书已失传，留传至今并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。朱世杰的四元高次联立方程组表示法无疑是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央。四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法。其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，得到一个一元高次方程。最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展。朱世杰的方法比西方同类方法早400多年。
勾股形解法 勾股形解法在宋元时期有新的发展，朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法, 补充了《九章算术》的不足。 李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到一系列的结果。他把容圆勾股形分成14个相似的勾股形，除按传统的方法给出这些勾股形的名称外，还用文字作符号来表示，与现今用字母A，B，C,…表示几何图形相似。从14个勾股形中，李冶得到692条“识别杂记”,阐明各勾股形的线段之间与线段的和、差、积之间的关系。除原有的勾股容圆外，李冶得到勾上容圆、股上容圆、弦上容圆、勾股上容圆、勾外容圆、股外容圆、弦外容圆、勾外容圆半、股外容圆半等9个容圆公式,大大丰富了中国古代几何学的内容。
弧矢割圆术 已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧,求赤经余弧和赤纬度数,是一个解球面直角三角形的问题。传统历法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、沈括的会圆术(已知弦、矢、半径求弧长的近似公式)和天元术解决了这个问题。由于王恂、郭守敬求直径时用圆周率3以及沈括的公式是一个近似公式,因此结果不够精确。除此以外，整个推算步骤是正确无误的。从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径。
纵横图 纵横图又称幻方，根据《乾凿度》和东汉郑玄注,至迟在汉代已有一个三行纵横图。宋元时期,纵横图研究有了很大发展，杨辉在《续古摘奇算法》中记录了这方面的成就。杨辉指出,九宫图是一个从1～32的9个自然数排成三行三列,其行、列或对角线之和均为15的三行纵横图。这种图可以推广到从 1到n2的情形，它的行、列或对角线之和为n(1+n2)/2。他还列出四行、五行、六行、七行、八行、九行、十行8个纵横图,并指出三行和四行纵横图的构造方法。杨辉的这一工作为这个领域的研究开辟了道路。
小数 现传本《夏侯阳算经》已有化名数为十进小数的例子。宋元时代，这种十进小数有了广泛应用和发展，秦九韶用名数作为小数的符号,例如18.56寸表示如图1;李冶则依靠算式的位置表示,例如－8.25x2+2.673=0表示如图2。杨辉和朱世杰的化斤价为两价的歌诀，是小数的具体应用。
珠算的出现 中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多。改革的主要内容仍是乘除法。“留头乘”最早见于朱世杰《算学启蒙》。“九归”最早出现在沈括的《梦溪笔谈》，杨辉在《乘除通变本末》(1274)、朱世杰在《算学启蒙》中进一步把它完善。“归除”最早见于《算学启蒙》，“撞归”、“起一”是朱世杰首先提出来的，丁巨（著有《丁巨算法》，1355）、何平予（著有《详明算法》，1373）和贾亨（著有《算法全能集》）把它具体化。“留头乘”与“归除”的出现，使乘除法不需任何变通便可在一个横列里进行，与现今珠算的方法完全一样。与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋已可能出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘,又有一套完善的算法和口诀,那么应该说它最后完成于元代。
宋元数学的繁荣，是社会经济发展和科学技术发展的必然结果，是传统数学发展的必然结果。此外，数学家们的科学思想与数学思想也是十分重要的。宋元数学家都在不同程度上反对理学家的象数神秘主义。李冶曾批评朱熹著作，说它不通的地方很多。他指出，说数学难认识是可以的，但说数学不能认识就不对；他认为数学来源于自然界，“苟能推自然之理”就可以“明自然之数”。秦九韶虽曾主张数学与道学同出一源，但他后来也认识到，“通神明”的数学是不存在的，只有“经世务类万物”的数学。莫若在《四元玉鉴》序文中提出的“用假象真，以虚问实”则代表了朱世杰高度抽象思维的思想方法，杨辉对纵横图结构进行研究，揭示出洛书的本质，有力地批判了象数神秘主义。所有这些，无疑是促进数学发展的重要因素。
中、西方数学的融合 明代进入了封建社会的晚期，封建统治者实行极权统治，宣传唯心主义哲学，施行八股考试制度。在这种情况下，除珠算外，数学发展逐渐衰落。16世纪末以后，西方初等数学陆续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面。鸦片战争以后，近代数学开始传入中国，中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期,直到19世纪末与20世纪初,近代数学研究才真正开始。
珠算的普及 从明初到明中叶，商品经济有所发展，和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初《魁本对相四言杂字》(1371)和《鲁班木经》(15世纪上半叶)的出现，说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本，后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。随后，珠算著作也陆续出现。如吴敬《九章详注比类算法大全》（1450）、王文素《古今算学宝鉴》(1524)、徐心鲁《盘珠算法》(1573)、柯尚迁《数学通轨》(1578)、朱载堉的《算学新说》（1584）、程大位《直指算法统宗》(1592)等。随着珠算的普及，珠算算法和口诀也逐渐趋于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀；徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除，从而实现了珠算四则运算的全部口诀化；朱载堉和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算，程大位用珠算解数字二次、三次方程等等。程大位的著作在国内外流传很广，影响很大。
早期传入的西方数学 1582年意大利传教士利玛窦到中国,1607年以后,先后与徐光启翻译《几何原本》前6卷(1607)、《测量法义》1卷(1607～1608)，与李之藻编译《圜容较义》(1608)和《同文算指》(1613)。1629年，徐光启被礼部任命在历局督修历法,在他主持下,编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说，作为这一学说的数学基础，希腊的几何学,欧洲玉山若干的三角学以及纳皮尔算筹,伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来。
在传入的数学中,影响最大的是《几何原本》。《几何原本》是现传的中国第一部数学翻译著作。绝大部分数学名词都是首创，其中许多至今仍在沿用。徐光启认为对它“不必疑”,“不必改”,“举世无一人不当学”。他所著的《测量异同》和《勾股义》，就是应用《几何原本》的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术。他主编的《崇祯历书》,天文学和数学基本理论占全书30％,充分说明他对理论的重视。《几何原本》是明清两代数学家必读的数学书，对他们的研究工作也颇有影响。其次，应用最广的是三角学。介绍西方三角学的著作有邓玉函编译的《大测》2卷(1631)、《割圆八线表》6卷和罗雅谷的《测量全义》10卷（1631）。《大测》主要说明三角八线（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢）的性质，造表方法和用表方法。《测量全义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外，比较重要的是积化和差公式和球面三角（直角三角形的弧与角的关系式和一般三角形的正弦定理和余弦定理）。所有这些，在当时历法工作中都是随译随用的。
中西数学的会通 1646年，波兰传教士穆尼阁来华，跟随他学习西方科学的有薛凤祚、方中通等。穆尼阁去世后，薛凤祚据其所学，编成《历学会通》，想把中法西法融会贯通起来。《历学会通》中的数学内容主要有《比例对数表》1卷（1653）、《比例四线新表》1卷和《三角算法》1卷(1653)。前两书是介绍英国数学家 J.纳皮尔和H.布里格斯发明增修的对数。后一书除《崇祯历书》介绍的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式（Delambres analogies）、 纳氏比例式(Nepiers analogies)等。方中通所著《数度衍》(1641)，对对数理论进行解释。对数的传入是十分重要，它在历法计算中立即就得到应用。
清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多，影响较大的有王锡阐《图解》1卷,梅文鼎《梅氏丛书辑要》60卷(其中数学著作13种共40卷)，年希尧《视学》2卷等。王锡阐的工作主要是证明两角和、差的正弦和余弦公式。为了证明上述公式，他对涉及的名词概念都逐一加以定义,引入“折”的概念取代角;由于缺乏直角坐标系的概念，在证明时他还把两弧和两弧的和差分为小于象限或大于象限的各种情形，方法是独具一格的。梅文鼎是集中西数学之大成者。他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究，使濒于枯萎的明代数学出现了生机，在介绍西方数学中有校正、证明和补充。例如：校正了罗雅谷关于比例规叙述中的错误，证明三角学中没有证明的公式和定理等。梅文鼎认为传统的勾股形解法就是西方的几何学和三角学，他用勾股形解法的公式证明《几何原本》前6卷的15个定理,用勾股方法证明球面直角三角形的边角关系公式。他创造一种直角射影的方法证明球面三角学的余弦定理。对《测量全义》介绍的 5种多面体公式,他证明了其中4种,其中关于二十面体的计算,他纠正了《测量全义》和罗雅谷的错误等。梅文鼎肯定数学来源于实际；对西方数学，他认为“技取其长而理唯其是”，“法有可采何论东西,理所当明何分新旧”,应该“去中西之见,以平心观理”,态度是比较正确的。年希尧的《视学》是中国第一部介绍西方透视学的著作。
清康熙皇帝十分重视西方科学，他除了亲自学习天文数学外，还培养了一些人才和翻译了一些著作。1712年康熙皇帝命梅瑴成任蒙养斋汇编官，会同陈厚耀、何国宗、明安图、杨道声等编纂天文算法书。1721年完成《律历渊源》100卷,以康熙“御定”的名义于1723年出版。其中《数理精蕴》53卷主要由梅瑴成负责，分上下2编，上编包括《几何原本》3卷、《算法原本》1卷,均译自法文著作；下编40卷，包括算术、代数、平面几何、平面三角、立体几何等初等数学，附有素数表、对数表和三角函数表。《数理精蕴》的基本内容除传统数学和早期传入的西方数学外，新传入的数学有借根方比例、“连比例”方法，椭圆面积和椭球体积以及计算尺、素数表等。由于它是一部比较全面的初等数学百科全书,并有康熙“御定”的名义，因此对当时数学研究是具有一定影响的。
1701年法国人杜德美带来J.格雷果里的"弧求正弦"、“弧求正矢”和I.牛顿的“圆径求周”三个无穷级数的公式，但没有证明。1800年前后，明安图、董祐诚、项名达各自依据《数理精蕴》提出的“连比例”方法，对这些级数进行研究，获得一些创造性结果。明安图著有《割圆密率捷法》4卷 (1774年由他的学生陈际新定稿)，他除了证明杜德美传入的 3个公式外，还创造“弧求通弦”、“弧求正矢”、“通弦求弧”、“正矢求弧”、“正弦求弧”、“正矢求弧” 6个新的公式。董祐诚著有《割圜连比例图解》2卷(1819)，他把明安图9个公式概括为“分弧通弦求全弧通弦”、“分弧中矢求全弧中矢”、“分弧通弦求通弧通弦”、“分弧中矢求通弦中矢”4个公式。1837年项名达又把董祐诚的4个公式概括为“分弧通弦求全弧通弦”、“分弧中矢求全弧中矢”两个公式。他著有《象数一原》6卷(1837,由戴煦续成)。著作后面附有《椭圆求周术》，正确地解决了椭圆求周长的问题。
戴煦对三角函数的幂级数公式和椭圆求周的问题也有研究，著有《外切密率》4卷(1852),补充正切、余切、正割、余割四个幂级数公式。为了简化对数的计算,他创立了指数为任何有理数的二项式定理展开式，从而也得到对数函数的幂级数公式。这些成果记载在他著的《对数简法》2卷(1845)和《续对数简法》1卷(1846)中。
与戴煦同时,李善兰在1845年著有《方圆阐幽》1卷，《弧矢启秘》2卷与《对数探源》2卷。他创造尖锥术，并用它来论证二项平方根的幂级数公式，π的幂级数公式，“正弦求弧”、“正切求弧”、“弧求正弦”、“弧求正切”、“弧求正矢”、“弧求正割”等三角函数幂级数公式以及对数函数幂级数公式。所谓尖锥术是指对一切自然数n的乘方数 xn都可用线段长表示，它们可以积迭成 n乘尖锥面。这种尖锥面由相互垂直的底线、高(h)和凹向的尖锥曲线组成。其面积为。这种尖锥面表示法已具有解析几何的坐标表示的思想，求积法相当于幂函数的定积分公式。
综上述可以看到，清代数学家对西方数学做了大量的会通工作，并取得许多独创性的成果。这些成果，如和传统数学比较，是有进步的，但和同时代的西方比较，则明显落后了。
传统数学的整理和研究 雍正即位(1723)以后，对外闭关自守，导致西方科学停止输入中国，对内对汉族士大夫实行高压政策。在这种情况下，一般学者既不能接触西方数学，又不敢过问经世致用之学，因而埋头于究治古籍。乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学派。1773年开设四库全书馆，辑录《永乐大典》保存佚书和征集私家藏书，于1781年编成《四库全书》，先后收集到《算经十书》和宋元时期的数学著作。纂修兼分校官戴震（1724～1777）对《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五经算术》 4部著作详加校勘，改正许多误文夺字,对学者是有帮助的。随后,李潢(?～1811)著的《九章算术细草图说》9卷，《海岛算经细草图说》1卷和《辑古算经考注》2卷，李锐注的《数书九章》、《测圆海镜》和《益古演段》，沈钦裴著的《四元玉鉴细草》2 卷（1829）和罗士琳撰的《四元玉鉴细草》24卷(1834)都很有参考价值。
随着《算经十书》与宋元数学著作的收集与注释，出现了一个研究传统数学的高潮。其中能突破旧有框框并有发明创造的有焦循、汪莱、李锐、李善兰等。焦循在《加减乘除释》（1798）中，用甲、乙、丙、丁……等天干字表示具体的数，列出加、减、乘、除的几个基本定律，用这些符号和定律来说明古代算法原理，这在中国数学史上是一个创造。汪莱著有《衡斋算学》 7册(1796～1805)。在第五册(1801)中，他讨论了二次、三次方程有多少正根以及正根和系数的关系问题，得到与韦达定理相当的结果。在第七册(1805)中专门讨论三项方程xn-pxm+q=0（n>m 都是正整数，p、q都是正数），他用归纳法得到上述方程有正根的条件相当于
1802年李锐见到汪莱的《衡斋算学》第五册算书后，写了“第五册算书跋”，提出 n次高次方程只有一个正根与多于一个正根和方程系数的符号有关，和得到一个正根后的(n-1)次方程的系数符号有关,他的结论基本上是正确的。在《开方说》(1817)中李锐进一步指出：高次方程系数符号变化一次的有1正根，变化二次的有2正根，变化三次的有3正根或1正根，变化四次的有4正根或2正根，所缺正根称为“无数”，“凡无数必两，无一无数者”。这些与笛卡儿的符号规则基本相同。他还指出：二次方程有2根，三次方程有3根或1根，四次方程有4根或2根（以上均包括负根）；若方程有正、负根,将方程系数的正负号隔位易之，则正负根互换符号；方程的重根与“无数”不同等等。汪莱、李锐的工作，和宋元时代的代数学比较是青出于蓝而胜于蓝的；和西方代数学比较，在时间上晚了一些，但他们的成果是在没有受到西方近代数学的影响下独立得到的。
对朱世杰的垛积术进行研究并有重大成果的是李善兰，在《垛积比类》（约1859）中，李善兰创造了一个著名的恒等式：
式中为朱世杰三角垛的一般项，是二项式定理系数。利用三角垛求和公式就得出一个中外驰名的三角自乘垛求和公式：
他还得到三角变垛、三角再变垛和三角三变垛的公式。
与传统数学研究出现高潮的同时，阮元与李锐等编写了一部天文数学家传记──《畴人传》(1795～1810)。《畴人传》收集从黄帝时期到嘉庆四年(1799)已故的天文学家和数学家270余人(其中有数学著作传世的不足50人)和明末以来介绍西方天文数学的传教士 41人。这部著作全由“掇拾史书，荃萃群籍，甄而录之”而成，收集的完全是第一手的原始资料，在学术界颇有影响。
近代数学的传入 鸦片战争（1840）以后，西方近代数学开始传入中国。首先是英人在上海设立墨海书馆，介绍西方数学。第二次鸦片战争(1860)后，曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”，也主张介绍和学习西方数学。1864年美国长老会教士狄考文于山东登州设立文会馆。1866年恭亲王奕建议在同文馆内添设算学，1868年曾国藩、李鸿章于上海江南制造局内添设翻译馆，中国数学工作者在上述部门和外国人一起翻译了一批近代数学著作。其中较重要的有李善兰与伟烈亚力翻译的《几何原本》后 9卷（1857）、《代数学》13卷(1859)、《代微积拾级》18卷(1859)；华蘅芳与英人傅兰雅合译的《代数术》25卷 (1872)、《微积溯源》8卷（1874）、《决疑数学》10卷(1880)；邹立文与狄考文编译的《形学备旨》10卷(1885)、《代数备旨》13卷(1891)；《笔算数学》3册 (1892)；谢洪赉与潘慎文合译的《代形合参》3卷(1893)，《八线备旨》4卷(1894)等等。《代微积拾级》是中国第一部微积分学译本，《代数学》是英国数学家A.德·摩根所著，是一部重要的符号代数学译本，《决疑数学》是第一部概率论译本。在这些译著中，创造了许多数学名词和术语，至今还在应用，但所用数学符号一般已被淘汰了。戊戌变法(1898)以后，各地兴办新法学校，上述一些著作便成为主要教科书。在翻译西方数学著作的同时,中国学者也进行一些研究,写出一些著作,较重要的有李善兰的《尖锥变法解》1卷、《考数根法》1卷(1872);夏鸾翔(1823～1864)的《洞方术图解》2卷(1857)、《致曲术》1卷、《致曲图解》1卷等等，都是会通中西学术思想的研究成果。
由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程，加上清末统治者十分腐败，在太平天国运动的冲击下，在帝国主义列强的掠夺下，焦头烂额，无暇顾及数学研究。直到1919年五四运动以后近代数学的研究才真正开始。
2008年12月10日星期三
阿兰·图灵
阿兰·麦席森·图灵（Alan Mathison Turing，1912.6.23—1954.6.7），英国数学家、逻辑学家，他被视为计算机之父。 1931年图灵进入剑桥大学国王学院，毕业后到美国普林斯顿大学攻读博士学位，二战爆发后回到剑桥，后曾协助军方破解德国的著名密码系统Enigma，帮助盟军取得了二战的胜利。
◆故事从谜开始 英国现代计算机的起步是从德国的密码电报机——Enigma(谜)开始的，而解开这个谜的不是别人，正是阿兰·图灵，一个在计算机界响当当的人物，可与美国的冯·诺依曼相媲美的电脑天才。在他短暂的生涯中，图灵在量子力学、数理逻辑、生物学、化学方面都有深入的研究，在晚年还开创了一门新学科—— 非线性力学。
图灵英年早逝。在他42年的人生历程中，他的创造力是丰富多彩的，他是天才的数学家和计算机理论专家。24岁提出图灵机理论，31岁参与COLOSSUS的研制，33岁设想仿真系统，35岁提出自动程序设计概念，38岁设计“图灵测验”。这一朵朵灵感浪花无不闪耀着他在计算机发展史上的预见性。特别是在60年代后当然，图灵最高的成就还是在电脑和人工智能方面，他是这一领域开天辟地的大师。为表彰他的贡献，专门设有一个一年一度的“图灵奖”，颁发给最优秀的电脑科学家。这枚奖章就像“诺贝尔奖”一样，为计算机界的获奖者带来至高无上的荣誉。而阿兰·图灵本人，更被人们推崇为人工智能之父，在计算机业十倍速变化的历史画卷中永远占有一席之地。他的惊世才华和盛年夭折，也给他的个人生活涂上了谜一样的传奇色彩。
其祖父曾获得剑桥大学数学荣誉学位，但他父亲的数学才能平平。因此，图灵的家庭教育，对他以后在数学及计算机方面的成就并没有多少帮助。小时候的图灵生性活泼好动，很早就表现出对科学的探索精神。据他母亲回忆，3岁时，小图灵就进行了他的首次实验，尝试把一个玩具木头人的小胳膊、小腿掰下来栽到花园里，等待长出更多的木头人。到了8岁，他更开始尝试写一部科学著作，题目为《关于一种显微镜》。在这部很短的书中，天才儿童图灵拼错了很多单词，句法也有些问题，但写得还能让人看懂，很像那么一回事儿。在书的开头和结尾，他都用同一句话“首先你必须知道光是直的”作前后呼应， 但中间的内容却很短，短得破了科学著作的记录。图灵曾说 ：“我似乎总想从最普通的东西中弄出些名堂。”就连和小朋友们玩足球，他也能放弃当前锋进球这样出风头的事，只喜欢在场外巡边，因为这样能有机会去计算球飞出边界的角度。他的老师认为 ：“图灵的头脑思维可以像袋鼠一样进行跳跃。”图灵是个天才。他16岁就开始研究爱因斯坦的相对论。1931年，图灵考入剑桥大学国王学院，开始他的数学生涯，研究量子力学、概率论和逻辑学。在校期间，图灵还是现代语言哲学大师维特根斯坦班上最出色的学生。他对由剑桥大学的罗素和怀特海创立的数理逻辑很感兴趣。数理逻辑的创建，主要源于古希腊克里特岛上有个叫爱皮梅尼特的“智者”，他说 ：“所有的克里特岛人都说谎”。我们可以把它简化为：“我说的这句话是假话”。这就出现一种两面都无法自圆的怪圈：如果他没有说谎，那他这句话是错的，他是在说谎；如果他真的在说谎，那他说自己在说谎是对的，所以他又没有说谎。罗素和怀特海把它从逻辑、集合论以及数论中驱逐出去，最后又想尽办法归入《数学原理》之中。
图灵一上大学，就迷上了《数学原理》。在1931年，著名的“哥德尔定理”出现后(该定理认为没有一种公理系统可以导出数论中所有的真实命题，除非这种系统本身就有悖论)，天才的图灵在数理逻辑大本营的剑桥大学提出一个设想 ：能否有这样一台机器，通过某种一般的机械步骤，能在原则上一个接一个地解决所有的数学问题。大学毕业后，图灵去美国普林斯顿大学攻读博士学位，还顺手发明过一个解码器。在那里，他遇见了冯·诺依曼，后者对他的论文击节赞赏，并随后由此提出了“存储程序”概念。图灵学成后又回到他的母校任教。在短短的时间里，图灵就发表了几篇很有份量的数学论文，为他赢得了很大的声誉。
◆故事以谜结束
1951年，图灵以他杰出的贡献被当选为英国皇家学会会员。就在他事业步入辉煌之际，灾难降临了。1952年，图灵遭到警方拘捕，原因是他是一个同性恋者。与其他一些智慧超群的人物一样，图灵在个人生活方式上也“与众不同”。当时，人们对同性恋还没有像现在这样宽容，而是把这种行为当作一桩伤风败俗的罪孽。事情的败露是这样的，当时有一位叫琼·克拉克(Joan Clarke)的姑娘爱上了图灵，图灵也对对方很有好感，并向对方求婚，琼欣然接受。但不久，图灵自己退缩了，告诉琼，他是同性恋者。在1948年，图灵就由于同性恋倾向，离开了当时属于高度保密的英国国家物理实验室(NPL)。但也有人说，图灵是被英国军事情报部门“开除”出去的，对于这位天才的离去，许多人怅惜不已。
1952年3月31日，图灵更因为和曼彻斯特当地一位青年有染，被警方逮捕。在法庭上，图灵既不否认，也不为自己辨解。在庄严的法庭上，他郑重其事地告诉人们：他的行为没有错，结果被判有罪。在入狱和治疗两者中间，图灵选择了注射激素，来治疗所谓的“性欲倒错”。此后图灵开始研究生物学、化学，还和一位心理医生有很深的交往。那时，他的脾气已变得躁怒不安，性格更为阴沉怪僻。1953年3月，他因为接待过一位被英国警方注意的挪威客人，成为警方的目标，甚至去希腊度假时也被跟踪。
1954年6月8日，图灵42岁，正逢进入他生命中最辉煌的创造顶峰。一天早晨，女管家走进他的卧室，发现台灯还亮着，床头上还有个苹果，只咬了一小半，图灵沉睡在床上，一切都和往常一样。但这一次，图灵是永远地睡着了，不会再醒来……经过解剖，法医断定是剧毒氰化物致死，那个苹果是在氰化物溶液中浸泡过的。图灵的母亲则说他是在做化学实验时，不小心沾上的，她的"艾伦"从小就有咬指甲的习惯。但外界的说法是服毒自杀，一代天才就这样走完了人生。
◆故事从谜开始 英国现代计算机的起步是从德国的密码电报机——Enigma(谜)开始的，而解开这个谜的不是别人，正是阿兰·图灵，一个在计算机界响当当的人物，可与美国的冯·诺依曼相媲美的电脑天才。在他短暂的生涯中，图灵在量子力学、数理逻辑、生物学、化学方面都有深入的研究，在晚年还开创了一门新学科—— 非线性力学。
图灵英年早逝。在他42年的人生历程中，他的创造力是丰富多彩的，他是天才的数学家和计算机理论专家。24岁提出图灵机理论，31岁参与COLOSSUS的研制，33岁设想仿真系统，35岁提出自动程序设计概念，38岁设计“图灵测验”。这一朵朵灵感浪花无不闪耀着他在计算机发展史上的预见性。特别是在60年代后当然，图灵最高的成就还是在电脑和人工智能方面，他是这一领域开天辟地的大师。为表彰他的贡献，专门设有一个一年一度的“图灵奖”，颁发给最优秀的电脑科学家。这枚奖章就像“诺贝尔奖”一样，为计算机界的获奖者带来至高无上的荣誉。而阿兰·图灵本人，更被人们推崇为人工智能之父，在计算机业十倍速变化的历史画卷中永远占有一席之地。他的惊世才华和盛年夭折，也给他的个人生活涂上了谜一样的传奇色彩。
其祖父曾获得剑桥大学数学荣誉学位，但他父亲的数学才能平平。因此，图灵的家庭教育，对他以后在数学及计算机方面的成就并没有多少帮助。小时候的图灵生性活泼好动，很早就表现出对科学的探索精神。据他母亲回忆，3岁时，小图灵就进行了他的首次实验，尝试把一个玩具木头人的小胳膊、小腿掰下来栽到花园里，等待长出更多的木头人。到了8岁，他更开始尝试写一部科学著作，题目为《关于一种显微镜》。在这部很短的书中，天才儿童图灵拼错了很多单词，句法也有些问题，但写得还能让人看懂，很像那么一回事儿。在书的开头和结尾，他都用同一句话“首先你必须知道光是直的”作前后呼应， 但中间的内容却很短，短得破了科学著作的记录。图灵曾说 ：“我似乎总想从最普通的东西中弄出些名堂。”就连和小朋友们玩足球，他也能放弃当前锋进球这样出风头的事，只喜欢在场外巡边，因为这样能有机会去计算球飞出边界的角度。他的老师认为 ：“图灵的头脑思维可以像袋鼠一样进行跳跃。”图灵是个天才。他16岁就开始研究爱因斯坦的相对论。1931年，图灵考入剑桥大学国王学院，开始他的数学生涯，研究量子力学、概率论和逻辑学。在校期间，图灵还是现代语言哲学大师维特根斯坦班上最出色的学生。他对由剑桥大学的罗素和怀特海创立的数理逻辑很感兴趣。数理逻辑的创建，主要源于古希腊克里特岛上有个叫爱皮梅尼特的“智者”，他说 ：“所有的克里特岛人都说谎”。我们可以把它简化为：“我说的这句话是假话”。这就出现一种两面都无法自圆的怪圈：如果他没有说谎，那他这句话是错的，他是在说谎；如果他真的在说谎，那他说自己在说谎是对的，所以他又没有说谎。罗素和怀特海把它从逻辑、集合论以及数论中驱逐出去，最后又想尽办法归入《数学原理》之中。
图灵一上大学，就迷上了《数学原理》。在1931年，著名的“哥德尔定理”出现后(该定理认为没有一种公理系统可以导出数论中所有的真实命题，除非这种系统本身就有悖论)，天才的图灵在数理逻辑大本营的剑桥大学提出一个设想 ：能否有这样一台机器，通过某种一般的机械步骤，能在原则上一个接一个地解决所有的数学问题。大学毕业后，图灵去美国普林斯顿大学攻读博士学位，还顺手发明过一个解码器。在那里，他遇见了冯·诺依曼，后者对他的论文击节赞赏，并随后由此提出了“存储程序”概念。图灵学成后又回到他的母校任教。在短短的时间里，图灵就发表了几篇很有份量的数学论文，为他赢得了很大的声誉。
◆故事以谜结束
1951年，图灵以他杰出的贡献被当选为英国皇家学会会员。就在他事业步入辉煌之际，灾难降临了。1952年，图灵遭到警方拘捕，原因是他是一个同性恋者。与其他一些智慧超群的人物一样，图灵在个人生活方式上也“与众不同”。当时，人们对同性恋还没有像现在这样宽容，而是把这种行为当作一桩伤风败俗的罪孽。事情的败露是这样的，当时有一位叫琼·克拉克(Joan Clarke)的姑娘爱上了图灵，图灵也对对方很有好感，并向对方求婚，琼欣然接受。但不久，图灵自己退缩了，告诉琼，他是同性恋者。在1948年，图灵就由于同性恋倾向，离开了当时属于高度保密的英国国家物理实验室(NPL)。但也有人说，图灵是被英国军事情报部门“开除”出去的，对于这位天才的离去，许多人怅惜不已。
1952年3月31日，图灵更因为和曼彻斯特当地一位青年有染，被警方逮捕。在法庭上，图灵既不否认，也不为自己辨解。在庄严的法庭上，他郑重其事地告诉人们：他的行为没有错，结果被判有罪。在入狱和治疗两者中间，图灵选择了注射激素，来治疗所谓的“性欲倒错”。此后图灵开始研究生物学、化学，还和一位心理医生有很深的交往。那时，他的脾气已变得躁怒不安，性格更为阴沉怪僻。1953年3月，他因为接待过一位被英国警方注意的挪威客人，成为警方的目标，甚至去希腊度假时也被跟踪。
1954年6月8日，图灵42岁，正逢进入他生命中最辉煌的创造顶峰。一天早晨，女管家走进他的卧室，发现台灯还亮着，床头上还有个苹果，只咬了一小半，图灵沉睡在床上，一切都和往常一样。但这一次，图灵是永远地睡着了，不会再醒来……经过解剖，法医断定是剧毒氰化物致死，那个苹果是在氰化物溶液中浸泡过的。图灵的母亲则说他是在做化学实验时，不小心沾上的，她的"艾伦"从小就有咬指甲的习惯。但外界的说法是服毒自杀，一代天才就这样走完了人生。
2008年11月8日星期六
西方数学史上的8本名著
人类本身有一种不可弥补的缺憾，即知识无法遗传。面对人类的文明所创造的一切，每个人都必须从头再学，硕大的知识之果使人不胜重负。本文想以最简洁的文字向读者提供其精髓，包括作者、书名、发表年月、主要内容以及在学科史上的地位与价值，有一个对数学领域重大成果总体式的鸟瞰与把握。
1、《几何原本》（Elements of Euclid）
欧几里德（Euclid，前300－前275？）古希腊数学家。
本书的印刷量仅次于《圣经》，是数学史上第一本成系统的著作，也是第一本译成中文的西文名著。原名《欧几里德几何学》，明朝徐光启译时改为《几何原本》。全书13卷，从5条公设和5条公理出发，构造了几何的一种演绎体系，这种不假于实体世界，仅由一组公理实施逻辑推理而证明出定理的方法，是人类思想的一大进步。此书从写作的时代一直流传至今，对人类活动起着持续的重大影响，直到19世纪非欧几里德几何出现以前，一直是几何推理、定理和方法的主要来源。
2、《算术研究》（Disquisitiones Arithmetical，1798）
高斯（C.F.Gauss，1774－1855），德国数学家。
“数学之王”的称号可以说是对高斯极其恰当的赞辞。他与阿基米德、牛顿并列为历史上最伟大的数学家。他的名言“数学，科学的皇后；算术，数学的皇后”，贴切地表达了他对于数学在科学中的关键作用的观点。他24岁时发表了这本书，这是数学史上最出色的成果之一，系统而广泛地阐述了数论里有影响的概念和方法。由此推倒了18世界数学的理论和方法，以革新的数论开辟了通往19世纪中叶分析学的严格化道路。高斯立论极端谨慎，有3个原则：“少些；但要成熟”：“不留下进一步要做的事情”。
3、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1854）
黎曼（B.Riemann，1826－1866），德国数学家。
黎曼是19世纪最有创造力的数学家之一。虽然他没有活到40岁，著作也不多，但几乎每篇文章都开创了一个新的领域。本篇是黎曼在格丁根大学任大学讲师时的就职演讲，是数学史上最著名的演讲之一，题为“关于构成几何基础的假设”。在演讲中黎曼独立提出了非欧几里德几何，即“黎曼几何”，又称椭圆几何。他的这一关于空间几何的独具胆识的思想，对近代理论物理学发生深远的影响，成为爱因斯坦相对论的几何基础。
4、《集合一般理论的基础》（Foundations of a General Theory of Aggregates，1883）
康托尔（G.Cantor，1845－1918），德国数学家。
康托尔创立的集合论，是19世纪最伟大的成就之一。本书是康托尔研究集合论的专著。他通过建立处理数学中无限的基本技巧而极大地推动了分析和逻辑的发展，凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新的思想模式。
5、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1899）
希耳伯特（D.Hilbert，1862－1943），德国数学家。
希耳伯特是整个一代国际数学界的巨人。由高高斯、狄利克雷和黎曼于19世纪开创的生气勃勃的数学传统在20世纪的头30年中主要由于希耳伯特而更为显赫著名。在本书中，希耳伯特用几何学的例子来阐述公理体系的集合理论的处理方法，它标志着几何学公理化处理的转折点。希耳伯特的名言：“我必须知道，我必将知道”，总结了他献身数学并以毕生业务使之发展到新水平的激情。
6、《测度的一般理论和概率论》（General Theoey of Measure and Probability Theory，1929）
柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov，1903－1993），苏联数学家。
柯尔莫哥洛夫是20世纪最有影响的苏联数学家。他对许多数学分支贡献了创造性的一般理论。此篇论文是研究概率的名作，在随后的50年中被人们作为概率论的完全公理而接受。在1937年又出版《概率论的解析方法》一书，阐述了无后效的随机过程理论的原理，标志着概论论发展的一个新时期。
7、《论＜数学原理＞及其相关系统形式不可判定命题》（On Formally Undecidble Propositions of Principia Mathematica and Related Systems，1931）
哥德尔（K.Godel，1906－1978），美籍奥地利数学家。
哥德尔在本篇中给出了著名的哥德尔证明，其内容是，要任何一个严格的数学系统中，必定有用本系统内的公理无法证明其成立或不成立的命题，因此，不能说算术的基本公理不会出现矛盾。这个证明成了20世纪数学的标志，至今仍有影响和争论。它结束了近一个世纪来数学家们为建立能为全部数学提供严密基础公理的企图。
8、《数学原理》（Elements Mathematique I-XXXIX，1939－）
本书的署名是布尔巴基（Bourbiaki），他不是一个人，而是对现代数学影响巨大的数学家集团。在本世纪30年代由法国的一群年轻数学家结合而成他们把人类长期积累的数学知识按照数学结构整理而成为一个井井有条、博大精深的体系，已出版的近40卷的《数学原理》成为一部经典著作，成为许多研究工作的出发点和参考指南，并成为蓬勃发展的数学科学的主流，这套巨著究竟何时算完，谁也说不清。但是这个体系连同布尔巴基学派对数学的其他贡献，在数学史上是独一无二的。
1、《几何原本》（Elements of Euclid）
欧几里德（Euclid，前300－前275？）古希腊数学家。
本书的印刷量仅次于《圣经》，是数学史上第一本成系统的著作，也是第一本译成中文的西文名著。原名《欧几里德几何学》，明朝徐光启译时改为《几何原本》。全书13卷，从5条公设和5条公理出发，构造了几何的一种演绎体系，这种不假于实体世界，仅由一组公理实施逻辑推理而证明出定理的方法，是人类思想的一大进步。此书从写作的时代一直流传至今，对人类活动起着持续的重大影响，直到19世纪非欧几里德几何出现以前，一直是几何推理、定理和方法的主要来源。
2、《算术研究》（Disquisitiones Arithmetical，1798）
高斯（C.F.Gauss，1774－1855），德国数学家。
“数学之王”的称号可以说是对高斯极其恰当的赞辞。他与阿基米德、牛顿并列为历史上最伟大的数学家。他的名言“数学，科学的皇后；算术，数学的皇后”，贴切地表达了他对于数学在科学中的关键作用的观点。他24岁时发表了这本书，这是数学史上最出色的成果之一，系统而广泛地阐述了数论里有影响的概念和方法。由此推倒了18世界数学的理论和方法，以革新的数论开辟了通往19世纪中叶分析学的严格化道路。高斯立论极端谨慎，有3个原则：“少些；但要成熟”：“不留下进一步要做的事情”。
3、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1854）
黎曼（B.Riemann，1826－1866），德国数学家。
黎曼是19世纪最有创造力的数学家之一。虽然他没有活到40岁，著作也不多，但几乎每篇文章都开创了一个新的领域。本篇是黎曼在格丁根大学任大学讲师时的就职演讲，是数学史上最著名的演讲之一，题为“关于构成几何基础的假设”。在演讲中黎曼独立提出了非欧几里德几何，即“黎曼几何”，又称椭圆几何。他的这一关于空间几何的独具胆识的思想，对近代理论物理学发生深远的影响，成为爱因斯坦相对论的几何基础。
4、《集合一般理论的基础》（Foundations of a General Theory of Aggregates，1883）
康托尔（G.Cantor，1845－1918），德国数学家。
康托尔创立的集合论，是19世纪最伟大的成就之一。本书是康托尔研究集合论的专著。他通过建立处理数学中无限的基本技巧而极大地推动了分析和逻辑的发展，凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新的思想模式。
5、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1899）
希耳伯特（D.Hilbert，1862－1943），德国数学家。
希耳伯特是整个一代国际数学界的巨人。由高高斯、狄利克雷和黎曼于19世纪开创的生气勃勃的数学传统在20世纪的头30年中主要由于希耳伯特而更为显赫著名。在本书中，希耳伯特用几何学的例子来阐述公理体系的集合理论的处理方法，它标志着几何学公理化处理的转折点。希耳伯特的名言：“我必须知道，我必将知道”，总结了他献身数学并以毕生业务使之发展到新水平的激情。
6、《测度的一般理论和概率论》（General Theoey of Measure and Probability Theory，1929）
柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov，1903－1993），苏联数学家。
柯尔莫哥洛夫是20世纪最有影响的苏联数学家。他对许多数学分支贡献了创造性的一般理论。此篇论文是研究概率的名作，在随后的50年中被人们作为概率论的完全公理而接受。在1937年又出版《概率论的解析方法》一书，阐述了无后效的随机过程理论的原理，标志着概论论发展的一个新时期。
7、《论＜数学原理＞及其相关系统形式不可判定命题》（On Formally Undecidble Propositions of Principia Mathematica and Related Systems，1931）
哥德尔（K.Godel，1906－1978），美籍奥地利数学家。
哥德尔在本篇中给出了著名的哥德尔证明，其内容是，要任何一个严格的数学系统中，必定有用本系统内的公理无法证明其成立或不成立的命题，因此，不能说算术的基本公理不会出现矛盾。这个证明成了20世纪数学的标志，至今仍有影响和争论。它结束了近一个世纪来数学家们为建立能为全部数学提供严密基础公理的企图。
8、《数学原理》（Elements Mathematique I-XXXIX，1939－）
本书的署名是布尔巴基（Bourbiaki），他不是一个人，而是对现代数学影响巨大的数学家集团。在本世纪30年代由法国的一群年轻数学家结合而成他们把人类长期积累的数学知识按照数学结构整理而成为一个井井有条、博大精深的体系，已出版的近40卷的《数学原理》成为一部经典著作，成为许多研究工作的出发点和参考指南，并成为蓬勃发展的数学科学的主流，这套巨著究竟何时算完，谁也说不清。但是这个体系连同布尔巴基学派对数学的其他贡献，在数学史上是独一无二的。
2008年10月1日星期三
华罗庚
中文名称: 华罗庚
性别: 男
生卒年: 1910-1985
省: 江苏1925年，金坛县初级中学毕业，考取由黄炎培等主办的上海中华职业学校商科。1929年，任金坛县初级中学会计兼庶务。1931年，任清华大学算学系助理。1933年,任清华大学算学系助教。1934年，任中华文化教育基金会董事会乙种研究员。1935年,任清华大学算学系教员。1936年,得中华文化教育基金会乙种补助在英国剑桥大学数学系进修。1938年，任西南联合大学数学系教授。1946年,任美国普林斯顿高等研究院研究员。1948年，任美国依利诺大学数学系教授。1950年，任清华大学数学系教授。1951年，任中国科学院数学研究所所长和中国数学会理事长。1955年，当选为中国科学院数理化学部委员，任数理化学部副主任。1958年，任中国科学院技术大学副校长兼数学系主任。1978年，任中国科学院副院长。1980年，任中国科学院应用数学研究所所长，当选为中国科学技术协会副主席。
研究领域：
数学家。从事指数和的估计及其应用的研究，并完成重要专著《堆垒素数论》；后转向有限群、典型群、自守函数、矩阵几何、多复变函数论与数值计算等领域的研究，均取得卓越成就。并在我国工业部门从事数学普及工作。
作品：
主要著作有《数论导引》、《多复变数函数论中的典型域的调和分析》、《指数和估计及其在数论中的应用》、《典型群》、《数论在近似分析中的应用》、《从单位圆谈起》、《优选学》、《华罗庚论文选集》、《堆垒素数论》、《华罗庚科普著作选》、《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》、《从孙子的“神奇妙算”谈起》、《高等数学引论》、《优选学》等。
奖项：
1956年，获第一届国家自然科学一等奖。1979年，获法国南锡大学荣誉博士称号。1982年，被选为美国科学院国外院士。1982年，获香港中文大学荣誉博士称号，被选为第三世界科学院院士。1984年，获美国伊利诺大学荣誉博士称号。1985年，被选为德国巴伐利亚科学院院士。
性别: 男
生卒年: 1910-1985
省: 江苏1925年，金坛县初级中学毕业，考取由黄炎培等主办的上海中华职业学校商科。1929年，任金坛县初级中学会计兼庶务。1931年，任清华大学算学系助理。1933年,任清华大学算学系助教。1934年，任中华文化教育基金会董事会乙种研究员。1935年,任清华大学算学系教员。1936年,得中华文化教育基金会乙种补助在英国剑桥大学数学系进修。1938年，任西南联合大学数学系教授。1946年,任美国普林斯顿高等研究院研究员。1948年，任美国依利诺大学数学系教授。1950年，任清华大学数学系教授。1951年，任中国科学院数学研究所所长和中国数学会理事长。1955年，当选为中国科学院数理化学部委员，任数理化学部副主任。1958年，任中国科学院技术大学副校长兼数学系主任。1978年，任中国科学院副院长。1980年，任中国科学院应用数学研究所所长，当选为中国科学技术协会副主席。
研究领域：
数学家。从事指数和的估计及其应用的研究，并完成重要专著《堆垒素数论》；后转向有限群、典型群、自守函数、矩阵几何、多复变函数论与数值计算等领域的研究，均取得卓越成就。并在我国工业部门从事数学普及工作。
作品：
主要著作有《数论导引》、《多复变数函数论中的典型域的调和分析》、《指数和估计及其在数论中的应用》、《典型群》、《数论在近似分析中的应用》、《从单位圆谈起》、《优选学》、《华罗庚论文选集》、《堆垒素数论》、《华罗庚科普著作选》、《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》、《从孙子的“神奇妙算”谈起》、《高等数学引论》、《优选学》等。
奖项：
1956年，获第一届国家自然科学一等奖。1979年，获法国南锡大学荣誉博士称号。1982年，被选为美国科学院国外院士。1982年，获香港中文大学荣誉博士称号，被选为第三世界科学院院士。1984年，获美国伊利诺大学荣誉博士称号。1985年，被选为德国巴伐利亚科学院院士。
从笛卡尔到庞加莱
在德国数学家高斯的一部传记中，作者引用了下面这段话：
有一个异乡人在巴黎问当地人，“为什么贵国历史上出了那么多伟大的数学家？”巴黎人回答，“我们最优秀的人学习数学。”又去问法国数学家，“为什么贵国的数学一直享誉世界呢？”数学家回答，“数学是我们传统文化中最优秀的部分。”
笛卡尔以前的法国数学
在中世纪以前，数学的成就主要是在一些文明古国取得的，例如埃及、美索不达米亚、中国、印度和阿拉伯，当然还有希腊。可以肯定的是，如果没有希腊人的贡献，数学就不会像现在这样丰富多彩。而在长达一千多年的中世纪里，整个欧洲似乎只有一个堪称伟大的数学家——菲波那契，以他名字命名的兔子序列至今仍在数学王国里发出光辉。欧洲之外，最有名的数学家当数巴格达的花拉子密，正是他命名了代数学，在阿拉伯语里，al-jabr 意为还原移项，译成拉丁文后就成了 algebra，这也是今天英文里的代数学。
14世纪是欧洲黑死病流行的时期，毁灭了将近四分之一的人口，数学上取得的成绩也非常可怜。但疾病和战争有时候会改变文明的格局，法兰西开始崭露头角，逐渐走在世界文明的前列。这个世纪最重要的数学家被认为是法国人奥雷斯姆，他写过五部数学书，和他的译文一样文笔优美，为科学修辞和法国散文作出了贡献。奥雷斯姆第一个使用了分数指数，第一个用坐标确定了点的位置，这预示了现代坐标几何学，影响了包括笛卡尔在内的诸多数学家。
15世纪开始了欧洲的文艺复兴，可是数学进展仍然不大，其时最杰出的数学家是法国人丘凯，16世纪最伟大的数学家也是法国人。他的名字叫韦达。法国人的数学在文艺复兴之初已达到世界先进水平，正是在那个时期，(现今的)初等数学基本上羽翼丰满了。同时，这也为近代数学和科学的全面发展奠定了相对坚实的基础。
笛卡尔和天才的世纪
在笛卡尔出生以前，意大利人在世界文明的进程中走在最前列，他们在数学和科学领域也处于领先地位，塔尔塔里亚(口吃者)与卡尔达诺在三次和四次方程的解法研究上取得了突破，他们两人的成就合起来不低于同时代的法国人韦达。可是，这两位同胞数学家却相互控告对方剽窃，结果弄得两败俱伤。1564年出生的伽利略一直在意大利的两所大学任数学教授，他发明的扇形圆规通用了两个世纪，同时对抛物线性质和无限集的等价概念有了正确的理解，他的数学天才和直觉帮助其建立起了自由落体的力学定律。他用自制望远镜观察宇宙，证实了哥白尼的太阳系理论，却不幸遭到罗马教会的迫害，含冤而死。
和大多数天才人物一样，笛卡尔也出生在小地方。他小时母亲病故，身体羸弱，已另娶妻的父亲把他交给外婆抚养，后来又送他进拉弗莱什的一所教会学校。幸亏校长极有人文修养，看出这个孩子心智和身体上的差异，要他先增强体质。校长告诉小笛卡尔，除非想去教室和别的同学们在一起，否则不必离开自己的房间。从那以后，笛卡尔终身保持了晚起的习惯，包括他在部队当兵时，当他需要思考问题时，就躺在床上冥思苦想。尽管笛卡尔身体虚弱并爱睡懒觉，却是个勇敢的军人，并曾被授予中将军衔，但被他拒绝。
笛卡尔在数学上的主要成就是创立了一门数学分支——解析几何，同时他又被黑根尔赞誉为“近代哲学之父”。作为一个二元论者，笛卡尔明确地把心灵和肉体区分开来，其中心灵的作用如同其著名的哲学命题所表达的——“我思，故我在”。而在方法论上，笛卡尔则是一个彻头彻尾的怀疑主义者，对他来说，怀疑是一种必要的手段，是哲学和心理学方法中的一个工具。笛卡尔认为，我们从童年时代起就接受了许多偏见，如果得不到及时纠正，会持续到成年，他进一步指出，“怀疑是一门艺术，它使我们脱离感觉的影响获得解放。”
在笛卡尔时代，他在数学上有好几位竞争对手。例如，毕生居住在法国南方山区小城图卢兹的法官费尔马，他有着“业余数学家之王”的美号。今天我们大家都知道“费尔马大定理”，它是毕达哥拉斯定理(即勾股定理)的推广和提升，虽然结论截然相反。直到上个世纪末，这个定理才被英国数学家怀尔斯最后证明了。据说在笛卡尔生前，他经常接到费尔马的挑战，例如宣布发现某某数学规律却不告之证明方法，这些挑战有的是以书面的形式提出，有的是通过一位叫梅森的神甫传达。说起这个梅森神甫，虽然算不上是伟大的数学家(仅以梅森素数命名)，却是17世纪法国数学不可或缺的人物。还有一位是帕斯卡尔，据说帕斯卡尔12岁那年，从未受过相关训练的他独自推导出了几何学中的一条定理，即三角形的三个内角和等于两个直角之和。从那以后，父亲才开始教授儿子欧几里德几何，不久父子俩一同参加了梅森神甫组织的数学沙龙。帕斯卡尔的主要数学成就包括概率论的创立(与费尔马合作)、二项式系数和射影几何学中的帕斯卡尔定理(圆锥曲线的内接六边形三组对边的交点共线)。
除了数学上的成就以外，帕斯卡尔还发明了计算机(初衷是为了帮助父亲进行税务方面的计算)、流体压力定律(水压机便是这个定律的一个应用)，计算机中的帕斯卡尔语言和天气预报中的大气压强单位帕均取自他的姓名。而在人文和哲学领域，帕斯卡尔取得了同样非凡的成就。他的散文作品《思想录》被公认为是所有法国文学中的珍品，在宗教方面，他宣扬可以通过心灵而不是通过理性来体验上帝的教义，他建立的直觉主义原理对于后来卢梭、实用主义和存在主义哲学家都有影响。
在达到盛名之后，帕斯卡尔和笛卡尔不约而同地选择了隐居生活。笛卡尔说过，“ 我只要求安宁和平静”相比笛卡尔和帕斯卡尔的多才多艺，费尔马把自己的聪明才智全部奉献给了数论。这当然与费尔马有着自己的职业、需要养家糊口有关，但我认为更重要的是，费尔马与高斯、欧拉这三个对数论有杰出贡献的数学家，他们已经从数论之美中获得了满足，因此不怎么需要寻求诸如艺术、哲学或宗教的滋养。从毕达哥拉斯时代人们就沉湎于发现数的神秘关系，优美、简洁、智慧是这门科学的特点。记得希尔伯特的传记作者在谈到大师放下代数不变量理论转向数论研究时写到，“数学中没有一个领域能够像数论那样，以它的美——一种不可抗拒的力量——吸引着数学家中的精华。”画家康定斯基也认为：“数是各类艺术最终的抽象表现。”
从费尔马到庞加莱
自从费尔马于1665年去世后，法国数学界有半个世纪的沉寂，之后从17世纪20年代开始，接连诞生了一批数学大师，几乎每隔七八年就有一位，他们中的每一个都成就非凡，如果放在其他国家里，都可能成为该国历史上最伟大的数学家。而法国人也是以此为傲，其中的七位数学家，分别是达兰贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、蓬斯莱、柯西和伽罗瓦。
“在天才的伽罗瓦去世二十多年以后，法国又诞生了一位大数学家，他就是新近因为以其名字命名的猜想获得解决而重新引起全球公众瞩目的庞加莱，他的才华和成就横跨了科学与人文两大领域。庞加莱被认为是通晓全部数学与应用数学知识的最后一个人，他涉足的研究领域惊人地广泛，并不断使之丰富。
庞加莱出生在法国东北部小城南锡，父亲是一位著名的医生。庞加莱的超常智力不仅使他接受知识极为迅速，同时拥有一副流利的口才，并从小得到才华出众的母亲的教导，却不幸在五岁时患上白喉症，从此变得体弱多病，不能顺利地用口语表达思想。但他依然喜欢各种游戏，尤其是跳舞，他读书的速度也十分惊人，且能准确持久地记住读过的内容。小庞加莱擅长的科目包括文学、历史、地理、自然史和博物学，他对数学的兴趣来得比较晚，大约开始于15岁，不过很快显露出非凡的才华。不久，他被保送到巴黎综合工科学校(就是伽罗瓦两次报考未被录取的大学)，开始了他的数学生涯。
庞加莱的哲学著作包括《科学与假设》、《科学的价值》和《科学方法论》，他是唯心主义约定论哲学的代表人物，认为公理可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。正是由于这些成就的取得才使他既当选为法兰西科学院的院士(后成为院长)，又当选为法兰西学院的院士，他同时处身于科学和人文两座金字塔的塔尖。庞加莱相信艺术家和科学家之间创造力的共性，相信“只有通过科学与艺术，文明才体现出价值”。
中国有望成为
真正的数学大国
需要指出的是，本文提到的半数法国数学家与巴黎综合工科学校结缘，而另一座同样诞生于法国大革命期间、校名也同样谦逊的巴黎高等师范学校则在上个世纪培养了八位菲尔兹奖得主。可以说，正是笛卡尔以降法国数学家拥有的人文素养，使得数学在法国长盛不衰。值得一提的是，这一良好的氛围也熏陶了滞留巴黎的德国人莱布尼茨，他从一个肩负外交使命的秘密使臣一跃成为大数学家和大哲学家，他那轰动一时的微积分学便是在巴黎期间发明的。莱布尼茨的出现标志着德意志民族在世界文明史上的真正崛起，同时也使得法国数学又多了一个强有力的竞争者。而布尔巴基学派的诞生，便是迫于德国数学后来居上的压力和形势之下。
反观中国，虽说西汉时期有了《周髀算经》和《九章算术》，南朝时祖冲之对圆周率的估算领先世界一千多年，却限于实用性的计算而忽视公理化建设和理论推导。近代以来，由于缺乏对外交流，中国和整个东方数学未跟上时代的脚步。等到国门重开，终于意识到自己的落后，摆在我们面前的困难重重。这里面当然有机制和学风的因素，不过我相信，如果我们的数学工作者年轻时多一些人文修养，盛年之后能把一部分精力转向哲学思考或研究，及时探讨数学的未来和外延。如同本文引言所说的，把数学看成是传统文化的一部分，而不是作为敲门砖或谋取名利的手段，我们的数学事业就会兴旺发达，数学研究和人才培养就会成为一种有序的制度，中国也有望成为真正的数学大国。
有一个异乡人在巴黎问当地人，“为什么贵国历史上出了那么多伟大的数学家？”巴黎人回答，“我们最优秀的人学习数学。”又去问法国数学家，“为什么贵国的数学一直享誉世界呢？”数学家回答，“数学是我们传统文化中最优秀的部分。”
笛卡尔以前的法国数学
在中世纪以前，数学的成就主要是在一些文明古国取得的，例如埃及、美索不达米亚、中国、印度和阿拉伯，当然还有希腊。可以肯定的是，如果没有希腊人的贡献，数学就不会像现在这样丰富多彩。而在长达一千多年的中世纪里，整个欧洲似乎只有一个堪称伟大的数学家——菲波那契，以他名字命名的兔子序列至今仍在数学王国里发出光辉。欧洲之外，最有名的数学家当数巴格达的花拉子密，正是他命名了代数学，在阿拉伯语里，al-jabr 意为还原移项，译成拉丁文后就成了 algebra，这也是今天英文里的代数学。
14世纪是欧洲黑死病流行的时期，毁灭了将近四分之一的人口，数学上取得的成绩也非常可怜。但疾病和战争有时候会改变文明的格局，法兰西开始崭露头角，逐渐走在世界文明的前列。这个世纪最重要的数学家被认为是法国人奥雷斯姆，他写过五部数学书，和他的译文一样文笔优美，为科学修辞和法国散文作出了贡献。奥雷斯姆第一个使用了分数指数，第一个用坐标确定了点的位置，这预示了现代坐标几何学，影响了包括笛卡尔在内的诸多数学家。
15世纪开始了欧洲的文艺复兴，可是数学进展仍然不大，其时最杰出的数学家是法国人丘凯，16世纪最伟大的数学家也是法国人。他的名字叫韦达。法国人的数学在文艺复兴之初已达到世界先进水平，正是在那个时期，(现今的)初等数学基本上羽翼丰满了。同时，这也为近代数学和科学的全面发展奠定了相对坚实的基础。
笛卡尔和天才的世纪
在笛卡尔出生以前，意大利人在世界文明的进程中走在最前列，他们在数学和科学领域也处于领先地位，塔尔塔里亚(口吃者)与卡尔达诺在三次和四次方程的解法研究上取得了突破，他们两人的成就合起来不低于同时代的法国人韦达。可是，这两位同胞数学家却相互控告对方剽窃，结果弄得两败俱伤。1564年出生的伽利略一直在意大利的两所大学任数学教授，他发明的扇形圆规通用了两个世纪，同时对抛物线性质和无限集的等价概念有了正确的理解，他的数学天才和直觉帮助其建立起了自由落体的力学定律。他用自制望远镜观察宇宙，证实了哥白尼的太阳系理论，却不幸遭到罗马教会的迫害，含冤而死。
和大多数天才人物一样，笛卡尔也出生在小地方。他小时母亲病故，身体羸弱，已另娶妻的父亲把他交给外婆抚养，后来又送他进拉弗莱什的一所教会学校。幸亏校长极有人文修养，看出这个孩子心智和身体上的差异，要他先增强体质。校长告诉小笛卡尔，除非想去教室和别的同学们在一起，否则不必离开自己的房间。从那以后，笛卡尔终身保持了晚起的习惯，包括他在部队当兵时，当他需要思考问题时，就躺在床上冥思苦想。尽管笛卡尔身体虚弱并爱睡懒觉，却是个勇敢的军人，并曾被授予中将军衔，但被他拒绝。
笛卡尔在数学上的主要成就是创立了一门数学分支——解析几何，同时他又被黑根尔赞誉为“近代哲学之父”。作为一个二元论者，笛卡尔明确地把心灵和肉体区分开来，其中心灵的作用如同其著名的哲学命题所表达的——“我思，故我在”。而在方法论上，笛卡尔则是一个彻头彻尾的怀疑主义者，对他来说，怀疑是一种必要的手段，是哲学和心理学方法中的一个工具。笛卡尔认为，我们从童年时代起就接受了许多偏见，如果得不到及时纠正，会持续到成年，他进一步指出，“怀疑是一门艺术，它使我们脱离感觉的影响获得解放。”
在笛卡尔时代，他在数学上有好几位竞争对手。例如，毕生居住在法国南方山区小城图卢兹的法官费尔马，他有着“业余数学家之王”的美号。今天我们大家都知道“费尔马大定理”，它是毕达哥拉斯定理(即勾股定理)的推广和提升，虽然结论截然相反。直到上个世纪末，这个定理才被英国数学家怀尔斯最后证明了。据说在笛卡尔生前，他经常接到费尔马的挑战，例如宣布发现某某数学规律却不告之证明方法，这些挑战有的是以书面的形式提出，有的是通过一位叫梅森的神甫传达。说起这个梅森神甫，虽然算不上是伟大的数学家(仅以梅森素数命名)，却是17世纪法国数学不可或缺的人物。还有一位是帕斯卡尔，据说帕斯卡尔12岁那年，从未受过相关训练的他独自推导出了几何学中的一条定理，即三角形的三个内角和等于两个直角之和。从那以后，父亲才开始教授儿子欧几里德几何，不久父子俩一同参加了梅森神甫组织的数学沙龙。帕斯卡尔的主要数学成就包括概率论的创立(与费尔马合作)、二项式系数和射影几何学中的帕斯卡尔定理(圆锥曲线的内接六边形三组对边的交点共线)。
除了数学上的成就以外，帕斯卡尔还发明了计算机(初衷是为了帮助父亲进行税务方面的计算)、流体压力定律(水压机便是这个定律的一个应用)，计算机中的帕斯卡尔语言和天气预报中的大气压强单位帕均取自他的姓名。而在人文和哲学领域，帕斯卡尔取得了同样非凡的成就。他的散文作品《思想录》被公认为是所有法国文学中的珍品，在宗教方面，他宣扬可以通过心灵而不是通过理性来体验上帝的教义，他建立的直觉主义原理对于后来卢梭、实用主义和存在主义哲学家都有影响。
在达到盛名之后，帕斯卡尔和笛卡尔不约而同地选择了隐居生活。笛卡尔说过，“ 我只要求安宁和平静”相比笛卡尔和帕斯卡尔的多才多艺，费尔马把自己的聪明才智全部奉献给了数论。这当然与费尔马有着自己的职业、需要养家糊口有关，但我认为更重要的是，费尔马与高斯、欧拉这三个对数论有杰出贡献的数学家，他们已经从数论之美中获得了满足，因此不怎么需要寻求诸如艺术、哲学或宗教的滋养。从毕达哥拉斯时代人们就沉湎于发现数的神秘关系，优美、简洁、智慧是这门科学的特点。记得希尔伯特的传记作者在谈到大师放下代数不变量理论转向数论研究时写到，“数学中没有一个领域能够像数论那样，以它的美——一种不可抗拒的力量——吸引着数学家中的精华。”画家康定斯基也认为：“数是各类艺术最终的抽象表现。”
从费尔马到庞加莱
自从费尔马于1665年去世后，法国数学界有半个世纪的沉寂，之后从17世纪20年代开始，接连诞生了一批数学大师，几乎每隔七八年就有一位，他们中的每一个都成就非凡，如果放在其他国家里，都可能成为该国历史上最伟大的数学家。而法国人也是以此为傲，其中的七位数学家，分别是达兰贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、蓬斯莱、柯西和伽罗瓦。
“在天才的伽罗瓦去世二十多年以后，法国又诞生了一位大数学家，他就是新近因为以其名字命名的猜想获得解决而重新引起全球公众瞩目的庞加莱，他的才华和成就横跨了科学与人文两大领域。庞加莱被认为是通晓全部数学与应用数学知识的最后一个人，他涉足的研究领域惊人地广泛，并不断使之丰富。
庞加莱出生在法国东北部小城南锡，父亲是一位著名的医生。庞加莱的超常智力不仅使他接受知识极为迅速，同时拥有一副流利的口才，并从小得到才华出众的母亲的教导，却不幸在五岁时患上白喉症，从此变得体弱多病，不能顺利地用口语表达思想。但他依然喜欢各种游戏，尤其是跳舞，他读书的速度也十分惊人，且能准确持久地记住读过的内容。小庞加莱擅长的科目包括文学、历史、地理、自然史和博物学，他对数学的兴趣来得比较晚，大约开始于15岁，不过很快显露出非凡的才华。不久，他被保送到巴黎综合工科学校(就是伽罗瓦两次报考未被录取的大学)，开始了他的数学生涯。
庞加莱的哲学著作包括《科学与假设》、《科学的价值》和《科学方法论》，他是唯心主义约定论哲学的代表人物，认为公理可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。正是由于这些成就的取得才使他既当选为法兰西科学院的院士(后成为院长)，又当选为法兰西学院的院士，他同时处身于科学和人文两座金字塔的塔尖。庞加莱相信艺术家和科学家之间创造力的共性，相信“只有通过科学与艺术，文明才体现出价值”。
中国有望成为
真正的数学大国
需要指出的是，本文提到的半数法国数学家与巴黎综合工科学校结缘，而另一座同样诞生于法国大革命期间、校名也同样谦逊的巴黎高等师范学校则在上个世纪培养了八位菲尔兹奖得主。可以说，正是笛卡尔以降法国数学家拥有的人文素养，使得数学在法国长盛不衰。值得一提的是，这一良好的氛围也熏陶了滞留巴黎的德国人莱布尼茨，他从一个肩负外交使命的秘密使臣一跃成为大数学家和大哲学家，他那轰动一时的微积分学便是在巴黎期间发明的。莱布尼茨的出现标志着德意志民族在世界文明史上的真正崛起，同时也使得法国数学又多了一个强有力的竞争者。而布尔巴基学派的诞生，便是迫于德国数学后来居上的压力和形势之下。
反观中国，虽说西汉时期有了《周髀算经》和《九章算术》，南朝时祖冲之对圆周率的估算领先世界一千多年，却限于实用性的计算而忽视公理化建设和理论推导。近代以来，由于缺乏对外交流，中国和整个东方数学未跟上时代的脚步。等到国门重开，终于意识到自己的落后，摆在我们面前的困难重重。这里面当然有机制和学风的因素，不过我相信，如果我们的数学工作者年轻时多一些人文修养，盛年之后能把一部分精力转向哲学思考或研究，及时探讨数学的未来和外延。如同本文引言所说的，把数学看成是传统文化的一部分，而不是作为敲门砖或谋取名利的手段，我们的数学事业就会兴旺发达，数学研究和人才培养就会成为一种有序的制度，中国也有望成为真正的数学大国。
数论
数论概述
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们合起来叫做整数。（注：现在，自然数的概念有了改变，包括正整数和0）
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
数论的发展简况
自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。
自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。
在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。
到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。
在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。
编辑本段数论的基本内容
数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。
初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重要的内容。
解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如，对于“质数有无限多个”这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的是解析数论中的筛法。
代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。
几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。
数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。
由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。
数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题……
在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩。
特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。至今，这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
数学分支学科
算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学等等。
·初等数论
意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题，最主要的工具包括整数的整除性与同馀。重要的结论包括中国馀数定理、费马小定理、二次互逆律等等。
·解析数论
借助微积分及复分析的技术来研究关於整数的问题，主要又可以分为积性数论与加性数论两类。积性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。
·代数数论
引申代数数的话题，关于代数整数的研究，主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目的，这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密。
·几何数论
主要在于透过几何观点研究整数（在此即格子点）的分布情形。最著名的定理为Minkowski 定理。
·计算数论
借助电脑的算法帮助数论的问题，例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的话题。
·超越数论
研究数的超越性，其中对于欧拉常数与特定的 Zeta 函数值之研究尤其令人感到兴趣。
·组合数论
利用组合和机率的技巧，非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由艾狄胥开创的思路。
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们合起来叫做整数。（注：现在，自然数的概念有了改变，包括正整数和0）
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
数论的发展简况
自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。
自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。
在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。
到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。
在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。
编辑本段数论的基本内容
数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。
初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中很重要的内容。
解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如，对于“质数有无限多个”这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的是解析数论中的筛法。
代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。
几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。
数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。
由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。
数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题……
在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩。
特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。至今，这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。
人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）等。利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
数学分支学科
算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学等等。
·初等数论
意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题，最主要的工具包括整数的整除性与同馀。重要的结论包括中国馀数定理、费马小定理、二次互逆律等等。
·解析数论
借助微积分及复分析的技术来研究关於整数的问题，主要又可以分为积性数论与加性数论两类。积性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。
·代数数论
引申代数数的话题，关于代数整数的研究，主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题，而为了达到此目的，这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密。
·几何数论
主要在于透过几何观点研究整数（在此即格子点）的分布情形。最著名的定理为Minkowski 定理。
·计算数论
借助电脑的算法帮助数论的问题，例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的话题。
·超越数论
研究数的超越性，其中对于欧拉常数与特定的 Zeta 函数值之研究尤其令人感到兴趣。
·组合数论
利用组合和机率的技巧，非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由艾狄胥开创的思路。
2008年8月28日星期四
法伯相交数猜想
1992年,瑞典数学家法伯提出了关于曲线模空间万有环结构的系列猜想,过去十几年里,法伯猜想是曲线模空间领域的核心问题之一,出现在许多重要著作和文献中,斯坦福、普林斯顿等数学家研究过这个问题。
其中,法伯相交数猜想是法伯猜想中非常重要的组成部分,因为它决定了万有环的结构。
1998年,两位美国数学家证明法伯相交数猜想可以从关于格罗莫夫—威滕不变量的Virasoro猜想得到。但是这涉及到一个庞大的体系,掩盖了模空间本身的性质。对于法伯相交数的组合本质,仍然是一个未解的谜。
正是为了揭示法伯相交数的组合本质,美国斯坦福大学教授瓦开与两位著名的加拿大组合学家,在他们2006年的文章中,利用局部化技巧,部分证明了法伯相交数猜想对应于标示点个数小于等于4的情形。
2008年8月15日从浙江大学获悉,世界著名数学难题“法伯相交数猜想”被浙江大学数学中心刘克峰教授和他的博士生徐浩成功证明,著名华裔数学家丘成桐日前在浙大向他们表示祝贺。
“浙大数学中心解决了这个著名世界难题,我非常兴奋,祝贺你们!浙大的学生是世界一流的!这个难题哈佛没能证明,你们却证明了!”2008年8月13日,丘成桐在向自己的学生刘克峰表示祝贺时高兴地说。
在证明该猜想的过程中，刘克峰和徐浩用了完全不同的方法,借助计算机,推导出相交数的新递归关系,并由此给出了法伯相交数猜想最为直接和简洁的完整证明。
著名青年数学家刘克峰是美国洛杉矶大学的终身教授,他曾成功地证明了世界数学难题超弦中的“镜猜想”、微分几何中的丘成桐几何度量等价性猜想、拓扑量子场论中著名的威腾刚性定理等世界著名数学难题。他在微分几何、拓扑、数学物理等方向取得大量国际一流的原始创新成就。因此,他获得了华人数学界的最高奖——晨兴数学金奖,还获得过谷庚海默奖、斯隆奖、特曼奖等国际大奖。
浙大数学中心是在丘成桐的倡导下于2003年成立,丘成桐教授亲任主任。应丘成桐推荐,刘克峰作为浙江大学光彪特聘教授兼任浙大数学中心执行主任。
浙大数学中心成立后成果迭出,刘克峰于2004年证明了世界著名数学难题马里诺—瓦发猜想;他和丘成桐联手证明了丘本人20多年前提出的关于几何度量等价性的世界著名猜想。加上此次的成果,浙大数学中心已成功证明了3项世界性数学难题,这在国内大学中是罕见的。
2008年3月中旬,因悬赏世界7大数学难题出名的美国克莱数学研究所和加拿大国家数学研究所——班福数学研究所联合邀请全世界40多位著名数学家,举行“曲线模空间的最新进展”讨论班,围绕“法伯相交数猜想”开展专题讨论。就在研讨班举行的前一天,瓦开教授收到浙大数学中心证明“法伯猜想”的预印本。瓦开教授兴奋地评价:这个证明简洁极了,漂亮极了!他在这次研讨会期间的报告中,专门介绍了这项证明。
结果,为期一周的讨论班上,许多参会学者纷纷研读浙大的这一成果。数学家们认为,这个证明独辟蹊径,非常成功。
其中,法伯相交数猜想是法伯猜想中非常重要的组成部分,因为它决定了万有环的结构。
1998年,两位美国数学家证明法伯相交数猜想可以从关于格罗莫夫—威滕不变量的Virasoro猜想得到。但是这涉及到一个庞大的体系,掩盖了模空间本身的性质。对于法伯相交数的组合本质,仍然是一个未解的谜。
正是为了揭示法伯相交数的组合本质,美国斯坦福大学教授瓦开与两位著名的加拿大组合学家,在他们2006年的文章中,利用局部化技巧,部分证明了法伯相交数猜想对应于标示点个数小于等于4的情形。
2008年8月15日从浙江大学获悉,世界著名数学难题“法伯相交数猜想”被浙江大学数学中心刘克峰教授和他的博士生徐浩成功证明,著名华裔数学家丘成桐日前在浙大向他们表示祝贺。
“浙大数学中心解决了这个著名世界难题,我非常兴奋,祝贺你们!浙大的学生是世界一流的!这个难题哈佛没能证明,你们却证明了!”2008年8月13日,丘成桐在向自己的学生刘克峰表示祝贺时高兴地说。
在证明该猜想的过程中，刘克峰和徐浩用了完全不同的方法,借助计算机,推导出相交数的新递归关系,并由此给出了法伯相交数猜想最为直接和简洁的完整证明。
著名青年数学家刘克峰是美国洛杉矶大学的终身教授,他曾成功地证明了世界数学难题超弦中的“镜猜想”、微分几何中的丘成桐几何度量等价性猜想、拓扑量子场论中著名的威腾刚性定理等世界著名数学难题。他在微分几何、拓扑、数学物理等方向取得大量国际一流的原始创新成就。因此,他获得了华人数学界的最高奖——晨兴数学金奖,还获得过谷庚海默奖、斯隆奖、特曼奖等国际大奖。
浙大数学中心是在丘成桐的倡导下于2003年成立,丘成桐教授亲任主任。应丘成桐推荐,刘克峰作为浙江大学光彪特聘教授兼任浙大数学中心执行主任。
浙大数学中心成立后成果迭出,刘克峰于2004年证明了世界著名数学难题马里诺—瓦发猜想;他和丘成桐联手证明了丘本人20多年前提出的关于几何度量等价性的世界著名猜想。加上此次的成果,浙大数学中心已成功证明了3项世界性数学难题,这在国内大学中是罕见的。
2008年3月中旬,因悬赏世界7大数学难题出名的美国克莱数学研究所和加拿大国家数学研究所——班福数学研究所联合邀请全世界40多位著名数学家,举行“曲线模空间的最新进展”讨论班,围绕“法伯相交数猜想”开展专题讨论。就在研讨班举行的前一天,瓦开教授收到浙大数学中心证明“法伯猜想”的预印本。瓦开教授兴奋地评价:这个证明简洁极了,漂亮极了!他在这次研讨会期间的报告中,专门介绍了这项证明。
结果,为期一周的讨论班上,许多参会学者纷纷研读浙大的这一成果。数学家们认为,这个证明独辟蹊径,非常成功。
2008年7月29日星期二
UNIX发展简史
UNIX系统自 1969 年 Ken ThompsonKen Thompson 与 Dennis RitchieDennis Ritchie 在美国贝尔电话实验室（Bell Telephone Laboratories ）发展出雏形至今，已历经近 30 来年。而 "UNIX" 这个字典上查不到其原意的怪字，其实是戏谑 MULTICS（MULTiplexed Information and Computing System）操作系统的大而无当所产生的谐音字。
在 1957 年 10 月，前苏联发射了第一枚人造卫星，此举让当时的美国总统艾森豪威尔决定投下巨额的经费用以支持及发展科学，美国高等研究计划署（ARPA，Advanced Research Projects Agency ）便是在这个时空下设立了，该单位负责推动系统发展等相关计划，成为当时美国电子计算器发展的重要推手。
1960年代是大型计算机的发展年代，当时的麻省理工学院因最先实现了兼容分时系统（CTSS， Compatible Time-Sharing System），在电子计算器领域享有相当崇高的地位。
1963年，麻省理工的里克莱德（J. C. R. Licklider，1915~1990 ）
推动了 MAC计划，MAC 以 IBM的大型计算机做为主体，连接了将近 160台终端机，这些终端机就四散在学区以及教职员的家中，可以让 30 位使用者同时共享计算机资源。这项计划到了 1965 年便不堪负荷，于是麻省理工便决定开发更大型的分时计算机系统。新的计划便是—— MULTICS. 一个计算机
史上最为庞大的分时计算机系统，企图连接 1000 部终端机，支持 300位使用者同时上线的分时计算机系统。她面临的是，操作系统的分时观念还在各学术与研究机构探索成形中，计算机硬件亦需重新设计的双重挑战。
当时，麻省理工原本找 IBM来配合这项计划，但 IBM正忙着应付自己的问题而无意配合MULTICS 计划。此时，通用电子公司（General Electric Company）
也就是奇异公司正好在发展自己的大型主机，见机不可失，便极力邀请麻省理工参予她们的 GE 645 大型主机的规格制定。有了奇异热心主动的计算机硬件配合，麻省理工找上的不能贩售计算机却人才济济的贝尔电话实验室来负责承包软件工程。于是乎，MULTICS 的计划便在 1965 年由麻省理工学院、奇异公司及贝尔电话实验室这三个成员开始共同发展。
1969年，MULTICS 计划在历经四年的奋战后，仍旧未达到原先规划设计的理想，贝尔电话实验室决定退出计划。功能未达原始设计理想的 MULTICS还是安装在奇异公司的 GE 645 大型计算机上供麻省理工使用。奇异公司在该计划草草结束后不到一年便完全淡出大型计算机市场。日后，MULTICS 计划被嘲解为Many Unnecessarily Large Table In Core Simultaneously.
农夫我个人认为， MULTICS计划诞生在大型计算机将开始鼎沸的 1965 年，夭折于大型计算机最为辉煌的 1969 年。她如果适时在 1960 年代末期成功的话，绝对可以助长当时已经普遍被计算机权威人士视为理想的「计算机公用事业」，至少可以让大型计算机的发展与资源集中的应用模式就不至于会在 1970 年代初期就迅速萎缩。因为 MULTICS计划如果成功，至少能让当时的大型计算机的应用规模大上 10 倍左右。然而，MULTICS 计划失败了。她严重地打击了当时依赖大型计算机主机的计算机公用事业业者在发展上的信心。更由于没有相似的计划后继进行，使得集中式的大型计算机主机没有明显的使用效能提升，而加速催化计算器工业的转变，以寻找新的道路。另一方面，MULTICS 计划失败的经验亦让当时参与该计划的软件工程师们得到相当宝贵的经验与正面的影响。
几年后，就在 AT&T ，MULTICS 计划这个不同凡响的失败换来的一个不同凡响的成功。
一个戏谑她的名字诞生了…… UNIX.
Ken_Thompso
Dennis_Ritchie
一个游戏的开始
1969年贝尔实验室的计算器科学研究中心（Computing Science Research Center ）
成员退出 MULTICS计划的同时，贝尔实验室本身其实也没有一套完善便利的交谈式计算器服务环境。在其中不少工程师们也正为了改善程序设计环境努力着， Ken Thompson 、Dennis Ritchie和其同事们在当时草拟一个新的档案系统架构，这个档案系统也就是早期的 UNIX 操作系统的档案系统的前身。当时的 Ken Thompson 忙着使用 Fortran语言将原本在 Multics系统中开发的game叫 "Space Travel" （太空旅游）转移到 GECOS System 上开发。 当时 GECOS System大型计算机的CPU Time相当昂贵（一秒要 75 块美金），同时控制 "spaceship"（宇宙飞船） 的效果不甚理想，于是 Ken Thompson 不得不寻找替代的开发环境。Thompson看上了一台很少被人使用的 Digital Equipment Corporation PDP-7 迷你计算机，当时 PDP-7使用的是 Graphic-II 显示器，具有不错的图形处理能力。 Brian kernighan 于是 Ken Thompson 便与 Dennis Ritchie 连手将程序设计转移到 PDP-7型计算机上。
Ken Thompson在移转工作环境的同时为了得到较好的发展环境，便与Dennis Ritchie共同动手设计一套包含 File System、Process Subsystem 及一小组 Utility的操作系统，当时这套系统仅能支持 2个使用者使用。由于贝尔实验室对于 MULTICS计划失败的阴霾还未消散， Brian Kernighan这位仁兄开玩笑地戏称这套新的操作系统为 UNiplexed Information and Computing System，缩写为 UNICS，之后大家取谐音便叫她为 "UNIX" ，没想到这个开玩笑的名字会被人叫到今天。
初期的自由发展
事实上该套 "UNIX" 系统在当时仅是私下的被使用，也并没有得到多大的重视，一直到1971年的一个正式的计划，UNIX才正式被搬上台面。
PDP-11/201970 年，当时贝尔实验室的专利部门（Patent department ）缺乏一套文书处理系统，为了设计开发的需要，于是买了一台 PDP-11 计算机。当时 PDP-11 计算机的交机过程并不顺利，处理器先到，硬盘则多等了好几个月。
当 PDP-11 一切准备妥当后，他们便将 UNIX 移植到拥有 512K bytes 硬盘的PDP-11/20 型计算机上，并在此系统之下开发了一套文书处理工具。而这套工具便是后来 nroff / troff的前身。那时的 UNIX 提供 16K bytes给系统、8K bytes给使用程序，档案最大的极限是 64K bytes. 而此套含有文书处理工具的系统，也正式获得贝尔实验室的专利部门采用，系统名称并被编为 "First Edition". 在 UNIX 移植成功后 Thompson 用 B语言为它添加了 Fortran Compiler，但因为 B语言属于一种解译语言（interpretive language ），执行成效并不是很好，于是 Ritchie又将它—— Compiler 发展成可产生机器码、允许定义数据形态及结构，Ritchie 称它为 C语言。1973年并以 C语言改写全部UNIX原始程序，UNIX于是首度出现正式版本——V5（第五版）。
此时的 UNIX 慢慢地在贝尔实验室内部蔓延开来，装机数也变成了 25 部之多。
由于当时的贝尔实验室实际上是掌控在美国电信电话公司（AT&T）及其子公司西方电器公司的手上，实验室主要是负责研究改进西方电器公司制造的和美国电信电话公司在贝尔系统中使用的电信设备。同时根据军方合同，从事与国防有关的研究与改进的工作。而 AT&T 本身由于有反托拉斯法的限制并不能从事于任何有关计算机方面的销售，所以 AT&T 的主管阶层们对于当时 UNIX 的发展并没有太多的支持，因而当时贝尔实验室内部对于 UNIX 的发展并不是相当在意也无意于将之推广。不过为了应付实验室内各部门日益增加的 UNIX 使用者与相关技术支持需求，还是成立了 UNIX ystem Group （简称 USG）。但该组织也仅只是提供技术上的支持，并未赋予继续发展的任务。所以当时的 UNIX 发展，全靠AT&T的工程师们的努力。这段期间 UNIX 的发展完全没有组织及系统性可言，而玩家尽是一些工程师们，于是乎种下了 UNIX 日后较难以被一般人所接受的命运。
走出贝尔实验室
1974年 Thompson 与 Ritchie共同在 Communications of the ACM发表了一篇 UNIX 论文 "UNIX Time-Sharing System" 得到相当大的回响。 1975 年 UNIX 发表第六版（V6）﹐其提供的强大功能更胜过当时昂贵大计算机的操作系统，其最大特点是以高级语言写成，仅需要做少部份程序的修改便可移植到不同的计算机平台上。 UNIX V6版本并附有完整的程序原始码在 1976 年正式从贝尔实验室内部传播到各大学及研究机构，UC Berkeley 也就是依据这个版本开始研究并加以发展，并在 1977 年发表 1 BSD（1st Berkeley Software Distribution）版本的 UNIX OS，其后续的发展更为 UNIX OS贡献良多且影响深远，此点稍后再为你说明。
同年 UNIX 因它提供良好程序发展环境、网络传输服务与及时服务（Real-Time Services），而广得各电话公司采用。Interactive System Corporation更因 Value Added Reseller （VAR ）运用 UNIX 来强化办公室自动化环境，成为第一家应用UNIX操作系统的公司。此年UNIX亦被修改并第一次装到 Interdata 8/32 型计算机上。这也是 UNIX 操作系统首次安装在非 PDP型的计算机上。自此 UNIX 系统开始被移植改装到各型微处理机及新计算机上
一个稳定的基石
1978年 UNIX 发表对今日影响最重大的 UNIX 第七版（UNIX Time-Sharing System，Seventh Edition ）也就是 V7.此版本包含 Fortran 77 compiler、Shell （只有Bourne Shell）、文件处理工具（nroff/troff 、roff、 MS mocro等）、UNIX-to-UNIX-file-Copy（用来支持两台 UNIX 机器间的档案传输）、数据处理工具（AWK 、SED 等强悍的工具）、除错工具（ADB ）、程序发展工具（MAKE）、Lexical analyzer generator（LEX 、YACC等）、简单的绘图工具、并支持 C语言及 LINT verifier，主要执行于 PDP-11 及Interdata 8/32型计算机上。在当时那个年代来说其系统的架构与功能已经是相当的完备的了。Bourne Shell的原作者称她为 "improvement over all preceding and following Unices" ，在今日也有人称这个版本是 "last true Unix".由此可见 V7 在 UNIX 发展里程上的扮演了相当重要的盘石角色。
在当时 DEC公司推出了一款 32-bit supermini 主机—— VAX，搭配的 VAX的操作系统叫做 VMS. 这款迷你级计算机的硬件无可挑剔〈直到今日她的稳定度仍是被诸多老一辈的系统管理者所赞许的〉，但 DEC对 VMS操作系统的支持性却让贝尔实验室的工程师们宁愿使用UNIX OS . 而这项工作则是由 John Reiser和Tom London所共同完成。他们以 V7 为基础转移 UNIX OS到 VAX计算机上使用。
这个版本被称为 UNIX V32.同时为了转移的方便性，他们把 32-bit 的 VAX当成是大一点的 PDP-11 （因为 DEC 的 PDF-11 型计算机是 16-bit ），同时为了执行的效率，V32 放弃使用 VAX硬件提供的一项 paging 功能（DEC 的 VMS OS 有支持 paging 功能，也由于 V32舍弃这项功能，所以 V32没有虚拟内存的功能）。
即使是如此，V32 支持的地址已高达 4Gb. 就这样没有支持paging功能的 V32开始被广泛的安装在 VAX的机器上运作。
DEC 则是在 1984 年左右推出来自己的 UNIX OS，叫做 ULTRIX.
一个重要的延续及发展—— BSD UNIX
时间回到 1973 年 11 月， Ken Thompson 和 Dennis Ritchie 在印第安纳Purdue大学的一场操作系统原理的座谈会。会场上、坐着一位柏克莱大学（U.C. Berkeley ）教授，名字叫 Bob Fabry. 当天的 K&R所发表的 UNIX 立刻引发 Bob Fabry的极度兴趣。当时的柏克莱还是处在使用大型计算机主机、批次执行程序的阶段，并没有像 UNIX 这样的交谈式作业环境。会后，他便决定将UNIX带回柏克莱。
于是柏克莱的计算器科学、数学与统计三个系所合买的一台 PDP-11/45，准备用来迎接UNIX.1974 年 1月，Bell Labs寄来了一卷 V4 的磁带，学生 Keith Standiford 便开始进行安装 V4 的工作。安装时 Standiford 碰到了问题，便转向 Bell Labs求援。人在新泽西州的 Thompson 便透过柏克莱这端速度只有300-baud的调制解调器在在线进行侦错。
在 UNIX 的发展史上，这是 Bell Labs与柏克莱的第一次接触。
完成除错后，V4便顺利地在柏克莱这台新买的 PDP-11/45计算机上工作了。
当时这台是三个系所合买的，计算器科学好不容易装上了 UNIX ，却碰到数学与统计系所要使用 DEC's RSTS system，所以在一阵协调后，UNIX与 DEC's RSTS system以 8：16小时的比例分配，供三个系所轮流使用。一段时日后，具交谈式功能的 UNIX 在效能上的表现得到绝多数学生们喜爱，纷纷将自己的计划转向UNIX的时段。而一天占了 16 个小时的批处理时段却乏人问津。
当时 Eugene Wong与 Michael Stonebraker教授，看上了 UNIX 提供的便利性，便打算将他们的 INGRES 数据库计划重原先批处理的计算机环境转移到UNIX系统上面。在 1974 年，他们为这执行计划添购了一台新的 PDP-11/40 计算机，上面安装了 V5.这个计划也就是柏克莱的第一个将作业环境转移到UNIX的案子。
UNIX作业环境的需求，在柏克莱迅速地成长。为了应付需求，Michael Stonebraker 与Bob Fabry 教授决定再申请购买两台 PDP-11/45. 1975年初，DEC 推出 PDP-11/70，价格差不多等于两台 PDP-11/45，但功能强过 PDP-11/45 所以他们便决定改购买一台 PDP-11/70.
这台机器引来了 Ken Thompson 、碰上 Bill Joy 以及日后产生了 1BSD.她就宛如是一块 UNIX 史上的地标，沿袭自 Bell Labs，竖立在柏克莱，承先启后并开创新局。农夫个人认为，她应该被供在博物馆。
当这台机器在 1975 年终运达柏克莱时；同一时间，Thompson受邀回母校（柏克莱）当客座教授，科目就是 NIX.Thompson 在校期间与 Jeff Schriebman和 Bob Kridle 一起动手将新版的 V6 安装在 PDP-11/70.
Bill Joy1975年，一位密执安州大学的毕业生来到了柏克莱，他的名字就是Bill Joy. 当时 Joy和同学 Chuck Haley （tar 就是他写的）喜欢一起泡在计算机房里面，Thompson也时常插上一脚。他们成功地改善了 Pascal 的解译与侦错的能力，同时还提升了解译与执行的速度。另外换装上 ADM-3的屏幕后，他们觉得ed文字编辑指令并不合用；于是根据另外一个相似的 em 指令，发展了自己的觉得满意的文字编辑工具，也就是指令 ex.
1976年夏天，Thompson结束了他的休假回到 Bell Labs. 此时的 Joy和Haley 已经开始着手探索 UNIX kernal，甚至还做了一些修改。1977年初，Joy 制作了一卷磁带，上头写着"Berkeley Software Distribution." ，这就是 1BSD. 其中包含新的 Pascal compiler与 ex 编辑器。
次年，来了几台新屏幕—— ADM-3a ，这种屏幕支持光标地址显示，Joy 在这种屏幕上完成了有人爱不释手；有人恨之入骨的文字编辑器—— vi.接着不久，Joy 便发现一个问题，老旧的屏幕装备，还是会被用在其它的计算机上。为了支持上的方便，Joy 针对此现象设计了一个接口，用来管理、支持不同的屏幕装备。
这个接口就是现在的 termcap.1978 年中，包含了功能加强的 Pascal 与 vi 及termcap 的 "Second Berkeley Software Distribution ，" 也就是 2BSD ，迅速的取代了原先版本。
1979年，至少有 75 部 PDP-11 的机器上安装 2BSD 在运作着。自此在 DEC PDP-11 系列上执行的 BSD版本便一直以 2.xBSD 作为识别。
由于 PDP-11 计算机实在相当长寿，持续到今日农夫我仍然在网络上发现过关于PDP 计算机的网站。似乎到今日它们仍旧在某些地方默默地工作着。
2.xBSD最近的一次改版是在 1987 年，使用 4.3 BSD为主架构改写，版本定为 2.10 BSD.
在 BSD UNIX 中登场的重要功能当中，有一个直到今日仍然叫人又爱又恨的指令– vi.我接触过不少学习 UNIX OS的人，大部分的人对 vi 的使用与掌握都不算顺手，其中恨死这个指令的也大有人在，前些日子农夫我还看到某个网站公开讨论起 vi 是否阻碍了 UNIX 的发展？实在夸张了一点！
Bill Joy多次公开地说，他要是知道 vi 会如此受" 欢迎" 的话，他宁愿当初没有写 vi 这只程序。不过 Bill Joy 也说过，当时他原本还想加入一项 Multiple Windows in vi 的功能，不过当他在写这部分程序的时候，磁带机坏了，所以Bill只好在没有备份的情况下继续工作，想不到" 屋漏偏逢连夜雨" ，程序写到一半，他使用的硬盘也跟着挂了。在无可挽救又没有备份磁带的情况下，Bill宣告放弃为 vi 增加 Multiple Windows 这项功能。事后 Bill 为前一版的 vi 写好使用说明后就继续作其它的事。所以 vi 就长成今天那付德性。农夫我认为这或许是福不是祸！搞不好当初要是连 Multiple Windows 这项功能一起发表的话，上头的图可能就是遗照了。
当时有位 Richard Fateman教授，原先使用一台 PDP-10 上进行着他的Macsyma 研究计划。但他需要更大的内存地址来执行程序，所以在 1978 年初，他看上了当时迪吉多新发表的 VAX-11/780.好不容易，他联合了其它的部门才凑足购买 VAX的经费。刚开始时，机器原本安装的是 VMS操作系统。不过别的成员要执行 UNIX 操作系统，于是 Fateman安装上了 V32. 但问题来了，V32 并不支持虚拟内存，Fateman 便找上了 Domenico Ferrari 教授，希望他与他的研究小组能为 UNIX 加上这项功能。当时一位学生叫 Ozalp Babaoglu ，他想到了一些解决的方法似乎可行，但因为牵涉到 VAX硬件与 UNIX kernal的问题，于是他找上了 Joy帮忙。
就在只有一台 VAX的状况下，他们努力奋战着。1979年 1月，在 VAX上支持虚拟内存的UNIX版本终于诞生，V32 从此走入历史。紧接着 Peter Kessler与 Marshall Kirk McKusick 为他加上了Pascal；Joy 则动手将 2BSD 上的 ex、vi、C shell 等工具转移了过来。这个版本就是 3BSD.一个首次支持虚拟内存、demand paging 和 page eplacement 的 UNIX OS.
UNIX与 DARPA交会
1970年代末，美国国防部先进研究计划机构（Defense Advanced Research Projects Agency ——简称 DARPA）正在为 AI （Artificial Intelligence ），VLSI及计算器视觉等研究（vision research ）找寻一个可共通作业的计算机环境。硬件方面的首选是迪吉多的 VAX主机。配合的操作系统是 VMS. 这样的组合因拥有相当接近 DARPA 需求的功能被列入优先的考量，但在 DARPA与 DEC商谈对于 VMS的支持事宜之后，DARPA 并没有得到满意的答案。这迫使他们考虑朝向UNIX发展。但当时 UNIX OS（指的就是32V ）搭配 VAX，最大的缺憾就是没有支持虚拟内存；但此时已经有人克服了。
当时，Bob Fabry 教授写了一份建议书给 DARPA，建议他们以柏克莱支持虚拟内存的 3BSD 为基础，发展成为计划所需。这份企划书引起了 DARPA的高度兴趣。随后 3BSD 也实际获得了 DARPA相关计划成员们的良好风评，也因此最后柏克莱大学打败了卡奈基梅隆大学与 BBN（Bolt Baranek & Newman ， Inc. ），让 Bob Fabry成功地获得了 DARPA的资助合约。这份合约开始于 1980 年 4月，为期 18 月。此后的 DARPA便以 UNIX OS为标准操作系统。 Bob Fabry 教授在取得 DARPA合约后，依约成立了一个支持机构，也就是 Computer Systems Research Group简称 CSRG.Bob Fabry找上了 Bill Joy 来负责软件开发。Joy 迅速地以先前的 3BSD 为基础，整合新的功能。如 Job Contro l （作者是 Jim Kulp ）、auto reboot 、1K block file system. 同时也整合入Pascal compiler 、Franz Lisp system、enhanced mail handling system.这就是在 1980 年所发表的 4BSD.没多久她便被安装在将近 500台VAX 上。
DARPA 采用了这个版本作为当时 DARPA的标准 UNIX 操作系统。
树大招风，当时，有位在 Stanford Research Institute的仁兄叫 David Kashtan，写了一份关于 VMS与 BSD UNIX在 VAX上的执行效率评估。该份报告指出 BSD UNIX 在效率上不如 VMS来的好。Joy 知道这件事之后，花了不到一个星期的时间，重新调整 UNIX kernal. 然后也写了一份报告，证明他们的BSD 在 VAX上要比 VMS优越多多。 1981年 6月，这个 Joy调整过的系统，加上了 Robert Elz 写的 auto configuration ，以 4.1BSD 的版本发表了。
当时的 DARPA对柏克莱 4.1BSD 的表现相当满意，于是续签了两年的新约，金额更是先前合约的 5倍。其中有一半的金额用在资助柏克莱继续发展 BSD UNIX . 钱多的相对代价就是要求高。当时，DARPA 对 UNIX 的期望开出了明确的目标；更迅速、更有效率的档案系统、支持程序可执行地址达 multi-gigabyte 、提供弹性的解译沟通能力、具整合支持网络能力。
在此同时，为了达到计划的目标，DARPA 成立的一个指导委员会；主要的成员有柏克莱的 Bob Fabry， Bill Joy ，Sam Leffler 、BBN 公司的 Alan Nemeth and Rob Gurwitz、贝尔实验室的 Dennis Ritchie 、史丹佛大学的 Keith Lantz、卡内基。梅伦大学 Rick Rashid、麻省理工学院 Bert Halstead、信息科学协会 Dan Lynch、DARPA 的 Duane Adams and Bob Baker以及加州。洛杉矶大学的 Jerry Popek.
不久，Joy 便开始整合早先 BBN的 Rob Gurwitz所发表的 TCP/IP protocols ，不过他对 BBN这些程序的执行效率并不满意，于是 Joy与 Sam Leffler重新写的一版自己的程序。
另外，并加入了一些支持网络的工具 rcp，rsh ， rlogin ，rwho. 他们称她为 4.1aBSD，这个版本并没有正式发表，在1982年 4月开始供内部使用。虽是如此，在 4.2BSD 未正式发表之前，她还是繁殖的到处都是。6 月， 4.1aBSD kernal加上了新完成的档案系统，版本更新为 4.1bBSD.
rcp ， rsh， rlogin ， rwho 这群指令。因安全机制上的理由，逐渐被另一群新的指令群所取代，新的指令群叫 SSH（Secure Shell）。SHH 相关网址（http://www.ssh.org）。
1982年的春季末，已厌倦了在柏克莱环境的 Bill Joy ，答应受邀加入当年刚创办的 Sun Microsystems ， Inc. ，成为 SUN的第四号创办人。那年的整个夏季他就在两地奔走。之后他对修改中的弹性解译沟通机制及改写 UNIX kernal到一个段落之后，由 Leffler接手了他的工作。由于合约期限的因素，Leffler 在1983年 4月发表了 4.1cBSD，提供给参予 DARPA各项相关计划的成员试用。6 月，DARPA 的指导委员会第二次会议招开，验收与检讨最新版的 BSD 成果。继续整合 UNIX 系统的 Leffler，在 1983 年 8月，发表了 4.2BSD.她达到了DARPA 的预定的需求；足以应付 CAD/CAM影像处理与 AI 研究的高速的档案系统及扩展强化的虚拟内存功能；提供能分散处理的解译沟通机制；支持56-Kbit 的 ARPA Internet网络连结，以及 10-Mbit/s Ethernet 的局域网络；还有经过重组架构已模块化的 kernal code ，提供更有效率的计算机平台移植。
SUN 以生产 RISC 架构的工作站计算机为主，使用的正是以 BSD为基础所的UNIX OS.在当时以不逊色于大型计算机的多人多任务、具网络沟通功能的UNIX OS 、加上价格低廉的硬件（相对于 mini 级计算机而言），广获得工程界的青睐，而mini级大计算机的命运自此注定开始逐渐式微。计算机软件的应用因为有了网络于是也开始朝向 Client-Server的架构发展。
1982年，SUN 有了自己的操作系统—— SunOS 1.0——承袭自 4.1BSD.一直到 1990 年11月，发表 SunOS 4.1.1 版同时冠上 Solaris 1.0时，SUN 才算开始向 System V 版本靠拢。
SunOS 4.1.1 可算是以 BSD为主体再附加上 System V 工具的 UNIX 混血儿。但这其实是个商业考量的过渡性做法（后文会加以说明）。
而 SunOS 4.1.x版的字眼也仅延续到 1994 年的 SunOS 4.1.4为止，她后继的版本是 Solaris 1.3. 真正延续到今日的 Solaris版本，则是始于 1992 年 7月的Solaris 2.0 （SUN OS 5.0）。
在商业有所成就的 SUN Microsystems 对 UNIX OS的发展倒也做了些重大贡献；如 1984 年发表的 NFS（Network File System ）与其后在 1986 年发表的PC- NFS.
商业化的不平坦历程—— UNIX 版本的战争
UNIX商业化实质上即意味着将产生各种独立化的 UNIX 版本，这点大概是最显而易见的事实。如果以商品要具备独特性与独占性的利益来做考量的话，其实一点也不意外。因此 UNIX 开始衍生的相当多的版本。这种现象，对使用者以开发应用程序的厂商而言，已经造成了某成程度上困惑。然而，一种无所适从的无力感其实才刚开始。
1984年 1月 1日， AT&T 这个拥有 1495 亿美元资产、1 ，009 ，000 位员工的庞大巨兽，终于被格林法官（Harold H. Greene）以反扥拉斯法（antitrust ） 强制拆解成七家 RBOCs（Regional Bell Operating Companies ） . AT&T 也因而在一夕间解体成为区域性网络公司，从此失去了长途电话的垄断性地位。这种时空的转变让 AT&T 对 UNIX 的态度有了 180度的转变（其实，农夫我指的是收费的态度）。
先前已经提过 70 年代初期的 AT&T ，已经在长途电话市场上占有绝对垄断的优势，因而被美国政府的限制不得涉足与从事计算机与其它行业，也正因而造就了UNIX发展初期的自由开放。直到 1979 年，AT&T才宣布要将 UNIX 商业化的计划。1981年 11 月，AT&T属下的USG 发表了 System III.次年又更新为System IV.稍后于 1983 年，AT&T 将 CRG， USG合并成立了 UNIX System Development Lab. 一般简称为 USL，从其名称就不难清楚她将要扮演的角色。该年 System V 上市了。此时 AT&T 发觉每次版本更新都得花不少宣传费，实在不划算，所以决定在 System V 以后，名字就不再做变动了。1984年，System V Release 2发表，简称为 SVR2.在这个版本中，才终于看到来自 BSD 版本的 Virtual memory 功能，农夫我不得不惊叹 AT&T 的稳健作风。SVR3则是到了 1986 年才发表，随后 1987 年又发表了 SVR3.2.
1987年，在工作站市场上已占有一席之地的 SUN，找上了 AT&T ，打算将System V与 BSD这两大版本归为一统。 1988年初，双方更签订了合作合约，AT&T取得 SUN的一席董事，同时亦有权买下 SUN百分之二十的股份。这项合作计划，原本有机会整合当时版本纷乱的 UNIX OS. 但那是理想。实际上这个计划反而让 UNIX 族群里的其它成员恐慌万分，特别是 IBM、DEC 、HP这几个产业龙头。为了抵制这项行动，他们组织了一个反对联盟。因此「开放软件基金会」也就是 Open Software Foundation 简称 OSF在 1988 年正式诞生；成员除了前面的三巨头外，尚有多达三十几家计算机硬件制造厂商与系统咨询顾问公司，也相继以行动投入到此反对的行列中。然而 AT&T 与 SUN也不示弱地组织了 UNIX International ，也就是UNIX国际公司，成员数量虽然不比 OSF阵营来的多，但如果她是 Intel、 Toshiba 、Unisys、Motorola、Fujitsu ，这几个大块头，那也是很够看头的。
企业自身的利益在现实世界里始终是以个体的考量为优先，所以这两大阵营始终没能再达成任何共识，就连当时所制定的 UNIX 统一标准规格，严格来说也从不曾被实现过。这种企业利益上的冲突与矛盾其实也存在于同一个阵营中不同的成员之间。两大阵营对峙，可以说是 UNIX 有史以来最重大的产业冲突事件。
由于商业利益的政治考量大过技术问题的考量，也因此奠定了 UNIX 将继续分裂下去的命运。 AT&T 在 1989 年发表了 SVR4 ，SUN 在日后也将她的 SunOS 4.1. 1 开始冠上 Solaris的字眼，以行动靠拢 SVR4.OSF 则是在 1990 年发表了OSF/1.UNIX版本的问题因而更加混乱了。但有趣且可笑的是，开放系统——Open System ，这个双方都标榜的理念与观念却因此在计算机产业界引起了回响，这点倒是原先所始料未及的。
不久 AT&T 撤销了对 SUN的投资，同一个阵营的成员彼此也因而劳燕分飞。
USL 在 1991 年正式转变了一家独立的商业公司。但 UNIX 在商业市场上的价值却出现了变化……
让 UNIX 自由—— Networking Release 2
自从 UNIX 走出贝尔实验室后，研究机构与学术界就扮演了继承与发展的双重角色。在1979到 1984 年这段期间，UNIX的拥有者 AT&T ，对于学术界的授权政策尚可用「大方」来形容；同时也对学术界做某种程度的资助与合作。当时的学术界，得助于 AT&T 的大方授权与分享程序原始码，研习 UNIX 这个分时操作系统开始在学术界蔚为一股风气，甚至可以说是一种潮流或一种流行。其中，像柏克莱 BSD对 UNIX 的贡献，就是一个公开的事实。但早期的 BSD使用者，是必需向 AT&T 支付授权金的。这点，从产业界资助学术界的角度来看是一点也不值得惊讶的。因为资金的援助为了就是取得其成果。所以当时基于 AT&T 原始码所发展的成果，均归属 AT&T 所有。也因而 AT&T 掌控了 UNIX 的所有权。到了1984年以后，AT&T开始更积极地保护 UNIX 的原始码；AT&T甚至还要求各大学的使用人员签订保密条约，想藉此防堵 UNIX 的原始码从学术单位流出，以影响到商业利益。
在 DARPA资助柏克莱从事 BSD OS 发展的过程中，诞生了 TCP/IP 这项广泛影响现今计算机与因特网的通讯协议。由于 DARPA对于资助开发的软件项目有明文规定接受资助者必须无条件地释出程序的原始码，所以 TCP/IP 的原始码与程序的版权并不属于 AT&T 所有。这点在现今看来其意义是不凡的。也正因为有此一条件，柏克莱的 CSRG （Computer System Research Group）因应 BSD Vendors需求，在 1989 年 6月发表了 Networking Release 1 ，她包含了TCP/IP source code以及一些工具，提供给当时正开始起步发展的个人计算机制造业者使用。Networking Release 1 授权收费仅 1000 美元，而且不需要 T&T的商业授权，取而代之的是柏克莱大学的开放式授权。
农夫我看柏克莱授权方式，几乎可以说是一种良心式授权方式，在实质的运用上她完全没有限制。她允许原始码或执行档在任何情况下修改并且允许将修改后的程序从事商业行为而无须任何回馈，当然也没有绝对要求开发者必须要释出原始码。如果你改都不改地加以贩售，她也没有意见。但有一点不可违反的限制，就是必须在衍生物的版权声明上提到柏克莱的贡献。这种做法在日后，也没有多少改变，而这样的授权方式也成为了柏克莱的授权精神。
Keith Bostic由于 Networking Release 1 所得到的响应实在远超过 CSRG 成员的预估。
这个不算差的成果，让柏克莱的 CSRG 觉得有必要释出更多属于 BSD的程序原始码。于是激发 CSRG 的成员 Keith Bostic开始组织志愿工作者从事一项就算不能够惊天也足以动地的程序写作计划。计划的主要目的在当时还真让人感到有点" 乌扥邦".农夫我个人喜欢戏称她为「解放 UNIX 计划」。
Marshall Kirk McKusick这项计划大体上分成两个部分，操作系统工具（Utility ）
与核心（kernal）。而且参与人员必须在完全没有参考 AT&T UNIX source code的情况下进行撰写程序的工作。因为只有在这种条件下，写出来的程序代码，才能摆脱 AT&T 的着作权束缚。当然这也绝对不是一件容易的事。Keith Bostic四处奔走，组织了超过四百名热心的软件工程师，经过了长达十八个月的奋战之后，操作系统主要的工具与链接库才算改写完成。Marshall Kirk McKusick负责改写当时的核心程序。但系统核心的部分，由于长期以来柏克莱与 AT&T 一直就彼此分享 UNIX 原始码，所以各自所加上去的程序代码早已混杂难分了。为了彻底的厘清双方各自撰写的部分，他们下决心进行逐行比对。首先花了好几个月的时间，将核心程序每一行每一个档案都建立转换比对的数据库。然后接着进行移除来自 AT&T 32V 的程序代码并改写她们。即使是如此，仍旧有 6只程序让他们束手无策，因而无法将核心程序彻底完整地改写。最后，他们还是决定将他们所做的所有成果发表。授权的方式沿用 Networking Release 1 的授权方式，授权的磁带依旧是 1000 美金。这个版本就是 Networking Release 2 ，也有人称她为 4.3BSD NET/2.发表的时间在 1991 年 6月。虽然这是个不完整的操作系统。
但，在今日看来，却有着划时代的意义—— UNIX OS自由了。
谁是" 老大哥" ——侵权诉讼
AT&T的 USL在 1991 年正式转变了一家公司。当然，这意味着她将更重视UNIX在商业上的利益。当时的 UNIX OS早以称霸高阶的计算机市场；从 Cray 超级计算机、IBM 的大型计算机主机、迷你级计算机到工作站，均是 UNIX 的天下（这一点，直到现在21世纪，仍旧没有多大的改变）。即使在 80 年代中期后开始迅速发展的个人计算机，虽然当时被戏称为是玩具计算机，但也仍旧有像XENIX[注1]， Interactive UNIX[注2]等几种向 AT&T 缴过税的商业化版本。
UNIX简直就是 AT&T 的一棵摇钱树。
但这一切在 Networking Release 2 （以后简写为 Net/2）出现之后，起了变化！
首先，一位 i386 处理器的玩家名叫 Bill Jolitz，在拿到 Net/2之后，很快地就将 Net/2 kernal 缺少的程序补齐了。BSD kernal这时可算是大功告成了。
当时 Bill Jolitz将他们放在因特网与其它人共享他的原始码，并且得到了不少正面的响应。由于这个版本是使用在 i386 微处理器的个人计算机上，所以就命名为386BSD，在 1992 年 2月正式发表。这该算是 BSD首度功能完整且版权独立的版本。Bill Jolitz 是当时唯一的 kernal 维护者。在他离开这个计划之后，继起的 BSD玩家们延续了这个版本，日后衍生了 FreeBSD，然后又从其中分支出裂NetBSD版本。
另一个将 Net/2完整化的是一家叫 Berkeley Software Design ，Incorporated的公司，简称 BSDI[注3]. 由于 Net/2的版权声明中，宣称其源文件的合法性，并且允许使用者，从事衍生物的商业行为，所以 BSDI 将他们修改后的系统命名为 BSD/386. 他们并将成果打包，刊登广告以 995美金的售价贩售 BSD/386，而且含原始码，而且还提供免费服务电话的咨询，电号号码是"1-800-ITS-Unix". 时间大约是在 1992 年 1月。当时，USL 的 System V 含 source code的价格大约是 BSD/386价格的一百倍左右。这可惊动了老大哥 AT&T.并且正式地书面严重警告 BSDI 违反的注册商标法（电话号码里有Unix的字眼），并公开宣称 AT&T 拥有 UNIX 的注册商标。BSDI再次刊登广告公开反击 AT&T ，声明她的商业行为完全合法。果不期然，BSDI的博命演出让双方手牵手走上法庭。
AT&T的 USL控告 BSDI 剽窃他的 UNIX 原始码，要求法官还他公道。在听证会上，BSDI祭出早已准备好的法宝；自己在无任何 AT&T source code 的条件下写出的合法档案，以及来自于 BSD授权的 Net/2 source code. 前面的证据足以让 BSDI 立于不败之地，后者让 BSDI 置身在暴风圈外。BSDI的辨证获得了法官的采信。但 At&T 岂会就此罢手，他们将焦点转移到 Net/2的 BSD授权上面，并且重新提出控诉，被告的对象变成了 BSDI 与柏克莱大学；同时 AT&T 还申请法庭禁止 BSDI 一切的 BSD/386销售行为。就这样，柏克莱大学也对号入座了。
农夫我认为，毕竟 AT&T 是营利企业，她得维护她的商业利益，这点是天经地义的事。
虽然柏克莱大学与 AT&T 在 UNIX 发展上有着非比寻常的关系，但商业利益是现实的。企业资助学术界的研究计划，多半是基于商业上的考量；我相信，学术界的少数高层在寻求奥援时不会不明白这一点，即使这有可能让大部分的学术人士无法接受或不愿接受。不管如何，这一记醒棍倒再次挑起了这一点事实。
成为被告的柏克莱大学，只好无奈地面对这场无情的商业诉讼。但他们也同样不甘示弱地对 AT&T 的 Systerm V 着作权提出质疑，因为在 AT&T 的 UNIX 授权声明中完全没有提及柏克莱的贡献。所以柏克莱反控 AT&T 违反 BSD 的授权条款。柏克莱的反击让战况越演越烈，诉讼案一路从 AT&T 的老家新泽西州的联邦法庭打到柏克莱大学的所在地加州法院，但依旧没有结果。
到了 1993 年，官司还在进行中，但 AT&T 却已经打包 USL准备以一亿美元的价格找寻买主了。最后 AT&T 将 USL 以八千万美元代价的卖给了 Novell.而新买主也当仁不让地加入了这场混战。但却也因此，战况露出了一线平息的曙光。
诉讼案在 1994 年 1月宣告终结，以庭外和解收场。实际的协议内容仅有当事人知情。
如果从胜负的角度来看这场诉讼，或许柏克莱与 BSDI 是胜利的一方。但如果从UNIX发展的脚步来看这场诉讼，就可能根本没有任何一方是胜利者了。
事件平息后的 1994 年 6月，柏克莱的 CSRG 风光地发表了 BSD 4.4 Lite.在这个版本中，有 70 个档案引用的一份新修改的版权声明，阐述的 AT&T 与 BSD双方的贡献，并明确地给予档案自由散播的权利。但不知为何，应该有能力完整发表的 BSD 4.4 Lite 还是缺少了三的档案。当时，农夫我也很高兴地买了一本BSD4.4-Lite CD-ROM Companion ，含一张光盘，现在拿在手上，看来总觉得有点呆。
掌握 UNIX source code 以及 UNIX 商标的 Novell ，将 UNIX 商标交给X/open管理，自己则发展了一套命名为 UNIXWave 的操作系统。推出后市场的反应并不热络。不久，Novell与 SCO接头，在 SCO保证继续支持UNIXWare 的条件下，UNIX在 1995 年二次易主，新主人是SCO[注4].
备注：*1 Intel在 1978 年发表 4.77 MHz 的 8086 微处理器。1980年，Microsfot 便以 V7 为基础，发表了在微处理器（microprocessor-based computers）上执行的版本也就是 XENIX. 到了 1982 年，一家成立于 1979 年的软件公司 Santa Cruz Operation ，成为微软的合作开发厂商。之后她这家公司便一直致力于这个领域里延续到今日，缩写就是今日的 SCO.
*2 Interactive IS/1 （以 V6 为主体）。这个版本后来演化为比较让人熟知的名字—— Interactive UNIX. 后来因为 Sun Microsystems 致力发展 Solaris for X86，被财力雄厚的 Sun Microsystems 合并了，如今已经不见踪迹了。
*3就在我反复修改这段文稿的时候，BSDI这家公司已经被 Wind River 合并了，改名为iXsystems.2001/05/03
*4 2001 年 5月 4日，Caldera International ， Inc. 正式并购了 SCO的服务器软件部及SCO 专业服务部这两个部门，新的控股公司名为 Caldera， Inc
GNU 计划——开启了新大道
在 1983 年 9月 27 日，麻省理工学院人工智能实验室（MIT Artificial Intelligence Lab ）的 Richard M. Stallman（以下简称为 RMS），在net.unix-wizards以及net.usoft 的 newsgroups 贴上了一份标题为 "new UNIX implementation" 的讯息。这就是如今广为人知的 GNU计划的开始。在那则被视为「GNU 宣言」草稿的讯息中，RMS 阐述个人的理念与计划的目的——完成一个命名为 GNU的 "Free UNIX"操作系统，希望藉此寻唤理念想同者共襄盛举。
「如果我喜欢一个程序的话，那我就应该分享给其它喜欢这个程序的人」，这是RMS 的座右铭。此点也似乎正是促使其决心运作 GNU计划的原动力。当时的RMS 是想写出一套免费的操作系统。能够让每个人如空气般地自由的取得与使用。
选择“UNIX兼容”为设计的主要原因是；RMS 表明，UNIX并非他个人理想中的操作系统；他仅阅读一些相关数据，但未曾使用过（MIT 使用操作系统是"ITS——Incompatible Timesharing System"）；但他认为 UNIX 操作系统具有优良的本质特性。他相信如果 GUN与 UNIX 兼容将更容易令人接受。所以 RMS承袭 MIT用递归缩写字命名的传统为 GNU释译界定 Gnu is Not Unix.
1984年 1月，RMS 为了展开他的理想而决心离开已经待了十几年的 MIT AI Lab.。当他向他老板 Patrick Winston 辞职时，Winston 试图挽留地说：「你还是要辞职？」。RMS 不为所动的回答：「是」。Winston 显然得到预料中的答案，于是接着说出了思绪里关怀：「你想要保留你的钥匙吗？」。于是 RMS就从此开始专心地" 失业" 在他的老东家。一个人窝在他原来的旧办公室中，规划着如何开始他的 GNU计划。但想开发一套新的 UNIX 兼容的操作系统，即使是财力、人力资源雄厚的顶级计算机公司，也绝对不是一件说想做就能够做到的事。
当拟妥他的「GNU 宣言」之后，他正式向全世界呼唤、表明其将所为。种子落地了。
GNU 计划的第一只程序要算是孤军奋战的 RMS在 1984 年 9月开始撰写的Emacs 编辑器。
1985年初，Emacs 已进入可用的阶段。于是 RMS将她放在pre.ai.mit.edu这台机器的 FTP server 上，免费地让 amonymous的到访者自由下载使用。不久后，Emacs 强扞的功能引发了一些玩家们的注意，由于附上了 source code，玩家们能自己动手为它添加新的功能或除错，很快地，Emacs 获得了相当热烈的回响。随着名声渐播，开始有人相继地加入 GNU计划的程序写作阵营。" 此道不孤" 让 RMS倍感振奋与喜悦。
当时的因特网并未十分普及。所以有不少人虽然对 Emacs程序有兴趣，却没办法经由 FTP的管道取得，因而有人透过其它管道向 RMS询问能如何取得时，这可让当时处在失业状态的RMS 看到能够支持他继续奋战下去的资金来源——贩售" 自由软件".
一个人、一个独立的个人，要想在现实中实行自己的理念，最先得接受" 现实".唯有接收它是事实，实行理念的道路，才获得比较稳固的起点与开始。 ——网络农夫如是说。
想着、写着，脑中突然掠过一丝感受（所以顺便记录在这个地方）。不管如何，RMS 真的开始以一卷磁带 150 块美金的代价，服务有需要的人。也因为基于这个开始与基础，RMS 当年便创立了自由软件基金会—— Free Software Foundation（以后简称为FSF ）。这对GNU 计划而言，意味着它已跨越个人化理念的构思阶段，并进入了有群体组织化的运作阶段。
同时，RMS 也制定出了属于GNU 计划的软件版权。RMS 使用 "copyleft" 用来形容她，其实就是与着作版权（copyright ） " 对立" 之意。这也就是 GPL—— General Purpose License（通用公共授权）。
GNU 计划的种子，就这样生根发芽了。
从贩卖 GNU自由软件扩展到其它的相关软件与参考手册，提供软件技术支持，并接受计算机器材与资金的捐助（捐助者依法享有一定额度的减税），为企业代训软件人才。FSF 努力地开辟财源却仍旧是运作资金捉襟见肘。RMS 本人并不支薪。而FSF 聘请软件工程师的待遇，也仅是软件业界薪资水平的一半。但这绝不表示GNU 计划的软件水准是半桶水。GCC 编译器是 GNU计划在 1987 年 3月开始发表的免费编译器，当时的版本是 0.9测试版。如今最新的版本则是 3.0. 这个编译器可以说是今日自由软件写作的基石。GCC 所解译的机器码，其可靠度绝对不逊于商业化的编译器产品，甚至可以说是优越过商业编译器。
90年代初，GNU 计划暨已完成了质量与数量均十分可观的系统工具。这些工具被广泛的使用在当时各种工作站的 UNIX 系统上。虽然已有如此的成果，但仍称不上是完整的操作系统。他们缺少一支属于自己的" 核心程序（kernal）".
UNIX在 4.2BSD 之后，越写越大 kernal 开始带来一些不便与问题。因而当时便开始有另一个写作理念逐渐在发展——微核心（microkernal ）理念。
1985年，卡内基大学（Carnegie Mellon University简称 CMU）暨以 4.3BSD 为发展基础，将之一拆为二，分成 micro kernal 与 single server两个部分。
该计划的名称为"Mach". 这个计划成了微核心发展的技术先河。GNU 原本有意直接采用"Mach"计划的成果。但无奈，这一等，从80年代中等到了90年代初，在几经商量之后，他们打算采用微核心的写法，成立自己的计划，名称叫"Hurd". 这项计划，如今仍在奋战中，虽然 microkernal的做法让他们吃了不少苦头；但可喜的是，0.2 ， 0.3 测试版本已经发表。
直到 21 世纪的今日，RMS 依旧努力不懈地耕耘着他的梦土。尽管他本人认为还尚未完全地实现他的「GNU 宣言」；但他执着于理念的行动，已凝聚了相当数量的自由软件写作族群们，在这些人与群体的努力下，一条新的大道其实已经被开拓出来了，她通往一个新的世界。大道旁，枝叶已然繁茂的树荫下，可口果实一如礼物般地为所有的人成熟。人们称她—— Linux.
新世代的焦点—— Linux
1990年代中期，因特网因出现 World Wide Web ， HTML 这种新型态的应用，而开始迅速的延烧全世界。一夕间，架设因特网主机的需求激增。这时有一套可以免费取得，并且能让 x86计算机升格成 UNIX 级主机的免费操作系统，开始了吸引全世界目光。在传媒与计算机工程师们的竞相走告下成为了这个新世代的焦点，这个新的名字就是 Linux.
Linus Benedict Torvalds 当然，这套媒体吹捧的当红炸子鸡，可非一人之功，一夕即成的。Linux 是一套版权彻彻底底与 AT&T 无关的 UNIX-like OS.原始核心程序的创作者是芬兰籍的 Linus Benedict Torvalds（现今他仍旧是核心程序的维护者）。操作系统里大部分的系统工具，来自于 RMS行之多年的 GNU计划成果，以及其它的自由软件写作计划产生的软件，如 X Windows、KDE 、Gnome 等窗口接口。由于构成操作系统的主要部分均奉行 GPL 版权，所以市面上有相当多样的安装套件，目前较广为人知的有 RedHat 、Slackware 、SuSE、Debian GNU/Linux ……。也因此，这套操作系统，可说是包含了无数字自由软件写作者的共同心血。
如此的一套操作系统其实也就是 RMS多年来想要达成的宿愿—— "Free UNIX". 所以，RMS 本人总认为该将名称改做"GNU/Linux".因此，也有人用 GNU/Linux来称呼这个操作系统。
Torvalds打从十岁出头当他外公的" 键盘手" 开始，到了中学就已成了不折不扣的计算机迷。1990年，当他就读赫尔辛基大学（University of Helsinki） 信息系二年级，选修一门「C 语言与 UNIX 操作系统」的课程，因而疯狂地迷恋上了UNIX操作系统。那年正好赫尔辛基大学正好添购的一台 VAX，安装 Ultrix 操作系统。连接了 16 台终端机供授课师生使用。有所限制的计算机资源，对一位计算机迷来说是极痛苦忍受的。
Torvalds开始作梦想" 搞" 一套可以在自己计算机上跑的 UNIX.
1991年 1月，Torvalds利用 "学生贷款" 加上去年的 "耶诞红包" ，以分期付款方式买了一台 386 DX33 个人计算机（他的第三台计算机）。他选择安装的操作系统则是在学术界颇负盛名的 Minix[ 注5]. 在几番奋战下，就绪运作的 Minix OS 功能性却多方面无法满足Torvalds的需求，因而激发了他重头来的欲念。于是 Torvalds 在他的 386 DX33 上逐步探索并撰写出他自己的核心程序。他网络上释放的第一个版本是 1991 年 9月 17 日的 0.01 版。虽然她是个简陋的开始，但由于 Torvalds 本人持续维护与网友回馈贡献，原本一个人所撰写的核心程序竟在不知不觉中逐渐转化成 "虚拟团队" 的运作模式。
然而，一般计算机使用者，需要的是可安装运作的操作系统（农夫我习惯以" 安装套件" 称之），而非单一的操作系统核心。当时英国的曼彻斯特电算中心（Manchester Computer Center，简称 MCC）便根据 0.12 版核心程序制作了一套名为 MCC Imterin的安装套件。随后各地的安装套件有如雨后春笋般地出现；如美国德州 Dave Safford 的 TAMU （Texas A&M University）版、Martin Junius 的 MJ 版、Peter McDonald的 SLS（Softlanding Linux Sustem）版等非商业安装套件的出现。在安装需求日增的情况下，Linux 安装套件创造出了一块新的需求市场。这一线商机，让非商业安装套件的也开始出现在商业市场上。Slackware 大概可算是最早出现的商业安装套件了。到如今，商业与非商业的安装套件则已多得数不清了。
随着使用人数激增，核心程序的版本与功能也开始加速演化，但仍不失于稳健。
1994年 3月 13 日，核心程序 1.0正式发表。其安装套件在功能上的整合已急起直追当时商业版的 UNIX OS. 此时的 Linux OS 已拥有数十万名使用者。当时赫尔辛基大学还以此为由举办了一场名为"Linux首度正式发表会". 就在芬兰电视台与众多传媒的郑重其事的报导下，Torvalds成了芬兰人的自豪，Linux OS宛如刚诞生的" 超新星" ，闪闪发亮地展现在众人眼前。
早期的 Linux核心程序曾被 Andrew Tanenbaum 指出，过度紧密地与 x86处理器结合，所以他认为 Linux核心程序将无法移植到别的处理器上。这点显然与UNIX OS 的可移植性大不相同。当时的情况的确是如此，这或多或少与Torvalds本人受限于拥有的硬件资源有关。
但当 Linux的使用族群拓展开来之后，便开始有人主动地将她移植到不同的平台上。像 Dave Miller即以不下于Torvalds狂热与学习精神将 Linux成功地移植到 SUN的 SPARC工作站上。
此外如 Amiga、Atari 、PowerPc 、MIPS R4000也陆续见到 Linux的身影。
这些移植严格地从技术的角度来看，仅能说是" 个案".但这已激发 Torvalds 的兴趣。
真正撼动 Linux核心的移植是对 Alpha处理器。
1994年 5月，在 DEC使用者协会上，Digital 的工程师 John Hall（外号Maddog） 碰上了 Torvalds ，双方一见如故。Maddog力劝 Torvalds 将Linux 移植到 Alpha芯片上，并主动提供了一台 Alpha 计算机供 Torvalds 研究使用。当年可说是全世界最快的 64-bits Alpha芯片是 DEC引以为豪的一项成就，其架构与功能均优越过同一时期的 Intel 32-bits处理器。这种技术性的挑战吸引了 Torvalds 的投入。这项移植，但这对原先以 x86微处理器为写作基础的 Linux核心程序而言，实在不是一件小工程。在 Torvalds 与 DEC相关人员的将近一年奋战后，Linux 核心程序脱胎换骨，成功地移植到 Alpha处理器上（与 x86处理器使用同一套程序代码）。1995年 3月，被戏谑是 Linux'95 的1.2 版核心程序正式发表，支持Intel x86 、DEC Alpha 、SUN SPARC 、MIPS等处理器。
1996年 6月，核心程序版本由 1.3直接跃升为 2.0版。Torvalds本人正式钦定了一只" 企鹅" 作为 Linux的标志。同时也开始支持对称式多重处理器（Symmetric Multi-Processing，简称 SMP）架构的计算机；而支持的处理器则又多了 Motorola 68k 和 PowerPc. 在自由软件团体们的努力与计算机产业业界的支持投入之下，Linux 具备的功能逼近商业版 UNIX OS. 当然，Linux 要达到" 成熟" 与" 稳定" ，实际上还有好长的一段路要走。
时至今日，散播在全球各地的 Linux虚拟发展团体，仍旧持续地发展中。能维持到什么时候？这在将来的历史自有答案。但至少在现今，一个 RMS奋斗的目标——可自由分享程序代码的操作系统，已可贵地呈现在我们的眼前。
备注：*5 Minix是 Andrew Tanenbaum 教授为教学目的而撰写的操作系统。
在教育界可算是一套学习 UNIX 基础的好范本。
新文明世纪自由共享
到此，这一段关于 UNIX 发展的文字，已从过去的历史当中走回到了今日…
… 21 世纪的今日。本文也接近尾声了。请诸位原谅农夫将以极为自身的历史感受，来作为本文的结语。
阅读与探究历史，是农夫个人在年轻时即有的一点小癖好。通常我无法忍受对自己喜好事物的缘由一无所知。所以我会想办法去探究她由谁所创、因何而生与发展的沿革。也正因为如此，我才会为 UNIX 这个当初我没能在英文字典上找的怪字，写了这么一篇文字。
然而在 UNIX 的发展过程当中，我惊讶地发现了一项有别于我探索 20 世纪历史的东西。
我相信诸君应该清楚，20世纪是人类文明史上最为血腥残暴的一段岁月。在其间，多数民族的上个世代所遭逢的苦难，都是空前的。哲学家柏林（Isaiah Berlin ）回顾 20 世纪的感受，说了以下这样的一段话。
「我的一生——我一定得这么说一句——经历了二十世纪，却不曾遭逢个人苦难。
然而在我的记忆之中，它却是西方史上最可怕的一个世纪。」
在 1957 年 10 月，前苏联发射了第一枚人造卫星，此举让当时的美国总统艾森豪威尔决定投下巨额的经费用以支持及发展科学，美国高等研究计划署（ARPA，Advanced Research Projects Agency ）便是在这个时空下设立了，该单位负责推动系统发展等相关计划，成为当时美国电子计算器发展的重要推手。
1960年代是大型计算机的发展年代，当时的麻省理工学院因最先实现了兼容分时系统（CTSS， Compatible Time-Sharing System），在电子计算器领域享有相当崇高的地位。
1963年，麻省理工的里克莱德（J. C. R. Licklider，1915~1990 ）
推动了 MAC计划，MAC 以 IBM的大型计算机做为主体，连接了将近 160台终端机，这些终端机就四散在学区以及教职员的家中，可以让 30 位使用者同时共享计算机资源。这项计划到了 1965 年便不堪负荷，于是麻省理工便决定开发更大型的分时计算机系统。新的计划便是—— MULTICS. 一个计算机
史上最为庞大的分时计算机系统，企图连接 1000 部终端机，支持 300位使用者同时上线的分时计算机系统。她面临的是，操作系统的分时观念还在各学术与研究机构探索成形中，计算机硬件亦需重新设计的双重挑战。
当时，麻省理工原本找 IBM来配合这项计划，但 IBM正忙着应付自己的问题而无意配合MULTICS 计划。此时，通用电子公司（General Electric Company）
也就是奇异公司正好在发展自己的大型主机，见机不可失，便极力邀请麻省理工参予她们的 GE 645 大型主机的规格制定。有了奇异热心主动的计算机硬件配合，麻省理工找上的不能贩售计算机却人才济济的贝尔电话实验室来负责承包软件工程。于是乎，MULTICS 的计划便在 1965 年由麻省理工学院、奇异公司及贝尔电话实验室这三个成员开始共同发展。
1969年，MULTICS 计划在历经四年的奋战后，仍旧未达到原先规划设计的理想，贝尔电话实验室决定退出计划。功能未达原始设计理想的 MULTICS还是安装在奇异公司的 GE 645 大型计算机上供麻省理工使用。奇异公司在该计划草草结束后不到一年便完全淡出大型计算机市场。日后，MULTICS 计划被嘲解为Many Unnecessarily Large Table In Core Simultaneously.
农夫我个人认为， MULTICS计划诞生在大型计算机将开始鼎沸的 1965 年，夭折于大型计算机最为辉煌的 1969 年。她如果适时在 1960 年代末期成功的话，绝对可以助长当时已经普遍被计算机权威人士视为理想的「计算机公用事业」，至少可以让大型计算机的发展与资源集中的应用模式就不至于会在 1970 年代初期就迅速萎缩。因为 MULTICS计划如果成功，至少能让当时的大型计算机的应用规模大上 10 倍左右。然而，MULTICS 计划失败了。她严重地打击了当时依赖大型计算机主机的计算机公用事业业者在发展上的信心。更由于没有相似的计划后继进行，使得集中式的大型计算机主机没有明显的使用效能提升，而加速催化计算器工业的转变，以寻找新的道路。另一方面，MULTICS 计划失败的经验亦让当时参与该计划的软件工程师们得到相当宝贵的经验与正面的影响。
几年后，就在 AT&T ，MULTICS 计划这个不同凡响的失败换来的一个不同凡响的成功。
一个戏谑她的名字诞生了…… UNIX.
Ken_Thompso
Dennis_Ritchie
一个游戏的开始
1969年贝尔实验室的计算器科学研究中心（Computing Science Research Center ）
成员退出 MULTICS计划的同时，贝尔实验室本身其实也没有一套完善便利的交谈式计算器服务环境。在其中不少工程师们也正为了改善程序设计环境努力着， Ken Thompson 、Dennis Ritchie和其同事们在当时草拟一个新的档案系统架构，这个档案系统也就是早期的 UNIX 操作系统的档案系统的前身。当时的 Ken Thompson 忙着使用 Fortran语言将原本在 Multics系统中开发的game叫 "Space Travel" （太空旅游）转移到 GECOS System 上开发。 当时 GECOS System大型计算机的CPU Time相当昂贵（一秒要 75 块美金），同时控制 "spaceship"（宇宙飞船） 的效果不甚理想，于是 Ken Thompson 不得不寻找替代的开发环境。Thompson看上了一台很少被人使用的 Digital Equipment Corporation PDP-7 迷你计算机，当时 PDP-7使用的是 Graphic-II 显示器，具有不错的图形处理能力。 Brian kernighan 于是 Ken Thompson 便与 Dennis Ritchie 连手将程序设计转移到 PDP-7型计算机上。
Ken Thompson在移转工作环境的同时为了得到较好的发展环境，便与Dennis Ritchie共同动手设计一套包含 File System、Process Subsystem 及一小组 Utility的操作系统，当时这套系统仅能支持 2个使用者使用。由于贝尔实验室对于 MULTICS计划失败的阴霾还未消散， Brian Kernighan这位仁兄开玩笑地戏称这套新的操作系统为 UNiplexed Information and Computing System，缩写为 UNICS，之后大家取谐音便叫她为 "UNIX" ，没想到这个开玩笑的名字会被人叫到今天。
初期的自由发展
事实上该套 "UNIX" 系统在当时仅是私下的被使用，也并没有得到多大的重视，一直到1971年的一个正式的计划，UNIX才正式被搬上台面。
PDP-11/201970 年，当时贝尔实验室的专利部门（Patent department ）缺乏一套文书处理系统，为了设计开发的需要，于是买了一台 PDP-11 计算机。当时 PDP-11 计算机的交机过程并不顺利，处理器先到，硬盘则多等了好几个月。
当 PDP-11 一切准备妥当后，他们便将 UNIX 移植到拥有 512K bytes 硬盘的PDP-11/20 型计算机上，并在此系统之下开发了一套文书处理工具。而这套工具便是后来 nroff / troff的前身。那时的 UNIX 提供 16K bytes给系统、8K bytes给使用程序，档案最大的极限是 64K bytes. 而此套含有文书处理工具的系统，也正式获得贝尔实验室的专利部门采用，系统名称并被编为 "First Edition". 在 UNIX 移植成功后 Thompson 用 B语言为它添加了 Fortran Compiler，但因为 B语言属于一种解译语言（interpretive language ），执行成效并不是很好，于是 Ritchie又将它—— Compiler 发展成可产生机器码、允许定义数据形态及结构，Ritchie 称它为 C语言。1973年并以 C语言改写全部UNIX原始程序，UNIX于是首度出现正式版本——V5（第五版）。
此时的 UNIX 慢慢地在贝尔实验室内部蔓延开来，装机数也变成了 25 部之多。
由于当时的贝尔实验室实际上是掌控在美国电信电话公司（AT&T）及其子公司西方电器公司的手上，实验室主要是负责研究改进西方电器公司制造的和美国电信电话公司在贝尔系统中使用的电信设备。同时根据军方合同，从事与国防有关的研究与改进的工作。而 AT&T 本身由于有反托拉斯法的限制并不能从事于任何有关计算机方面的销售，所以 AT&T 的主管阶层们对于当时 UNIX 的发展并没有太多的支持，因而当时贝尔实验室内部对于 UNIX 的发展并不是相当在意也无意于将之推广。不过为了应付实验室内各部门日益增加的 UNIX 使用者与相关技术支持需求，还是成立了 UNIX ystem Group （简称 USG）。但该组织也仅只是提供技术上的支持，并未赋予继续发展的任务。所以当时的 UNIX 发展，全靠AT&T的工程师们的努力。这段期间 UNIX 的发展完全没有组织及系统性可言，而玩家尽是一些工程师们，于是乎种下了 UNIX 日后较难以被一般人所接受的命运。
走出贝尔实验室
1974年 Thompson 与 Ritchie共同在 Communications of the ACM发表了一篇 UNIX 论文 "UNIX Time-Sharing System" 得到相当大的回响。 1975 年 UNIX 发表第六版（V6）﹐其提供的强大功能更胜过当时昂贵大计算机的操作系统，其最大特点是以高级语言写成，仅需要做少部份程序的修改便可移植到不同的计算机平台上。 UNIX V6版本并附有完整的程序原始码在 1976 年正式从贝尔实验室内部传播到各大学及研究机构，UC Berkeley 也就是依据这个版本开始研究并加以发展，并在 1977 年发表 1 BSD（1st Berkeley Software Distribution）版本的 UNIX OS，其后续的发展更为 UNIX OS贡献良多且影响深远，此点稍后再为你说明。
同年 UNIX 因它提供良好程序发展环境、网络传输服务与及时服务（Real-Time Services），而广得各电话公司采用。Interactive System Corporation更因 Value Added Reseller （VAR ）运用 UNIX 来强化办公室自动化环境，成为第一家应用UNIX操作系统的公司。此年UNIX亦被修改并第一次装到 Interdata 8/32 型计算机上。这也是 UNIX 操作系统首次安装在非 PDP型的计算机上。自此 UNIX 系统开始被移植改装到各型微处理机及新计算机上
一个稳定的基石
1978年 UNIX 发表对今日影响最重大的 UNIX 第七版（UNIX Time-Sharing System，Seventh Edition ）也就是 V7.此版本包含 Fortran 77 compiler、Shell （只有Bourne Shell）、文件处理工具（nroff/troff 、roff、 MS mocro等）、UNIX-to-UNIX-file-Copy（用来支持两台 UNIX 机器间的档案传输）、数据处理工具（AWK 、SED 等强悍的工具）、除错工具（ADB ）、程序发展工具（MAKE）、Lexical analyzer generator（LEX 、YACC等）、简单的绘图工具、并支持 C语言及 LINT verifier，主要执行于 PDP-11 及Interdata 8/32型计算机上。在当时那个年代来说其系统的架构与功能已经是相当的完备的了。Bourne Shell的原作者称她为 "improvement over all preceding and following Unices" ，在今日也有人称这个版本是 "last true Unix".由此可见 V7 在 UNIX 发展里程上的扮演了相当重要的盘石角色。
在当时 DEC公司推出了一款 32-bit supermini 主机—— VAX，搭配的 VAX的操作系统叫做 VMS. 这款迷你级计算机的硬件无可挑剔〈直到今日她的稳定度仍是被诸多老一辈的系统管理者所赞许的〉，但 DEC对 VMS操作系统的支持性却让贝尔实验室的工程师们宁愿使用UNIX OS . 而这项工作则是由 John Reiser和Tom London所共同完成。他们以 V7 为基础转移 UNIX OS到 VAX计算机上使用。
这个版本被称为 UNIX V32.同时为了转移的方便性，他们把 32-bit 的 VAX当成是大一点的 PDP-11 （因为 DEC 的 PDF-11 型计算机是 16-bit ），同时为了执行的效率，V32 放弃使用 VAX硬件提供的一项 paging 功能（DEC 的 VMS OS 有支持 paging 功能，也由于 V32舍弃这项功能，所以 V32没有虚拟内存的功能）。
即使是如此，V32 支持的地址已高达 4Gb. 就这样没有支持paging功能的 V32开始被广泛的安装在 VAX的机器上运作。
DEC 则是在 1984 年左右推出来自己的 UNIX OS，叫做 ULTRIX.
一个重要的延续及发展—— BSD UNIX
时间回到 1973 年 11 月， Ken Thompson 和 Dennis Ritchie 在印第安纳Purdue大学的一场操作系统原理的座谈会。会场上、坐着一位柏克莱大学（U.C. Berkeley ）教授，名字叫 Bob Fabry. 当天的 K&R所发表的 UNIX 立刻引发 Bob Fabry的极度兴趣。当时的柏克莱还是处在使用大型计算机主机、批次执行程序的阶段，并没有像 UNIX 这样的交谈式作业环境。会后，他便决定将UNIX带回柏克莱。
于是柏克莱的计算器科学、数学与统计三个系所合买的一台 PDP-11/45，准备用来迎接UNIX.1974 年 1月，Bell Labs寄来了一卷 V4 的磁带，学生 Keith Standiford 便开始进行安装 V4 的工作。安装时 Standiford 碰到了问题，便转向 Bell Labs求援。人在新泽西州的 Thompson 便透过柏克莱这端速度只有300-baud的调制解调器在在线进行侦错。
在 UNIX 的发展史上，这是 Bell Labs与柏克莱的第一次接触。
完成除错后，V4便顺利地在柏克莱这台新买的 PDP-11/45计算机上工作了。
当时这台是三个系所合买的，计算器科学好不容易装上了 UNIX ，却碰到数学与统计系所要使用 DEC's RSTS system，所以在一阵协调后，UNIX与 DEC's RSTS system以 8：16小时的比例分配，供三个系所轮流使用。一段时日后，具交谈式功能的 UNIX 在效能上的表现得到绝多数学生们喜爱，纷纷将自己的计划转向UNIX的时段。而一天占了 16 个小时的批处理时段却乏人问津。
当时 Eugene Wong与 Michael Stonebraker教授，看上了 UNIX 提供的便利性，便打算将他们的 INGRES 数据库计划重原先批处理的计算机环境转移到UNIX系统上面。在 1974 年，他们为这执行计划添购了一台新的 PDP-11/40 计算机，上面安装了 V5.这个计划也就是柏克莱的第一个将作业环境转移到UNIX的案子。
UNIX作业环境的需求，在柏克莱迅速地成长。为了应付需求，Michael Stonebraker 与Bob Fabry 教授决定再申请购买两台 PDP-11/45. 1975年初，DEC 推出 PDP-11/70，价格差不多等于两台 PDP-11/45，但功能强过 PDP-11/45 所以他们便决定改购买一台 PDP-11/70.
这台机器引来了 Ken Thompson 、碰上 Bill Joy 以及日后产生了 1BSD.她就宛如是一块 UNIX 史上的地标，沿袭自 Bell Labs，竖立在柏克莱，承先启后并开创新局。农夫个人认为，她应该被供在博物馆。
当这台机器在 1975 年终运达柏克莱时；同一时间，Thompson受邀回母校（柏克莱）当客座教授，科目就是 NIX.Thompson 在校期间与 Jeff Schriebman和 Bob Kridle 一起动手将新版的 V6 安装在 PDP-11/70.
Bill Joy1975年，一位密执安州大学的毕业生来到了柏克莱，他的名字就是Bill Joy. 当时 Joy和同学 Chuck Haley （tar 就是他写的）喜欢一起泡在计算机房里面，Thompson也时常插上一脚。他们成功地改善了 Pascal 的解译与侦错的能力，同时还提升了解译与执行的速度。另外换装上 ADM-3的屏幕后，他们觉得ed文字编辑指令并不合用；于是根据另外一个相似的 em 指令，发展了自己的觉得满意的文字编辑工具，也就是指令 ex.
1976年夏天，Thompson结束了他的休假回到 Bell Labs. 此时的 Joy和Haley 已经开始着手探索 UNIX kernal，甚至还做了一些修改。1977年初，Joy 制作了一卷磁带，上头写着"Berkeley Software Distribution." ，这就是 1BSD. 其中包含新的 Pascal compiler与 ex 编辑器。
次年，来了几台新屏幕—— ADM-3a ，这种屏幕支持光标地址显示，Joy 在这种屏幕上完成了有人爱不释手；有人恨之入骨的文字编辑器—— vi.接着不久，Joy 便发现一个问题，老旧的屏幕装备，还是会被用在其它的计算机上。为了支持上的方便，Joy 针对此现象设计了一个接口，用来管理、支持不同的屏幕装备。
这个接口就是现在的 termcap.1978 年中，包含了功能加强的 Pascal 与 vi 及termcap 的 "Second Berkeley Software Distribution ，" 也就是 2BSD ，迅速的取代了原先版本。
1979年，至少有 75 部 PDP-11 的机器上安装 2BSD 在运作着。自此在 DEC PDP-11 系列上执行的 BSD版本便一直以 2.xBSD 作为识别。
由于 PDP-11 计算机实在相当长寿，持续到今日农夫我仍然在网络上发现过关于PDP 计算机的网站。似乎到今日它们仍旧在某些地方默默地工作着。
2.xBSD最近的一次改版是在 1987 年，使用 4.3 BSD为主架构改写，版本定为 2.10 BSD.
在 BSD UNIX 中登场的重要功能当中，有一个直到今日仍然叫人又爱又恨的指令– vi.我接触过不少学习 UNIX OS的人，大部分的人对 vi 的使用与掌握都不算顺手，其中恨死这个指令的也大有人在，前些日子农夫我还看到某个网站公开讨论起 vi 是否阻碍了 UNIX 的发展？实在夸张了一点！
Bill Joy多次公开地说，他要是知道 vi 会如此受" 欢迎" 的话，他宁愿当初没有写 vi 这只程序。不过 Bill Joy 也说过，当时他原本还想加入一项 Multiple Windows in vi 的功能，不过当他在写这部分程序的时候，磁带机坏了，所以Bill只好在没有备份的情况下继续工作，想不到" 屋漏偏逢连夜雨" ，程序写到一半，他使用的硬盘也跟着挂了。在无可挽救又没有备份磁带的情况下，Bill宣告放弃为 vi 增加 Multiple Windows 这项功能。事后 Bill 为前一版的 vi 写好使用说明后就继续作其它的事。所以 vi 就长成今天那付德性。农夫我认为这或许是福不是祸！搞不好当初要是连 Multiple Windows 这项功能一起发表的话，上头的图可能就是遗照了。
当时有位 Richard Fateman教授，原先使用一台 PDP-10 上进行着他的Macsyma 研究计划。但他需要更大的内存地址来执行程序，所以在 1978 年初，他看上了当时迪吉多新发表的 VAX-11/780.好不容易，他联合了其它的部门才凑足购买 VAX的经费。刚开始时，机器原本安装的是 VMS操作系统。不过别的成员要执行 UNIX 操作系统，于是 Fateman安装上了 V32. 但问题来了，V32 并不支持虚拟内存，Fateman 便找上了 Domenico Ferrari 教授，希望他与他的研究小组能为 UNIX 加上这项功能。当时一位学生叫 Ozalp Babaoglu ，他想到了一些解决的方法似乎可行，但因为牵涉到 VAX硬件与 UNIX kernal的问题，于是他找上了 Joy帮忙。
就在只有一台 VAX的状况下，他们努力奋战着。1979年 1月，在 VAX上支持虚拟内存的UNIX版本终于诞生，V32 从此走入历史。紧接着 Peter Kessler与 Marshall Kirk McKusick 为他加上了Pascal；Joy 则动手将 2BSD 上的 ex、vi、C shell 等工具转移了过来。这个版本就是 3BSD.一个首次支持虚拟内存、demand paging 和 page eplacement 的 UNIX OS.
UNIX与 DARPA交会
1970年代末，美国国防部先进研究计划机构（Defense Advanced Research Projects Agency ——简称 DARPA）正在为 AI （Artificial Intelligence ），VLSI及计算器视觉等研究（vision research ）找寻一个可共通作业的计算机环境。硬件方面的首选是迪吉多的 VAX主机。配合的操作系统是 VMS. 这样的组合因拥有相当接近 DARPA 需求的功能被列入优先的考量，但在 DARPA与 DEC商谈对于 VMS的支持事宜之后，DARPA 并没有得到满意的答案。这迫使他们考虑朝向UNIX发展。但当时 UNIX OS（指的就是32V ）搭配 VAX，最大的缺憾就是没有支持虚拟内存；但此时已经有人克服了。
当时，Bob Fabry 教授写了一份建议书给 DARPA，建议他们以柏克莱支持虚拟内存的 3BSD 为基础，发展成为计划所需。这份企划书引起了 DARPA的高度兴趣。随后 3BSD 也实际获得了 DARPA相关计划成员们的良好风评，也因此最后柏克莱大学打败了卡奈基梅隆大学与 BBN（Bolt Baranek & Newman ， Inc. ），让 Bob Fabry成功地获得了 DARPA的资助合约。这份合约开始于 1980 年 4月，为期 18 月。此后的 DARPA便以 UNIX OS为标准操作系统。 Bob Fabry 教授在取得 DARPA合约后，依约成立了一个支持机构，也就是 Computer Systems Research Group简称 CSRG.Bob Fabry找上了 Bill Joy 来负责软件开发。Joy 迅速地以先前的 3BSD 为基础，整合新的功能。如 Job Contro l （作者是 Jim Kulp ）、auto reboot 、1K block file system. 同时也整合入Pascal compiler 、Franz Lisp system、enhanced mail handling system.这就是在 1980 年所发表的 4BSD.没多久她便被安装在将近 500台VAX 上。
DARPA 采用了这个版本作为当时 DARPA的标准 UNIX 操作系统。
树大招风，当时，有位在 Stanford Research Institute的仁兄叫 David Kashtan，写了一份关于 VMS与 BSD UNIX在 VAX上的执行效率评估。该份报告指出 BSD UNIX 在效率上不如 VMS来的好。Joy 知道这件事之后，花了不到一个星期的时间，重新调整 UNIX kernal. 然后也写了一份报告，证明他们的BSD 在 VAX上要比 VMS优越多多。 1981年 6月，这个 Joy调整过的系统，加上了 Robert Elz 写的 auto configuration ，以 4.1BSD 的版本发表了。
当时的 DARPA对柏克莱 4.1BSD 的表现相当满意，于是续签了两年的新约，金额更是先前合约的 5倍。其中有一半的金额用在资助柏克莱继续发展 BSD UNIX . 钱多的相对代价就是要求高。当时，DARPA 对 UNIX 的期望开出了明确的目标；更迅速、更有效率的档案系统、支持程序可执行地址达 multi-gigabyte 、提供弹性的解译沟通能力、具整合支持网络能力。
在此同时，为了达到计划的目标，DARPA 成立的一个指导委员会；主要的成员有柏克莱的 Bob Fabry， Bill Joy ，Sam Leffler 、BBN 公司的 Alan Nemeth and Rob Gurwitz、贝尔实验室的 Dennis Ritchie 、史丹佛大学的 Keith Lantz、卡内基。梅伦大学 Rick Rashid、麻省理工学院 Bert Halstead、信息科学协会 Dan Lynch、DARPA 的 Duane Adams and Bob Baker以及加州。洛杉矶大学的 Jerry Popek.
不久，Joy 便开始整合早先 BBN的 Rob Gurwitz所发表的 TCP/IP protocols ，不过他对 BBN这些程序的执行效率并不满意，于是 Joy与 Sam Leffler重新写的一版自己的程序。
另外，并加入了一些支持网络的工具 rcp，rsh ， rlogin ，rwho. 他们称她为 4.1aBSD，这个版本并没有正式发表，在1982年 4月开始供内部使用。虽是如此，在 4.2BSD 未正式发表之前，她还是繁殖的到处都是。6 月， 4.1aBSD kernal加上了新完成的档案系统，版本更新为 4.1bBSD.
rcp ， rsh， rlogin ， rwho 这群指令。因安全机制上的理由，逐渐被另一群新的指令群所取代，新的指令群叫 SSH（Secure Shell）。SHH 相关网址（http://www.ssh.org）。
1982年的春季末，已厌倦了在柏克莱环境的 Bill Joy ，答应受邀加入当年刚创办的 Sun Microsystems ， Inc. ，成为 SUN的第四号创办人。那年的整个夏季他就在两地奔走。之后他对修改中的弹性解译沟通机制及改写 UNIX kernal到一个段落之后，由 Leffler接手了他的工作。由于合约期限的因素，Leffler 在1983年 4月发表了 4.1cBSD，提供给参予 DARPA各项相关计划的成员试用。6 月，DARPA 的指导委员会第二次会议招开，验收与检讨最新版的 BSD 成果。继续整合 UNIX 系统的 Leffler，在 1983 年 8月，发表了 4.2BSD.她达到了DARPA 的预定的需求；足以应付 CAD/CAM影像处理与 AI 研究的高速的档案系统及扩展强化的虚拟内存功能；提供能分散处理的解译沟通机制；支持56-Kbit 的 ARPA Internet网络连结，以及 10-Mbit/s Ethernet 的局域网络；还有经过重组架构已模块化的 kernal code ，提供更有效率的计算机平台移植。
SUN 以生产 RISC 架构的工作站计算机为主，使用的正是以 BSD为基础所的UNIX OS.在当时以不逊色于大型计算机的多人多任务、具网络沟通功能的UNIX OS 、加上价格低廉的硬件（相对于 mini 级计算机而言），广获得工程界的青睐，而mini级大计算机的命运自此注定开始逐渐式微。计算机软件的应用因为有了网络于是也开始朝向 Client-Server的架构发展。
1982年，SUN 有了自己的操作系统—— SunOS 1.0——承袭自 4.1BSD.一直到 1990 年11月，发表 SunOS 4.1.1 版同时冠上 Solaris 1.0时，SUN 才算开始向 System V 版本靠拢。
SunOS 4.1.1 可算是以 BSD为主体再附加上 System V 工具的 UNIX 混血儿。但这其实是个商业考量的过渡性做法（后文会加以说明）。
而 SunOS 4.1.x版的字眼也仅延续到 1994 年的 SunOS 4.1.4为止，她后继的版本是 Solaris 1.3. 真正延续到今日的 Solaris版本，则是始于 1992 年 7月的Solaris 2.0 （SUN OS 5.0）。
在商业有所成就的 SUN Microsystems 对 UNIX OS的发展倒也做了些重大贡献；如 1984 年发表的 NFS（Network File System ）与其后在 1986 年发表的PC- NFS.
商业化的不平坦历程—— UNIX 版本的战争
UNIX商业化实质上即意味着将产生各种独立化的 UNIX 版本，这点大概是最显而易见的事实。如果以商品要具备独特性与独占性的利益来做考量的话，其实一点也不意外。因此 UNIX 开始衍生的相当多的版本。这种现象，对使用者以开发应用程序的厂商而言，已经造成了某成程度上困惑。然而，一种无所适从的无力感其实才刚开始。
1984年 1月 1日， AT&T 这个拥有 1495 亿美元资产、1 ，009 ，000 位员工的庞大巨兽，终于被格林法官（Harold H. Greene）以反扥拉斯法（antitrust ） 强制拆解成七家 RBOCs（Regional Bell Operating Companies ） . AT&T 也因而在一夕间解体成为区域性网络公司，从此失去了长途电话的垄断性地位。这种时空的转变让 AT&T 对 UNIX 的态度有了 180度的转变（其实，农夫我指的是收费的态度）。
先前已经提过 70 年代初期的 AT&T ，已经在长途电话市场上占有绝对垄断的优势，因而被美国政府的限制不得涉足与从事计算机与其它行业，也正因而造就了UNIX发展初期的自由开放。直到 1979 年，AT&T才宣布要将 UNIX 商业化的计划。1981年 11 月，AT&T属下的USG 发表了 System III.次年又更新为System IV.稍后于 1983 年，AT&T 将 CRG， USG合并成立了 UNIX System Development Lab. 一般简称为 USL，从其名称就不难清楚她将要扮演的角色。该年 System V 上市了。此时 AT&T 发觉每次版本更新都得花不少宣传费，实在不划算，所以决定在 System V 以后，名字就不再做变动了。1984年，System V Release 2发表，简称为 SVR2.在这个版本中，才终于看到来自 BSD 版本的 Virtual memory 功能，农夫我不得不惊叹 AT&T 的稳健作风。SVR3则是到了 1986 年才发表，随后 1987 年又发表了 SVR3.2.
1987年，在工作站市场上已占有一席之地的 SUN，找上了 AT&T ，打算将System V与 BSD这两大版本归为一统。 1988年初，双方更签订了合作合约，AT&T取得 SUN的一席董事，同时亦有权买下 SUN百分之二十的股份。这项合作计划，原本有机会整合当时版本纷乱的 UNIX OS. 但那是理想。实际上这个计划反而让 UNIX 族群里的其它成员恐慌万分，特别是 IBM、DEC 、HP这几个产业龙头。为了抵制这项行动，他们组织了一个反对联盟。因此「开放软件基金会」也就是 Open Software Foundation 简称 OSF在 1988 年正式诞生；成员除了前面的三巨头外，尚有多达三十几家计算机硬件制造厂商与系统咨询顾问公司，也相继以行动投入到此反对的行列中。然而 AT&T 与 SUN也不示弱地组织了 UNIX International ，也就是UNIX国际公司，成员数量虽然不比 OSF阵营来的多，但如果她是 Intel、 Toshiba 、Unisys、Motorola、Fujitsu ，这几个大块头，那也是很够看头的。
企业自身的利益在现实世界里始终是以个体的考量为优先，所以这两大阵营始终没能再达成任何共识，就连当时所制定的 UNIX 统一标准规格，严格来说也从不曾被实现过。这种企业利益上的冲突与矛盾其实也存在于同一个阵营中不同的成员之间。两大阵营对峙，可以说是 UNIX 有史以来最重大的产业冲突事件。
由于商业利益的政治考量大过技术问题的考量，也因此奠定了 UNIX 将继续分裂下去的命运。 AT&T 在 1989 年发表了 SVR4 ，SUN 在日后也将她的 SunOS 4.1. 1 开始冠上 Solaris的字眼，以行动靠拢 SVR4.OSF 则是在 1990 年发表了OSF/1.UNIX版本的问题因而更加混乱了。但有趣且可笑的是，开放系统——Open System ，这个双方都标榜的理念与观念却因此在计算机产业界引起了回响，这点倒是原先所始料未及的。
不久 AT&T 撤销了对 SUN的投资，同一个阵营的成员彼此也因而劳燕分飞。
USL 在 1991 年正式转变了一家独立的商业公司。但 UNIX 在商业市场上的价值却出现了变化……
让 UNIX 自由—— Networking Release 2
自从 UNIX 走出贝尔实验室后，研究机构与学术界就扮演了继承与发展的双重角色。在1979到 1984 年这段期间，UNIX的拥有者 AT&T ，对于学术界的授权政策尚可用「大方」来形容；同时也对学术界做某种程度的资助与合作。当时的学术界，得助于 AT&T 的大方授权与分享程序原始码，研习 UNIX 这个分时操作系统开始在学术界蔚为一股风气，甚至可以说是一种潮流或一种流行。其中，像柏克莱 BSD对 UNIX 的贡献，就是一个公开的事实。但早期的 BSD使用者，是必需向 AT&T 支付授权金的。这点，从产业界资助学术界的角度来看是一点也不值得惊讶的。因为资金的援助为了就是取得其成果。所以当时基于 AT&T 原始码所发展的成果，均归属 AT&T 所有。也因而 AT&T 掌控了 UNIX 的所有权。到了1984年以后，AT&T开始更积极地保护 UNIX 的原始码；AT&T甚至还要求各大学的使用人员签订保密条约，想藉此防堵 UNIX 的原始码从学术单位流出，以影响到商业利益。
在 DARPA资助柏克莱从事 BSD OS 发展的过程中，诞生了 TCP/IP 这项广泛影响现今计算机与因特网的通讯协议。由于 DARPA对于资助开发的软件项目有明文规定接受资助者必须无条件地释出程序的原始码，所以 TCP/IP 的原始码与程序的版权并不属于 AT&T 所有。这点在现今看来其意义是不凡的。也正因为有此一条件，柏克莱的 CSRG （Computer System Research Group）因应 BSD Vendors需求，在 1989 年 6月发表了 Networking Release 1 ，她包含了TCP/IP source code以及一些工具，提供给当时正开始起步发展的个人计算机制造业者使用。Networking Release 1 授权收费仅 1000 美元，而且不需要 T&T的商业授权，取而代之的是柏克莱大学的开放式授权。
农夫我看柏克莱授权方式，几乎可以说是一种良心式授权方式，在实质的运用上她完全没有限制。她允许原始码或执行档在任何情况下修改并且允许将修改后的程序从事商业行为而无须任何回馈，当然也没有绝对要求开发者必须要释出原始码。如果你改都不改地加以贩售，她也没有意见。但有一点不可违反的限制，就是必须在衍生物的版权声明上提到柏克莱的贡献。这种做法在日后，也没有多少改变，而这样的授权方式也成为了柏克莱的授权精神。
Keith Bostic由于 Networking Release 1 所得到的响应实在远超过 CSRG 成员的预估。
这个不算差的成果，让柏克莱的 CSRG 觉得有必要释出更多属于 BSD的程序原始码。于是激发 CSRG 的成员 Keith Bostic开始组织志愿工作者从事一项就算不能够惊天也足以动地的程序写作计划。计划的主要目的在当时还真让人感到有点" 乌扥邦".农夫我个人喜欢戏称她为「解放 UNIX 计划」。
Marshall Kirk McKusick这项计划大体上分成两个部分，操作系统工具（Utility ）
与核心（kernal）。而且参与人员必须在完全没有参考 AT&T UNIX source code的情况下进行撰写程序的工作。因为只有在这种条件下，写出来的程序代码，才能摆脱 AT&T 的着作权束缚。当然这也绝对不是一件容易的事。Keith Bostic四处奔走，组织了超过四百名热心的软件工程师，经过了长达十八个月的奋战之后，操作系统主要的工具与链接库才算改写完成。Marshall Kirk McKusick负责改写当时的核心程序。但系统核心的部分，由于长期以来柏克莱与 AT&T 一直就彼此分享 UNIX 原始码，所以各自所加上去的程序代码早已混杂难分了。为了彻底的厘清双方各自撰写的部分，他们下决心进行逐行比对。首先花了好几个月的时间，将核心程序每一行每一个档案都建立转换比对的数据库。然后接着进行移除来自 AT&T 32V 的程序代码并改写她们。即使是如此，仍旧有 6只程序让他们束手无策，因而无法将核心程序彻底完整地改写。最后，他们还是决定将他们所做的所有成果发表。授权的方式沿用 Networking Release 1 的授权方式，授权的磁带依旧是 1000 美金。这个版本就是 Networking Release 2 ，也有人称她为 4.3BSD NET/2.发表的时间在 1991 年 6月。虽然这是个不完整的操作系统。
但，在今日看来，却有着划时代的意义—— UNIX OS自由了。
谁是" 老大哥" ——侵权诉讼
AT&T的 USL在 1991 年正式转变了一家公司。当然，这意味着她将更重视UNIX在商业上的利益。当时的 UNIX OS早以称霸高阶的计算机市场；从 Cray 超级计算机、IBM 的大型计算机主机、迷你级计算机到工作站，均是 UNIX 的天下（这一点，直到现在21世纪，仍旧没有多大的改变）。即使在 80 年代中期后开始迅速发展的个人计算机，虽然当时被戏称为是玩具计算机，但也仍旧有像XENIX[注1]， Interactive UNIX[注2]等几种向 AT&T 缴过税的商业化版本。
UNIX简直就是 AT&T 的一棵摇钱树。
但这一切在 Networking Release 2 （以后简写为 Net/2）出现之后，起了变化！
首先，一位 i386 处理器的玩家名叫 Bill Jolitz，在拿到 Net/2之后，很快地就将 Net/2 kernal 缺少的程序补齐了。BSD kernal这时可算是大功告成了。
当时 Bill Jolitz将他们放在因特网与其它人共享他的原始码，并且得到了不少正面的响应。由于这个版本是使用在 i386 微处理器的个人计算机上，所以就命名为386BSD，在 1992 年 2月正式发表。这该算是 BSD首度功能完整且版权独立的版本。Bill Jolitz 是当时唯一的 kernal 维护者。在他离开这个计划之后，继起的 BSD玩家们延续了这个版本，日后衍生了 FreeBSD，然后又从其中分支出裂NetBSD版本。
另一个将 Net/2完整化的是一家叫 Berkeley Software Design ，Incorporated的公司，简称 BSDI[注3]. 由于 Net/2的版权声明中，宣称其源文件的合法性，并且允许使用者，从事衍生物的商业行为，所以 BSDI 将他们修改后的系统命名为 BSD/386. 他们并将成果打包，刊登广告以 995美金的售价贩售 BSD/386，而且含原始码，而且还提供免费服务电话的咨询，电号号码是"1-800-ITS-Unix". 时间大约是在 1992 年 1月。当时，USL 的 System V 含 source code的价格大约是 BSD/386价格的一百倍左右。这可惊动了老大哥 AT&T.并且正式地书面严重警告 BSDI 违反的注册商标法（电话号码里有Unix的字眼），并公开宣称 AT&T 拥有 UNIX 的注册商标。BSDI再次刊登广告公开反击 AT&T ，声明她的商业行为完全合法。果不期然，BSDI的博命演出让双方手牵手走上法庭。
AT&T的 USL控告 BSDI 剽窃他的 UNIX 原始码，要求法官还他公道。在听证会上，BSDI祭出早已准备好的法宝；自己在无任何 AT&T source code 的条件下写出的合法档案，以及来自于 BSD授权的 Net/2 source code. 前面的证据足以让 BSDI 立于不败之地，后者让 BSDI 置身在暴风圈外。BSDI的辨证获得了法官的采信。但 At&T 岂会就此罢手，他们将焦点转移到 Net/2的 BSD授权上面，并且重新提出控诉，被告的对象变成了 BSDI 与柏克莱大学；同时 AT&T 还申请法庭禁止 BSDI 一切的 BSD/386销售行为。就这样，柏克莱大学也对号入座了。
农夫我认为，毕竟 AT&T 是营利企业，她得维护她的商业利益，这点是天经地义的事。
虽然柏克莱大学与 AT&T 在 UNIX 发展上有着非比寻常的关系，但商业利益是现实的。企业资助学术界的研究计划，多半是基于商业上的考量；我相信，学术界的少数高层在寻求奥援时不会不明白这一点，即使这有可能让大部分的学术人士无法接受或不愿接受。不管如何，这一记醒棍倒再次挑起了这一点事实。
成为被告的柏克莱大学，只好无奈地面对这场无情的商业诉讼。但他们也同样不甘示弱地对 AT&T 的 Systerm V 着作权提出质疑，因为在 AT&T 的 UNIX 授权声明中完全没有提及柏克莱的贡献。所以柏克莱反控 AT&T 违反 BSD 的授权条款。柏克莱的反击让战况越演越烈，诉讼案一路从 AT&T 的老家新泽西州的联邦法庭打到柏克莱大学的所在地加州法院，但依旧没有结果。
到了 1993 年，官司还在进行中，但 AT&T 却已经打包 USL准备以一亿美元的价格找寻买主了。最后 AT&T 将 USL 以八千万美元代价的卖给了 Novell.而新买主也当仁不让地加入了这场混战。但却也因此，战况露出了一线平息的曙光。
诉讼案在 1994 年 1月宣告终结，以庭外和解收场。实际的协议内容仅有当事人知情。
如果从胜负的角度来看这场诉讼，或许柏克莱与 BSDI 是胜利的一方。但如果从UNIX发展的脚步来看这场诉讼，就可能根本没有任何一方是胜利者了。
事件平息后的 1994 年 6月，柏克莱的 CSRG 风光地发表了 BSD 4.4 Lite.在这个版本中，有 70 个档案引用的一份新修改的版权声明，阐述的 AT&T 与 BSD双方的贡献，并明确地给予档案自由散播的权利。但不知为何，应该有能力完整发表的 BSD 4.4 Lite 还是缺少了三的档案。当时，农夫我也很高兴地买了一本BSD4.4-Lite CD-ROM Companion ，含一张光盘，现在拿在手上，看来总觉得有点呆。
掌握 UNIX source code 以及 UNIX 商标的 Novell ，将 UNIX 商标交给X/open管理，自己则发展了一套命名为 UNIXWave 的操作系统。推出后市场的反应并不热络。不久，Novell与 SCO接头，在 SCO保证继续支持UNIXWare 的条件下，UNIX在 1995 年二次易主，新主人是SCO[注4].
备注：*1 Intel在 1978 年发表 4.77 MHz 的 8086 微处理器。1980年，Microsfot 便以 V7 为基础，发表了在微处理器（microprocessor-based computers）上执行的版本也就是 XENIX. 到了 1982 年，一家成立于 1979 年的软件公司 Santa Cruz Operation ，成为微软的合作开发厂商。之后她这家公司便一直致力于这个领域里延续到今日，缩写就是今日的 SCO.
*2 Interactive IS/1 （以 V6 为主体）。这个版本后来演化为比较让人熟知的名字—— Interactive UNIX. 后来因为 Sun Microsystems 致力发展 Solaris for X86，被财力雄厚的 Sun Microsystems 合并了，如今已经不见踪迹了。
*3就在我反复修改这段文稿的时候，BSDI这家公司已经被 Wind River 合并了，改名为iXsystems.2001/05/03
*4 2001 年 5月 4日，Caldera International ， Inc. 正式并购了 SCO的服务器软件部及SCO 专业服务部这两个部门，新的控股公司名为 Caldera， Inc
GNU 计划——开启了新大道
在 1983 年 9月 27 日，麻省理工学院人工智能实验室（MIT Artificial Intelligence Lab ）的 Richard M. Stallman（以下简称为 RMS），在net.unix-wizards以及net.usoft 的 newsgroups 贴上了一份标题为 "new UNIX implementation" 的讯息。这就是如今广为人知的 GNU计划的开始。在那则被视为「GNU 宣言」草稿的讯息中，RMS 阐述个人的理念与计划的目的——完成一个命名为 GNU的 "Free UNIX"操作系统，希望藉此寻唤理念想同者共襄盛举。
「如果我喜欢一个程序的话，那我就应该分享给其它喜欢这个程序的人」，这是RMS 的座右铭。此点也似乎正是促使其决心运作 GNU计划的原动力。当时的RMS 是想写出一套免费的操作系统。能够让每个人如空气般地自由的取得与使用。
选择“UNIX兼容”为设计的主要原因是；RMS 表明，UNIX并非他个人理想中的操作系统；他仅阅读一些相关数据，但未曾使用过（MIT 使用操作系统是"ITS——Incompatible Timesharing System"）；但他认为 UNIX 操作系统具有优良的本质特性。他相信如果 GUN与 UNIX 兼容将更容易令人接受。所以 RMS承袭 MIT用递归缩写字命名的传统为 GNU释译界定 Gnu is Not Unix.
1984年 1月，RMS 为了展开他的理想而决心离开已经待了十几年的 MIT AI Lab.。当他向他老板 Patrick Winston 辞职时，Winston 试图挽留地说：「你还是要辞职？」。RMS 不为所动的回答：「是」。Winston 显然得到预料中的答案，于是接着说出了思绪里关怀：「你想要保留你的钥匙吗？」。于是 RMS就从此开始专心地" 失业" 在他的老东家。一个人窝在他原来的旧办公室中，规划着如何开始他的 GNU计划。但想开发一套新的 UNIX 兼容的操作系统，即使是财力、人力资源雄厚的顶级计算机公司，也绝对不是一件说想做就能够做到的事。
当拟妥他的「GNU 宣言」之后，他正式向全世界呼唤、表明其将所为。种子落地了。
GNU 计划的第一只程序要算是孤军奋战的 RMS在 1984 年 9月开始撰写的Emacs 编辑器。
1985年初，Emacs 已进入可用的阶段。于是 RMS将她放在pre.ai.mit.edu这台机器的 FTP server 上，免费地让 amonymous的到访者自由下载使用。不久后，Emacs 强扞的功能引发了一些玩家们的注意，由于附上了 source code，玩家们能自己动手为它添加新的功能或除错，很快地，Emacs 获得了相当热烈的回响。随着名声渐播，开始有人相继地加入 GNU计划的程序写作阵营。" 此道不孤" 让 RMS倍感振奋与喜悦。
当时的因特网并未十分普及。所以有不少人虽然对 Emacs程序有兴趣，却没办法经由 FTP的管道取得，因而有人透过其它管道向 RMS询问能如何取得时，这可让当时处在失业状态的RMS 看到能够支持他继续奋战下去的资金来源——贩售" 自由软件".
一个人、一个独立的个人，要想在现实中实行自己的理念，最先得接受" 现实".唯有接收它是事实，实行理念的道路，才获得比较稳固的起点与开始。 ——网络农夫如是说。
想着、写着，脑中突然掠过一丝感受（所以顺便记录在这个地方）。不管如何，RMS 真的开始以一卷磁带 150 块美金的代价，服务有需要的人。也因为基于这个开始与基础，RMS 当年便创立了自由软件基金会—— Free Software Foundation（以后简称为FSF ）。这对GNU 计划而言，意味着它已跨越个人化理念的构思阶段，并进入了有群体组织化的运作阶段。
同时，RMS 也制定出了属于GNU 计划的软件版权。RMS 使用 "copyleft" 用来形容她，其实就是与着作版权（copyright ） " 对立" 之意。这也就是 GPL—— General Purpose License（通用公共授权）。
GNU 计划的种子，就这样生根发芽了。
从贩卖 GNU自由软件扩展到其它的相关软件与参考手册，提供软件技术支持，并接受计算机器材与资金的捐助（捐助者依法享有一定额度的减税），为企业代训软件人才。FSF 努力地开辟财源却仍旧是运作资金捉襟见肘。RMS 本人并不支薪。而FSF 聘请软件工程师的待遇，也仅是软件业界薪资水平的一半。但这绝不表示GNU 计划的软件水准是半桶水。GCC 编译器是 GNU计划在 1987 年 3月开始发表的免费编译器，当时的版本是 0.9测试版。如今最新的版本则是 3.0. 这个编译器可以说是今日自由软件写作的基石。GCC 所解译的机器码，其可靠度绝对不逊于商业化的编译器产品，甚至可以说是优越过商业编译器。
90年代初，GNU 计划暨已完成了质量与数量均十分可观的系统工具。这些工具被广泛的使用在当时各种工作站的 UNIX 系统上。虽然已有如此的成果，但仍称不上是完整的操作系统。他们缺少一支属于自己的" 核心程序（kernal）".
UNIX在 4.2BSD 之后，越写越大 kernal 开始带来一些不便与问题。因而当时便开始有另一个写作理念逐渐在发展——微核心（microkernal ）理念。
1985年，卡内基大学（Carnegie Mellon University简称 CMU）暨以 4.3BSD 为发展基础，将之一拆为二，分成 micro kernal 与 single server两个部分。
该计划的名称为"Mach". 这个计划成了微核心发展的技术先河。GNU 原本有意直接采用"Mach"计划的成果。但无奈，这一等，从80年代中等到了90年代初，在几经商量之后，他们打算采用微核心的写法，成立自己的计划，名称叫"Hurd". 这项计划，如今仍在奋战中，虽然 microkernal的做法让他们吃了不少苦头；但可喜的是，0.2 ， 0.3 测试版本已经发表。
直到 21 世纪的今日，RMS 依旧努力不懈地耕耘着他的梦土。尽管他本人认为还尚未完全地实现他的「GNU 宣言」；但他执着于理念的行动，已凝聚了相当数量的自由软件写作族群们，在这些人与群体的努力下，一条新的大道其实已经被开拓出来了，她通往一个新的世界。大道旁，枝叶已然繁茂的树荫下，可口果实一如礼物般地为所有的人成熟。人们称她—— Linux.
新世代的焦点—— Linux
1990年代中期，因特网因出现 World Wide Web ， HTML 这种新型态的应用，而开始迅速的延烧全世界。一夕间，架设因特网主机的需求激增。这时有一套可以免费取得，并且能让 x86计算机升格成 UNIX 级主机的免费操作系统，开始了吸引全世界目光。在传媒与计算机工程师们的竞相走告下成为了这个新世代的焦点，这个新的名字就是 Linux.
Linus Benedict Torvalds 当然，这套媒体吹捧的当红炸子鸡，可非一人之功，一夕即成的。Linux 是一套版权彻彻底底与 AT&T 无关的 UNIX-like OS.原始核心程序的创作者是芬兰籍的 Linus Benedict Torvalds（现今他仍旧是核心程序的维护者）。操作系统里大部分的系统工具，来自于 RMS行之多年的 GNU计划成果，以及其它的自由软件写作计划产生的软件，如 X Windows、KDE 、Gnome 等窗口接口。由于构成操作系统的主要部分均奉行 GPL 版权，所以市面上有相当多样的安装套件，目前较广为人知的有 RedHat 、Slackware 、SuSE、Debian GNU/Linux ……。也因此，这套操作系统，可说是包含了无数字自由软件写作者的共同心血。
如此的一套操作系统其实也就是 RMS多年来想要达成的宿愿—— "Free UNIX". 所以，RMS 本人总认为该将名称改做"GNU/Linux".因此，也有人用 GNU/Linux来称呼这个操作系统。
Torvalds打从十岁出头当他外公的" 键盘手" 开始，到了中学就已成了不折不扣的计算机迷。1990年，当他就读赫尔辛基大学（University of Helsinki） 信息系二年级，选修一门「C 语言与 UNIX 操作系统」的课程，因而疯狂地迷恋上了UNIX操作系统。那年正好赫尔辛基大学正好添购的一台 VAX，安装 Ultrix 操作系统。连接了 16 台终端机供授课师生使用。有所限制的计算机资源，对一位计算机迷来说是极痛苦忍受的。
Torvalds开始作梦想" 搞" 一套可以在自己计算机上跑的 UNIX.
1991年 1月，Torvalds利用 "学生贷款" 加上去年的 "耶诞红包" ，以分期付款方式买了一台 386 DX33 个人计算机（他的第三台计算机）。他选择安装的操作系统则是在学术界颇负盛名的 Minix[ 注5]. 在几番奋战下，就绪运作的 Minix OS 功能性却多方面无法满足Torvalds的需求，因而激发了他重头来的欲念。于是 Torvalds 在他的 386 DX33 上逐步探索并撰写出他自己的核心程序。他网络上释放的第一个版本是 1991 年 9月 17 日的 0.01 版。虽然她是个简陋的开始，但由于 Torvalds 本人持续维护与网友回馈贡献，原本一个人所撰写的核心程序竟在不知不觉中逐渐转化成 "虚拟团队" 的运作模式。
然而，一般计算机使用者，需要的是可安装运作的操作系统（农夫我习惯以" 安装套件" 称之），而非单一的操作系统核心。当时英国的曼彻斯特电算中心（Manchester Computer Center，简称 MCC）便根据 0.12 版核心程序制作了一套名为 MCC Imterin的安装套件。随后各地的安装套件有如雨后春笋般地出现；如美国德州 Dave Safford 的 TAMU （Texas A&M University）版、Martin Junius 的 MJ 版、Peter McDonald的 SLS（Softlanding Linux Sustem）版等非商业安装套件的出现。在安装需求日增的情况下，Linux 安装套件创造出了一块新的需求市场。这一线商机，让非商业安装套件的也开始出现在商业市场上。Slackware 大概可算是最早出现的商业安装套件了。到如今，商业与非商业的安装套件则已多得数不清了。
随着使用人数激增，核心程序的版本与功能也开始加速演化，但仍不失于稳健。
1994年 3月 13 日，核心程序 1.0正式发表。其安装套件在功能上的整合已急起直追当时商业版的 UNIX OS. 此时的 Linux OS 已拥有数十万名使用者。当时赫尔辛基大学还以此为由举办了一场名为"Linux首度正式发表会". 就在芬兰电视台与众多传媒的郑重其事的报导下，Torvalds成了芬兰人的自豪，Linux OS宛如刚诞生的" 超新星" ，闪闪发亮地展现在众人眼前。
早期的 Linux核心程序曾被 Andrew Tanenbaum 指出，过度紧密地与 x86处理器结合，所以他认为 Linux核心程序将无法移植到别的处理器上。这点显然与UNIX OS 的可移植性大不相同。当时的情况的确是如此，这或多或少与Torvalds本人受限于拥有的硬件资源有关。
但当 Linux的使用族群拓展开来之后，便开始有人主动地将她移植到不同的平台上。像 Dave Miller即以不下于Torvalds狂热与学习精神将 Linux成功地移植到 SUN的 SPARC工作站上。
此外如 Amiga、Atari 、PowerPc 、MIPS R4000也陆续见到 Linux的身影。
这些移植严格地从技术的角度来看，仅能说是" 个案".但这已激发 Torvalds 的兴趣。
真正撼动 Linux核心的移植是对 Alpha处理器。
1994年 5月，在 DEC使用者协会上，Digital 的工程师 John Hall（外号Maddog） 碰上了 Torvalds ，双方一见如故。Maddog力劝 Torvalds 将Linux 移植到 Alpha芯片上，并主动提供了一台 Alpha 计算机供 Torvalds 研究使用。当年可说是全世界最快的 64-bits Alpha芯片是 DEC引以为豪的一项成就，其架构与功能均优越过同一时期的 Intel 32-bits处理器。这种技术性的挑战吸引了 Torvalds 的投入。这项移植，但这对原先以 x86微处理器为写作基础的 Linux核心程序而言，实在不是一件小工程。在 Torvalds 与 DEC相关人员的将近一年奋战后，Linux 核心程序脱胎换骨，成功地移植到 Alpha处理器上（与 x86处理器使用同一套程序代码）。1995年 3月，被戏谑是 Linux'95 的1.2 版核心程序正式发表，支持Intel x86 、DEC Alpha 、SUN SPARC 、MIPS等处理器。
1996年 6月，核心程序版本由 1.3直接跃升为 2.0版。Torvalds本人正式钦定了一只" 企鹅" 作为 Linux的标志。同时也开始支持对称式多重处理器（Symmetric Multi-Processing，简称 SMP）架构的计算机；而支持的处理器则又多了 Motorola 68k 和 PowerPc. 在自由软件团体们的努力与计算机产业业界的支持投入之下，Linux 具备的功能逼近商业版 UNIX OS. 当然，Linux 要达到" 成熟" 与" 稳定" ，实际上还有好长的一段路要走。
时至今日，散播在全球各地的 Linux虚拟发展团体，仍旧持续地发展中。能维持到什么时候？这在将来的历史自有答案。但至少在现今，一个 RMS奋斗的目标——可自由分享程序代码的操作系统，已可贵地呈现在我们的眼前。
备注：*5 Minix是 Andrew Tanenbaum 教授为教学目的而撰写的操作系统。
在教育界可算是一套学习 UNIX 基础的好范本。
新文明世纪自由共享
到此，这一段关于 UNIX 发展的文字，已从过去的历史当中走回到了今日…
… 21 世纪的今日。本文也接近尾声了。请诸位原谅农夫将以极为自身的历史感受，来作为本文的结语。
阅读与探究历史，是农夫个人在年轻时即有的一点小癖好。通常我无法忍受对自己喜好事物的缘由一无所知。所以我会想办法去探究她由谁所创、因何而生与发展的沿革。也正因为如此，我才会为 UNIX 这个当初我没能在英文字典上找的怪字，写了这么一篇文字。
然而在 UNIX 的发展过程当中，我惊讶地发现了一项有别于我探索 20 世纪历史的东西。
我相信诸君应该清楚，20世纪是人类文明史上最为血腥残暴的一段岁月。在其间，多数民族的上个世代所遭逢的苦难，都是空前的。哲学家柏林（Isaiah Berlin ）回顾 20 世纪的感受，说了以下这样的一段话。
「我的一生——我一定得这么说一句——经历了二十世纪，却不曾遭逢个人苦难。
然而在我的记忆之中，它却是西方史上最可怕的一个世纪。」
2008年7月19日星期六
费尔马大定理：历经400年的浴火重生
法国人费尔马（Pierre de Fermat，1601-1665）是位律师，但他又是数学史上最伟大的业余数学家。以他名字命名的费尔马大定理已经有近400年的历史。有人认为，费尔马大定理是比哥德巴赫猜想更著名的世界数论难题。
1637年，费尔马阅读了希腊数学家丢番图（Diophontus）的《算术》一书。他在书中论述求解X2 + Y2 = Z2 一般解的章节时，信手在书的空白处，用笔写下这样的心得：“反过来说，不可能把一个立方数分拆为两个立方数的和；将一个4次幂写成两个4次幂之和。总的来说，不可能将一个高于 2次的幂写成两个同样次幂的和。我已发现了一个绝妙的证明，但因为空白太小，写不下了。”
我们知道，在直角三角形中，如果两条直角边的边长为 X和Y，斜边的边长为Z，则X2+Y2=Z2，这就是有名的勾股定理。如果直角三角形的三边的长都是整数，实质上便是勾股方程的整数解问题。满足到勾股方程的正整数（X，Y，Z）叫做勾股数组，例如(3，4，5，)、(5，12，13) 、(7，24，25)、（8，15，17）……等等都是基本勾股数组。
费尔马的结论是：当N>2时，Xn + Yn =Zn 没有正整数解。费尔马是否真的证出了这个结论，现在无从知晓，反正，后人没有见到过费尔马在别的地方写下这个结论的证明。300多年来，一个高中生就可以理解的定理，成了数学界最大的悬案。
这个问题吸引了很多优秀数学家和业余数学爱好者，法国科学院曾于1816年和1850年两次悬赏征解，德国也于1908年悬赏十万马克征解。应征者络绎不绝，但提出的解法都是错误的。长期来，人们既不能证明它，也未能否定它，只能对于许多给定的整数n来证明其成立。
其中，欧拉，18世纪最伟大的数学家之一，在那本特殊版本的《算术》中别的地方，发现费尔马隐蔽地描述了对4次幂的一个证明。欧拉将这个含糊不清的证明从细节上加以完善，并证明了3次幂的无解。但在他的突破之后，索非 热尔曼、勒让德、狄利克雷、加布里尔 拉梅等几个法国人再次取得突破时，距离费尔马写下那个定理已经过去了将近200年，而他们才仅仅又证明了5次幂和7次幂。
上一世纪50年代，我国著名数学家华罗庚在他的《数论导引》一书中写道：“所可言者，只于2小于n小于619时，此定理已经证明。即此甚微之结果，亦已耗却颇多数学家之脑汁矣。”但是，在打通这条道路途中，那些披荆斩棘的数学勇士们，表现出非凡的聪明才智，由费尔马大定理而引发的探索热情带动了整个数学的发展。由于对这一猜想的研究，促进了许多数论分支的发展，这在数学史上是绝无仅有的。费尔马大定理也被人们誉为“一只会下金蛋的鸡”。
历史的新转机发生在1986年夏，瑞波特证明了:费尔马大定理包含在“谷山丰-志村五郎猜想”之中。童年就痴迷于此的怀尔斯，闻此立刻潜心于书房七年，汇集了许多20世纪数论的突破性成果。1993年6月23日，在英国剑桥大学牛顿研究所的“世纪演讲”上，宣布证明了费尔马大定理。
不幸的是，数月后逐渐发现此证明有漏洞。这个证明体系是很多深奥数学推理连接着最现代的定理、事实和计算所组成的逻辑网络，任何一环节的问题都会导致前功尽弃。怀尔斯和他的团队几乎陷入了绝境。
1994年9月19日，怀尔斯在思维的闪电中突然找到了迷失的钥匙。怀尔斯的历史性长文“模椭圆曲线和费尔马大定理”1995年5月发表在美国《数学年刊》第142卷，实际占满了全卷，共五章，130页。
1997年6月27日，怀尔斯获得沃尔夫斯克勒10万马克悬赏大奖。怀尔斯现为普林斯顿大学数学系主任。
很显然，怀尔斯那冗长的、几百页的间接证明肯定不会是费尔马本人奇妙的证明，最多也只是怀尔斯和他的团队一次南辕北辙的探索。更可悲的是，他扼杀了费尔马大定理这只金鸡，而且这只金鸡是被活活折腾死的。
2007年9月，德国悬赏征解的百年大限刚过，恰逢我国教育部、科技部、中科院和国家自然科学基金会联合开展“10000个科学难题”征集活动。此次活动，拟向两院院士等科技精英征集各个领域的10000个科学难题，评审后结集出版。以提高我国自主创新能力；激励青年科技人员攻克科学难题；普及科学知识激发青少年热爱科学的兴趣，培养探索未知知识的好奇心。费尔马大定理获得了浴火重生的机遇。
近日，本人以国家自然科学基金会生物医学专家评审组组长的身份，向征集办公室提交了一份数学难题: “方程X3-Y3=1，无正整数和正分数解，幂指数为大于3的自然数时，亦然。”
这一命题来源于本人早年对费尔马大定理的研究。它是本人用数论方法来获证费尔马大定理的关键步骤之一。我将该题命名为“无锡横山数学猜想”。同时将方程表述成W3-H3=1。WH是无锡横山的拼音首码；更是英文Why(为什么？)和How(怎么干？)的缩写。
W3-H3=1的求证，必将撩开费尔马大定理奇妙证明的层层迷雾和陷阱。相信我国会有成千上万的青少年成功获证，进而真正得到费尔马本人所描述的那种绝妙的证明方法。这将极大地推动广大青少年热爱科学、追求理想的探索。
1637年，费尔马阅读了希腊数学家丢番图（Diophontus）的《算术》一书。他在书中论述求解X2 + Y2 = Z2 一般解的章节时，信手在书的空白处，用笔写下这样的心得：“反过来说，不可能把一个立方数分拆为两个立方数的和；将一个4次幂写成两个4次幂之和。总的来说，不可能将一个高于 2次的幂写成两个同样次幂的和。我已发现了一个绝妙的证明，但因为空白太小，写不下了。”
我们知道，在直角三角形中，如果两条直角边的边长为 X和Y，斜边的边长为Z，则X2+Y2=Z2，这就是有名的勾股定理。如果直角三角形的三边的长都是整数，实质上便是勾股方程的整数解问题。满足到勾股方程的正整数（X，Y，Z）叫做勾股数组，例如(3，4，5，)、(5，12，13) 、(7，24，25)、（8，15，17）……等等都是基本勾股数组。
费尔马的结论是：当N>2时，Xn + Yn =Zn 没有正整数解。费尔马是否真的证出了这个结论，现在无从知晓，反正，后人没有见到过费尔马在别的地方写下这个结论的证明。300多年来，一个高中生就可以理解的定理，成了数学界最大的悬案。
这个问题吸引了很多优秀数学家和业余数学爱好者，法国科学院曾于1816年和1850年两次悬赏征解，德国也于1908年悬赏十万马克征解。应征者络绎不绝，但提出的解法都是错误的。长期来，人们既不能证明它，也未能否定它，只能对于许多给定的整数n来证明其成立。
其中，欧拉，18世纪最伟大的数学家之一，在那本特殊版本的《算术》中别的地方，发现费尔马隐蔽地描述了对4次幂的一个证明。欧拉将这个含糊不清的证明从细节上加以完善，并证明了3次幂的无解。但在他的突破之后，索非 热尔曼、勒让德、狄利克雷、加布里尔 拉梅等几个法国人再次取得突破时，距离费尔马写下那个定理已经过去了将近200年，而他们才仅仅又证明了5次幂和7次幂。
上一世纪50年代，我国著名数学家华罗庚在他的《数论导引》一书中写道：“所可言者，只于2小于n小于619时，此定理已经证明。即此甚微之结果，亦已耗却颇多数学家之脑汁矣。”但是，在打通这条道路途中，那些披荆斩棘的数学勇士们，表现出非凡的聪明才智，由费尔马大定理而引发的探索热情带动了整个数学的发展。由于对这一猜想的研究，促进了许多数论分支的发展，这在数学史上是绝无仅有的。费尔马大定理也被人们誉为“一只会下金蛋的鸡”。
历史的新转机发生在1986年夏，瑞波特证明了:费尔马大定理包含在“谷山丰-志村五郎猜想”之中。童年就痴迷于此的怀尔斯，闻此立刻潜心于书房七年，汇集了许多20世纪数论的突破性成果。1993年6月23日，在英国剑桥大学牛顿研究所的“世纪演讲”上，宣布证明了费尔马大定理。
不幸的是，数月后逐渐发现此证明有漏洞。这个证明体系是很多深奥数学推理连接着最现代的定理、事实和计算所组成的逻辑网络，任何一环节的问题都会导致前功尽弃。怀尔斯和他的团队几乎陷入了绝境。
1994年9月19日，怀尔斯在思维的闪电中突然找到了迷失的钥匙。怀尔斯的历史性长文“模椭圆曲线和费尔马大定理”1995年5月发表在美国《数学年刊》第142卷，实际占满了全卷，共五章，130页。
1997年6月27日，怀尔斯获得沃尔夫斯克勒10万马克悬赏大奖。怀尔斯现为普林斯顿大学数学系主任。
很显然，怀尔斯那冗长的、几百页的间接证明肯定不会是费尔马本人奇妙的证明，最多也只是怀尔斯和他的团队一次南辕北辙的探索。更可悲的是，他扼杀了费尔马大定理这只金鸡，而且这只金鸡是被活活折腾死的。
2007年9月，德国悬赏征解的百年大限刚过，恰逢我国教育部、科技部、中科院和国家自然科学基金会联合开展“10000个科学难题”征集活动。此次活动，拟向两院院士等科技精英征集各个领域的10000个科学难题，评审后结集出版。以提高我国自主创新能力；激励青年科技人员攻克科学难题；普及科学知识激发青少年热爱科学的兴趣，培养探索未知知识的好奇心。费尔马大定理获得了浴火重生的机遇。
近日，本人以国家自然科学基金会生物医学专家评审组组长的身份，向征集办公室提交了一份数学难题: “方程X3-Y3=1，无正整数和正分数解，幂指数为大于3的自然数时，亦然。”
这一命题来源于本人早年对费尔马大定理的研究。它是本人用数论方法来获证费尔马大定理的关键步骤之一。我将该题命名为“无锡横山数学猜想”。同时将方程表述成W3-H3=1。WH是无锡横山的拼音首码；更是英文Why(为什么？)和How(怎么干？)的缩写。
W3-H3=1的求证，必将撩开费尔马大定理奇妙证明的层层迷雾和陷阱。相信我国会有成千上万的青少年成功获证，进而真正得到费尔马本人所描述的那种绝妙的证明方法。这将极大地推动广大青少年热爱科学、追求理想的探索。
2008年6月25日星期三
计算机经典论文选读
“On Computable Numbers， with an Application to the Entscheidungs-problem”， Alan Turing， 1936。
《论可计算的数》一文是阿兰·图灵于1936年发表的， 这篇论文被公认为是现代计算机科学诞生和独立的标志， 黑客道课程将结合对图灵机计算模型的介绍，讨论计算、逻辑与数学的关系。
“First Draft of a Report to EDVAC”，John von Neumann， 1945。
冯·诺依曼是著名的“冯·诺依曼体系”的提出者，其核心思想后来演变为程序与数据等价的观点。
“Three Models for the Description of Language”， Noam Chomsky， 1956。
乔姆斯基提出了语言处理的有限自动机模型，在语言学、数学、逻辑学、计算科学之间建立了一座桥梁，它是当今编译理论的基础。
“Recursive Functions of Symbolic Expressions and Their Computation by Machine”， John McCarthy， 1960。
麦卡锡是 Lisp 语言的发明人，他提出了基于符号表达式的 lambda 演算的计算机实现方案( Lisp 语言)，开创了符号计算的新领域。
“Revised Report on the Algorithmic Language ALGOL 60”， Peter Naur (ed.)， 1963。
这篇文章在巴克斯工作的基础上提出了巴克斯—劳尔范式，成为描述编程语言规范的形式化工具。
“PL/I List Processing”，Harold W. Lawson， 1967。
这篇文章首次明确提出了指针变量的概念与实现方式，对以后的计算机软件设计产生了巨大影响。
“Multiple Computer Networks and Intercomputer Communication”， Lawrence G. Roberts， 1967。
这篇文章提出了互联网的模型和原理。阅读时可以参考 “The Past and Future History of the Internet”， Venton Verf， Robert Kahn， et al， 1997。这篇文章回顾了互联网的发展历史和未来的发展趋势。
“Forth --- a Language for Interactive Computing”， Charles H. Moore and Geoffrey C. Leach， 1970。
这篇文章详细地说明了堆栈是如何被引入到编程语言中，并加以利用的， Forth 语言是在软件中倚赖堆栈进行计算的语言， 对后期的许多编程语言有很大影响。
“System R4 Relational”，Dr. Edgar F. Codd， 1970。
这篇文章提出了关系性数据库的思想， 关系性数据库与网络性数据库和层次性数据库是三大数据库流派，目前实际应用中(特别是在企业级别的数据库产品应用中) 关系性数据库产品为主流产品。
“The UNIX Time-sharing System”， Dennis Ritchie and ken Thompson， 1974。
UNIX 操作系统是计算机发展历史上一个划时代的操作系统，而且至今仍然被广泛使用。阅读时可以参考 “The Development of the C Language”， Dennis M. Ritchie， 1996。 C 语言是为开发 UNIX 而发明的编程语言， 兼有高级语言和低级汇编语言的特征， 是目前开发系统软件的首选编程语言。
“Pansystems Methodology: A Transfield Investigation of Generalized System-Transformation-Symmetry”， Wu XueMou， 1976。
吴学谋教授的这篇“泛系方法论: 广义系统—转化—对称性的跨领域研究”是网络型科学诞生的标志。
“The WEB System for Structured Documentation”， Donald E. Knuth， 1983。
高德纳教授是世界著名的计算机科学家， 他对算法理论有非常深入的研究， 他发明的 \TeX{}排版系统是将计算机科学理论与印刷行业完美结合的产物，这一软件导致是现代出版技术革命的发端，它对科技信息的自由传播产生了重大影响。
阅读时可以参考“Literate Programming”，Donald E. Knuth， 1984。 “作文式编程法”是受元数学的方法论影响和启发的产生的， TeX 系统中底层的 WEB 模型是采用作文式编程法开发的第一个计算模型。
“The GNU Manifesto”，Richard M. Stallman， 1984。
《GNU 宣言》是计算机科学家在软件领域道德自省后理性思考的结果，由这一宣言引发的自由软件运动极大地改变了计算机工业的格局。
阅读时可以参考“The GNU Operating System and the Free Software Movement”， Richard M. Stallman， 1999。 开发 GNU 操作系统是自由软件运动核心工程， 是为保护和培养自由软件运动的开发而创建的，其目标是开发一个类 UNIX 的操作系统，以及一个符合 GPL 的完整工具集。 在 GNU 工程发轫后， 它得到了众多黑客的支持，成为目前自由软件运动发展的平台。 本文回顾了自由软件思想诞生的经过，阐明了伟大的 GNU 工程的实质与自由软件思想的精髓，剖析了自由软件运动的发展现状和面临的挑战。
“The Quantum Theory， the Church-Turing Principle and the Universal Quantum Computer”， David Deutsch， 1985。
“量子理论，丘奇—图灵原则与通用量子计算机”。大卫·多依奇的这篇论文正式提出了量子计算的模型， 实用的量子计算机尽管还没有制造出来，但是计算模型已经提出。
“The X Window System”，Robert W. Scheifler et al， 1986。
X 视窗系统是将分布式计算与图形用户界面首次成功结合的产物。
“Information Management: A Proposal”， Tim Berners-Lee， 1989。
这篇论文提出了万维网的计算模型，引发了网络出版的革命。
“The Programming Language Oberron”，NiklausWirth， 1990。
Wirth 教授是 Pascal 语言的发明人。 在总结了 Pascal 语言设计的得失的基础上， 他提出了编程语言可以扩展为完整的操作系统的思想，并开发了 Oberron 来予以验证。
阅读时可以参考“Revenge of the Son of the Lisp Machine”， Matthew Flatt， et al， 1999。 Lisp Machine 是二十世纪八十年代流行的一种计算机体系结构，后因种种原因退出了市场， 但是“编程语言就是操作系统”的思想最近因为硬件技术的飞速发展又开始复苏。 （笔者的 MING/OS 也是受到了这一思潮的影响。）
阅读这篇文章时还可以参读 “Scripting: Higher Level Programming for the 21'st Century”，John K. Ousterhout，1998。随着计算机硬件的飞速发展，计算机系统中的硬件成本大幅度下降，但是软件系统中程序员的成本不降反升，因此如何提高程序员的开发效率是目前的一个主要课题。 脚本语言由于其高度的模块化和对象化， 比系统编程语言更加贴近人的思维特点，因此越来越受到重视。 本文说明了为什么脚本语言将是二十一世纪程序员编程的主要工具。
“Molecular Computation of Solutions to Combinatorial Problems”， L. M. Adleman， 1994。
目前的计算机都是电子计算， 而分子计算机则由于电子计算机无法比拟的超大规模平行计算能力最近受到计算机科学界的高度重视。
“Network Computing in Beowulf Clusters”， Thomas L.Sterling， 1995。
群集计算是利用多台计算机协同工作得到高计算性能的一条有效途径。
“Main Principle of E2K Architecture”， Boris Babayan， 2000。
天才的俄罗斯学者将软件的资源可分割的原理创造性地应用到了计算机通用中央处理器芯片的设计中， 使得系统硬件资源可分割和按需调度，得到了低功耗、抗病毒、高性能的新型 CPU 芯片设计。
“The Anatomy of the Grid”，Ian Foster， et al. 2001。
网格计算是下一代计算机网络发展的主要方向之一，它是以高性能计算机、高性能数据库和宽带通信网络为基础发展起来的。
《论可计算的数》一文是阿兰·图灵于1936年发表的， 这篇论文被公认为是现代计算机科学诞生和独立的标志， 黑客道课程将结合对图灵机计算模型的介绍，讨论计算、逻辑与数学的关系。
“First Draft of a Report to EDVAC”，John von Neumann， 1945。
冯·诺依曼是著名的“冯·诺依曼体系”的提出者，其核心思想后来演变为程序与数据等价的观点。
“Three Models for the Description of Language”， Noam Chomsky， 1956。
乔姆斯基提出了语言处理的有限自动机模型，在语言学、数学、逻辑学、计算科学之间建立了一座桥梁，它是当今编译理论的基础。
“Recursive Functions of Symbolic Expressions and Their Computation by Machine”， John McCarthy， 1960。
麦卡锡是 Lisp 语言的发明人，他提出了基于符号表达式的 lambda 演算的计算机实现方案( Lisp 语言)，开创了符号计算的新领域。
“Revised Report on the Algorithmic Language ALGOL 60”， Peter Naur (ed.)， 1963。
这篇文章在巴克斯工作的基础上提出了巴克斯—劳尔范式，成为描述编程语言规范的形式化工具。
“PL/I List Processing”，Harold W. Lawson， 1967。
这篇文章首次明确提出了指针变量的概念与实现方式，对以后的计算机软件设计产生了巨大影响。
“Multiple Computer Networks and Intercomputer Communication”， Lawrence G. Roberts， 1967。
这篇文章提出了互联网的模型和原理。阅读时可以参考 “The Past and Future History of the Internet”， Venton Verf， Robert Kahn， et al， 1997。这篇文章回顾了互联网的发展历史和未来的发展趋势。
“Forth --- a Language for Interactive Computing”， Charles H. Moore and Geoffrey C. Leach， 1970。
这篇文章详细地说明了堆栈是如何被引入到编程语言中，并加以利用的， Forth 语言是在软件中倚赖堆栈进行计算的语言， 对后期的许多编程语言有很大影响。
“System R4 Relational”，Dr. Edgar F. Codd， 1970。
这篇文章提出了关系性数据库的思想， 关系性数据库与网络性数据库和层次性数据库是三大数据库流派，目前实际应用中(特别是在企业级别的数据库产品应用中) 关系性数据库产品为主流产品。
“The UNIX Time-sharing System”， Dennis Ritchie and ken Thompson， 1974。
UNIX 操作系统是计算机发展历史上一个划时代的操作系统，而且至今仍然被广泛使用。阅读时可以参考 “The Development of the C Language”， Dennis M. Ritchie， 1996。 C 语言是为开发 UNIX 而发明的编程语言， 兼有高级语言和低级汇编语言的特征， 是目前开发系统软件的首选编程语言。
“Pansystems Methodology: A Transfield Investigation of Generalized System-Transformation-Symmetry”， Wu XueMou， 1976。
吴学谋教授的这篇“泛系方法论: 广义系统—转化—对称性的跨领域研究”是网络型科学诞生的标志。
“The WEB System for Structured Documentation”， Donald E. Knuth， 1983。
高德纳教授是世界著名的计算机科学家， 他对算法理论有非常深入的研究， 他发明的 \TeX{}排版系统是将计算机科学理论与印刷行业完美结合的产物，这一软件导致是现代出版技术革命的发端，它对科技信息的自由传播产生了重大影响。
阅读时可以参考“Literate Programming”，Donald E. Knuth， 1984。 “作文式编程法”是受元数学的方法论影响和启发的产生的， TeX 系统中底层的 WEB 模型是采用作文式编程法开发的第一个计算模型。
“The GNU Manifesto”，Richard M. Stallman， 1984。
《GNU 宣言》是计算机科学家在软件领域道德自省后理性思考的结果，由这一宣言引发的自由软件运动极大地改变了计算机工业的格局。
阅读时可以参考“The GNU Operating System and the Free Software Movement”， Richard M. Stallman， 1999。 开发 GNU 操作系统是自由软件运动核心工程， 是为保护和培养自由软件运动的开发而创建的，其目标是开发一个类 UNIX 的操作系统，以及一个符合 GPL 的完整工具集。 在 GNU 工程发轫后， 它得到了众多黑客的支持，成为目前自由软件运动发展的平台。 本文回顾了自由软件思想诞生的经过，阐明了伟大的 GNU 工程的实质与自由软件思想的精髓，剖析了自由软件运动的发展现状和面临的挑战。
“The Quantum Theory， the Church-Turing Principle and the Universal Quantum Computer”， David Deutsch， 1985。
“量子理论，丘奇—图灵原则与通用量子计算机”。大卫·多依奇的这篇论文正式提出了量子计算的模型， 实用的量子计算机尽管还没有制造出来，但是计算模型已经提出。
“The X Window System”，Robert W. Scheifler et al， 1986。
X 视窗系统是将分布式计算与图形用户界面首次成功结合的产物。
“Information Management: A Proposal”， Tim Berners-Lee， 1989。
这篇论文提出了万维网的计算模型，引发了网络出版的革命。
“The Programming Language Oberron”，NiklausWirth， 1990。
Wirth 教授是 Pascal 语言的发明人。 在总结了 Pascal 语言设计的得失的基础上， 他提出了编程语言可以扩展为完整的操作系统的思想，并开发了 Oberron 来予以验证。
阅读时可以参考“Revenge of the Son of the Lisp Machine”， Matthew Flatt， et al， 1999。 Lisp Machine 是二十世纪八十年代流行的一种计算机体系结构，后因种种原因退出了市场， 但是“编程语言就是操作系统”的思想最近因为硬件技术的飞速发展又开始复苏。 （笔者的 MING/OS 也是受到了这一思潮的影响。）
阅读这篇文章时还可以参读 “Scripting: Higher Level Programming for the 21'st Century”，John K. Ousterhout，1998。随着计算机硬件的飞速发展，计算机系统中的硬件成本大幅度下降，但是软件系统中程序员的成本不降反升，因此如何提高程序员的开发效率是目前的一个主要课题。 脚本语言由于其高度的模块化和对象化， 比系统编程语言更加贴近人的思维特点，因此越来越受到重视。 本文说明了为什么脚本语言将是二十一世纪程序员编程的主要工具。
“Molecular Computation of Solutions to Combinatorial Problems”， L. M. Adleman， 1994。
目前的计算机都是电子计算， 而分子计算机则由于电子计算机无法比拟的超大规模平行计算能力最近受到计算机科学界的高度重视。
“Network Computing in Beowulf Clusters”， Thomas L.Sterling， 1995。
群集计算是利用多台计算机协同工作得到高计算性能的一条有效途径。
“Main Principle of E2K Architecture”， Boris Babayan， 2000。
天才的俄罗斯学者将软件的资源可分割的原理创造性地应用到了计算机通用中央处理器芯片的设计中， 使得系统硬件资源可分割和按需调度，得到了低功耗、抗病毒、高性能的新型 CPU 芯片设计。
“The Anatomy of the Grid”，Ian Foster， et al. 2001。
网格计算是下一代计算机网络发展的主要方向之一，它是以高性能计算机、高性能数据库和宽带通信网络为基础发展起来的。
2008年6月5日星期四
大数学家:高斯
高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30日—1855年2月23日），生于布伦威克，卒于格丁根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的数学家，并有数学王子的美誉。
1792年，15岁德高斯进入Braunschweig学院。在那里，高斯开始对高等数学作研究。独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”(Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理(prime numer theorem)、及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)。
1795年高斯进入格丁根大学。1796年，17岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》。
1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世。
生平
高斯是一对普通夫妇的儿子。他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债帐目的事情，已经成为一个轶事流传至今。他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算。能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋。
当高斯12岁时，已经开始怀疑元素几何学中的基础证明。当他16岁时，预测在欧氏几何之外必然会产生一门完全不同的几何学，即非欧几里德几何学。他导出了二项式定理的一般形式，将其成功的运用在无穷级数，并发展了数学分析的理论。
高斯的老师Bruettner与他助手 Martin Bartels 很早就认识到了高斯在数学上异乎寻常的天赋，同时Herzog Carl Wilhelm Ferdinand von Braunschweig也对这个天才儿童留下了深刻印象。于是他们从高斯14岁其便资助其学习与生活。这也使高斯能够在公元1792－1795年在Carolinum学院（今天Braunschweig学院的前身）学习。18岁时，高斯转入格丁根大学学习。在他19岁时，第一个成功的用尺规构造出了规则的17角形。
高斯于公元1805年10月5日与来自Braunschweig的Johanna Elisabeth Rosina Osthoff小姐(1780-1809)结婚。在公元1806年8月21日迎来了他生命中的第一个孩子Joseph。此后，他又有两个孩子。Wilhelmine（1809－1840）和Louis（1809－1810）。1807年高斯成为格丁根大学的教授和当地天文台的台长。
虽然高斯作为一个数学家而闻名于世，但这并不意味着他热爱教书。尽管如此，他越来越多的学生成为有影响的数学家，如后来闻名于世的戴德金和黎曼。
高斯非常信教且保守。他的父亲死于1808年4月14日，晚些时候的1809年10月11日，他的第一位妻子Johanna也离开人世。次年8月4日高斯迎娶第二位妻子Friederica Wilhelmine (1788-1831）。他们又有三个孩子：Eugen (1811-1896)、Wilhelm (1813-1883) 和 Therese (1816-1864)。 1831年9月12日她的第二位妻子也死去，1837年高斯开始学习俄语。1839年4月18日，他的母亲在格丁根逝世，享年95岁。高斯于1855年2月23日凌晨1点在格丁根去世。他的很多散布在给朋友的书信或笔记中的发现于1898年被发现。
贡献
18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线)。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。
在高斯19岁时，仅用尺规便构造出了17边形。并为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。
高斯总结了复数的应用，并且严格证明了每一个n阶的代数方程必有n个实数或者复数解。在他的第一本著名的著作《数论》中，作出了二次互反律的证明，成为数论继续发展的重要基础。在这部著作的第一章，导出了三角形全等定理的概念。
高斯在他的建立在最小二乘法基础上的测量平差理论的帮助下，结算出天体的运行轨迹。并用这种方法，发现了谷神星的运行轨迹。谷神星于1801年由意大利天文学家皮亚齐发现，但他因病耽误了观测，失去了这颗小行星的轨迹。皮亚齐以希腊神话中“丰收女神”(Ceres)来命名它，即谷神星(Planetoiden Ceres)，并将以前观测的位置发表出来，希望全球的天文学家一起寻找。高斯通过以前的三次观测数据，计算出了谷神星的运行轨迹。奥地利天文学家 Heinrich Olbers在高斯的计算出的轨道上成功发现了这颗小行星。从此高斯名扬天下。高斯将这种方法著述在著作《天体运动论》(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium )中。
为了获知任意一年中复活节的日期，高斯推导了复活节日期的计算公式。
在1818年至1826年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作。通过他发明的以最小二乘法为基础的测量平差的方法和求解线性方程组的方法，显著的提高了测量的精度。出于对实际应用的兴趣，他发明了日光反射仪，可以将光束反射至大约450公里外的地方。高斯后来不止一次地为原先的设计作出改进，试制成功被广泛应用于大地测量的镜式六分仪。
高斯亲自参加野外测量工作。他白天观测，夜晚计算。五六年间，经他亲自计算过的大地测量数据，超过100万次。当高斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后，高斯就把主要精力转移到处理观测成果的计算上来，并写出了近20篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。在这些论文中，推导了由椭圆面向圆球面投影时的公式，并作出了详细证明，这套理论在今天仍有应用价值。汉诺威公国的大地测量工作直到1848年才结束，这项大地测量史上的巨大工程，如果没有高斯在理论上的仔细推敲，在观测上力图合理精确，在数据处理上尽量周密细致的出色表现，就不能完成。在当时条件下布设这样大规模的大地控制网，精确地确定2578个三角点的大地坐标，可以说是一项了不起的成就。
日光反射仪
由于要解决如何用椭圆在球面上的正形投影理论解决大地测量问题，高斯亦在这段时间从事曲面和投影的理论，这成了微分几何的重要基础。他独自提出不能证明欧氏几何的平行公设具有‘物理的’必然性，至少不能用人类理智，也不能给予人类理智以这种证明。但他的非欧几何的理论并没有发表，也许是因为对处于同时代的人不能理解对该理论的担忧。后来相对论证明了宇宙空间实际上是非欧几何的空间，高斯的思想被近100年后的物理学接受了。当时高斯试图在汉诺威公国的大地测量中通过测量Harz的Brocken－－Thuringer Wald的Inselsberg－－格丁根的Hohen Hagen三个山头所构成的三角形的内角和，以验证非欧几何的正确性，但未成功。高斯的朋友鲍耶的儿子雅诺斯在1823年证明了非欧几何的存在，高斯对他勇于探索的精神表示了赞扬。1840年，罗巴切夫斯基又用德文写了《平行线理论的几何研究》一文。这篇论文发表后，引起了高斯的注意，他非常重视这一论证，积极建议格丁根大学聘请罗巴切夫斯基为通信院士。为了能直接阅读他的著作，从这一年开始，63岁的高斯开始学习俄语，并最终掌握了这门外语。最终高斯成为和微分几何的始祖（高斯，雅诺斯、罗巴切夫斯基）中最重要的一人。
19世纪的30年代，高斯发明了磁强计，辞去了天文台的工作，而转向物理研究。他与韦伯(1804－1891)在电磁学的领域共同工作。他比韦伯年长27岁，以亦师亦友的身份进行合作。1833年，通过受电磁影响的罗盘指针，他向韦伯发送了电报。这不仅仅是从韦伯的实验室与天文台之间的第一个电话电报系统，也是世界首创。尽管线路才8千米长。1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置，并于次年得到美国科学家的证实。
高斯研究数个领域，但只将他思想中成熟的理论发表。他经常提醒他的同事，该同事的结论已经被自己很早的证明，只是因为基础理论的不完备性而没有发表。批评者说他这样是因为极爱出风头。实际上高斯只是一部疯狂的打字机，将他的结果都记录起来。在他死后，有20部这样的笔记被发现，才证明高斯的宣称是事实。一般认为，即使这20部笔记，也不是高斯全部的笔记。下萨克森州和格丁根大学图书馆已经将高斯的全部著作数字化并置于互联网上。
高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流通的10德国马克的纸币上。
1792年，15岁德高斯进入Braunschweig学院。在那里，高斯开始对高等数学作研究。独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”(Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理(prime numer theorem)、及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)。
1795年高斯进入格丁根大学。1796年，17岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》。
1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世。
生平
高斯是一对普通夫妇的儿子。他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债帐目的事情，已经成为一个轶事流传至今。他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算。能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋。
当高斯12岁时，已经开始怀疑元素几何学中的基础证明。当他16岁时，预测在欧氏几何之外必然会产生一门完全不同的几何学，即非欧几里德几何学。他导出了二项式定理的一般形式，将其成功的运用在无穷级数，并发展了数学分析的理论。
高斯的老师Bruettner与他助手 Martin Bartels 很早就认识到了高斯在数学上异乎寻常的天赋，同时Herzog Carl Wilhelm Ferdinand von Braunschweig也对这个天才儿童留下了深刻印象。于是他们从高斯14岁其便资助其学习与生活。这也使高斯能够在公元1792－1795年在Carolinum学院（今天Braunschweig学院的前身）学习。18岁时，高斯转入格丁根大学学习。在他19岁时，第一个成功的用尺规构造出了规则的17角形。
高斯于公元1805年10月5日与来自Braunschweig的Johanna Elisabeth Rosina Osthoff小姐(1780-1809)结婚。在公元1806年8月21日迎来了他生命中的第一个孩子Joseph。此后，他又有两个孩子。Wilhelmine（1809－1840）和Louis（1809－1810）。1807年高斯成为格丁根大学的教授和当地天文台的台长。
虽然高斯作为一个数学家而闻名于世，但这并不意味着他热爱教书。尽管如此，他越来越多的学生成为有影响的数学家，如后来闻名于世的戴德金和黎曼。
高斯非常信教且保守。他的父亲死于1808年4月14日，晚些时候的1809年10月11日，他的第一位妻子Johanna也离开人世。次年8月4日高斯迎娶第二位妻子Friederica Wilhelmine (1788-1831）。他们又有三个孩子：Eugen (1811-1896)、Wilhelm (1813-1883) 和 Therese (1816-1864)。 1831年9月12日她的第二位妻子也死去，1837年高斯开始学习俄语。1839年4月18日，他的母亲在格丁根逝世，享年95岁。高斯于1855年2月23日凌晨1点在格丁根去世。他的很多散布在给朋友的书信或笔记中的发现于1898年被发现。
贡献
18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线)。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。
在高斯19岁时，仅用尺规便构造出了17边形。并为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。
高斯总结了复数的应用，并且严格证明了每一个n阶的代数方程必有n个实数或者复数解。在他的第一本著名的著作《数论》中，作出了二次互反律的证明，成为数论继续发展的重要基础。在这部著作的第一章，导出了三角形全等定理的概念。
高斯在他的建立在最小二乘法基础上的测量平差理论的帮助下，结算出天体的运行轨迹。并用这种方法，发现了谷神星的运行轨迹。谷神星于1801年由意大利天文学家皮亚齐发现，但他因病耽误了观测，失去了这颗小行星的轨迹。皮亚齐以希腊神话中“丰收女神”(Ceres)来命名它，即谷神星(Planetoiden Ceres)，并将以前观测的位置发表出来，希望全球的天文学家一起寻找。高斯通过以前的三次观测数据，计算出了谷神星的运行轨迹。奥地利天文学家 Heinrich Olbers在高斯的计算出的轨道上成功发现了这颗小行星。从此高斯名扬天下。高斯将这种方法著述在著作《天体运动论》(Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium )中。
为了获知任意一年中复活节的日期，高斯推导了复活节日期的计算公式。
在1818年至1826年之间高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作。通过他发明的以最小二乘法为基础的测量平差的方法和求解线性方程组的方法，显著的提高了测量的精度。出于对实际应用的兴趣，他发明了日光反射仪，可以将光束反射至大约450公里外的地方。高斯后来不止一次地为原先的设计作出改进，试制成功被广泛应用于大地测量的镜式六分仪。
高斯亲自参加野外测量工作。他白天观测，夜晚计算。五六年间，经他亲自计算过的大地测量数据，超过100万次。当高斯领导的三角测量外场观测已走上正轨后，高斯就把主要精力转移到处理观测成果的计算上来，并写出了近20篇对现代大地测量学具有重大意义的论文。在这些论文中，推导了由椭圆面向圆球面投影时的公式，并作出了详细证明，这套理论在今天仍有应用价值。汉诺威公国的大地测量工作直到1848年才结束，这项大地测量史上的巨大工程，如果没有高斯在理论上的仔细推敲，在观测上力图合理精确，在数据处理上尽量周密细致的出色表现，就不能完成。在当时条件下布设这样大规模的大地控制网，精确地确定2578个三角点的大地坐标，可以说是一项了不起的成就。
日光反射仪
由于要解决如何用椭圆在球面上的正形投影理论解决大地测量问题，高斯亦在这段时间从事曲面和投影的理论，这成了微分几何的重要基础。他独自提出不能证明欧氏几何的平行公设具有‘物理的’必然性，至少不能用人类理智，也不能给予人类理智以这种证明。但他的非欧几何的理论并没有发表，也许是因为对处于同时代的人不能理解对该理论的担忧。后来相对论证明了宇宙空间实际上是非欧几何的空间，高斯的思想被近100年后的物理学接受了。当时高斯试图在汉诺威公国的大地测量中通过测量Harz的Brocken－－Thuringer Wald的Inselsberg－－格丁根的Hohen Hagen三个山头所构成的三角形的内角和，以验证非欧几何的正确性，但未成功。高斯的朋友鲍耶的儿子雅诺斯在1823年证明了非欧几何的存在，高斯对他勇于探索的精神表示了赞扬。1840年，罗巴切夫斯基又用德文写了《平行线理论的几何研究》一文。这篇论文发表后，引起了高斯的注意，他非常重视这一论证，积极建议格丁根大学聘请罗巴切夫斯基为通信院士。为了能直接阅读他的著作，从这一年开始，63岁的高斯开始学习俄语，并最终掌握了这门外语。最终高斯成为和微分几何的始祖（高斯，雅诺斯、罗巴切夫斯基）中最重要的一人。
19世纪的30年代，高斯发明了磁强计，辞去了天文台的工作，而转向物理研究。他与韦伯(1804－1891)在电磁学的领域共同工作。他比韦伯年长27岁，以亦师亦友的身份进行合作。1833年，通过受电磁影响的罗盘指针，他向韦伯发送了电报。这不仅仅是从韦伯的实验室与天文台之间的第一个电话电报系统，也是世界首创。尽管线路才8千米长。1840年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置，并于次年得到美国科学家的证实。
高斯研究数个领域，但只将他思想中成熟的理论发表。他经常提醒他的同事，该同事的结论已经被自己很早的证明，只是因为基础理论的不完备性而没有发表。批评者说他这样是因为极爱出风头。实际上高斯只是一部疯狂的打字机，将他的结果都记录起来。在他死后，有20部这样的笔记被发现，才证明高斯的宣称是事实。一般认为，即使这20部笔记，也不是高斯全部的笔记。下萨克森州和格丁根大学图书馆已经将高斯的全部著作数字化并置于互联网上。
高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流通的10德国马克的纸币上。
西方数学史上的8本名著
人类本身有一种不可弥补的缺憾，即知识无法遗传。面对人类的文明所创造的一切，每个人都必须从头再学，硕大的知识之果使人不胜重负。本文想以最简洁的文字向读者提供其精髓，包括作者、书名、发表年月、主要内容以及在学科史上的地位与价值，有一个对数学领域重大成果总体式的鸟瞰与把握。
1、《几何原本》（Elements of Euclid）
欧几里德（Euclid，前300－前275？）古希腊数学家。
本书的印刷量仅次于《圣经》，是数学史上第一本成系统的著作，也是第一本译成中文的西文名著。原名《欧几里德几何学》，明朝徐光启译时改为《几何原本》。全书13卷，从5条公设和5条公理出发，构造了几何的一种演绎体系，这种不假于实体世界，仅由一组公理实施逻辑推理而证明出定理的方法，是人类思想的一大进步。此书从写作的时代一直流传至今，对人类活动起着持续的重大影响，直到19世纪非欧几里德几何出现以前，一直是几何推理、定理和方法的主要来源。
2、《算术研究》（Disquisitiones Arithmetical，1798）
高斯（C.F.Gauss，1774－1855），德国数学家。
“数学之王”的称号可以说是对高斯极其恰当的赞辞。他与阿基米德、牛顿并列为历史上最伟大的数学家。他的名言“数学，科学的皇后；算术，数学的皇后”，贴切地表达了他对于数学在科学中的关键作用的观点。他24岁时发表了这本书，这是数学史上最出色的成果之一，系统而广泛地阐述了数论里有影响的概念和方法。由此推倒了18世界数学的理论和方法，以革新的数论开辟了通往19世纪中叶分析学的严格化道路。高斯立论极端谨慎，有3个原则：“少些；但要成熟”：“不留下进一步要做的事情”。
3、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1854）
黎曼（B.Riemann，1826－1866），德国数学家。
黎曼是19世纪最有创造力的数学家之一。虽然他没有活到40岁，著作也不多，但几乎每篇文章都开创了一个新的领域。本篇是黎曼在格丁根大学任大学讲师时的就职演讲，是数学史上最著名的演讲之一，题为“关于构成几何基础的假设”。在演讲中黎曼独立提出了非欧几里德几何，即“黎曼几何”，又称椭圆几何。他的这一关于空间几何的独具胆识的思想，对近代理论物理学发生深远的影响，成为爱因斯坦相对论的几何基础。
4、《集合一般理论的基础》（Foundations of a General Theory of Aggregates，1883）
康托尔（G.Cantor，1845－1918），德国数学家。
康托尔创立的集合论，是19世纪最伟大的成就之一。本书是康托尔研究集合论的专著。他通过建立处理数学中无限的基本技巧而极大地推动了分析和逻辑的发展，凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新的思想模式。
5、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1899）
希耳伯特（D.Hilbert，1862－1943），德国数学家。
希耳伯特是整个一代国际数学界的巨人。由高高斯、狄利克雷和黎曼于19世纪开创的生气勃勃的数学传统在20世纪的头30年中主要由于希耳伯特而更为显赫著名。在本书中，希耳伯特用几何学的例子来阐述公理体系的集合理论的处理方法，它标志着几何学公理化处理的转折点。希耳伯特的名言：“我必须知道，我必将知道”，总结了他献身数学并以毕生业务使之发展到新水平的激情。
6、《测度的一般理论和概率论》（General Theoey of Measure and Probability Theory，1929）
柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov，1903－1993），苏联数学家。
柯尔莫哥洛夫是20世纪最有影响的苏联数学家。他对许多数学分支贡献了创造性的一般理论。此篇论文是研究概率的名作，在随后的50年中被人们作为概率论的完全公理而接受。在1937年又出版《概率论的解析方法》一书，阐述了无后效的随机过程理论的原理，标志着概论论发展的一个新时期。
7、《论＜数学原理＞及其相关系统形式不可判定命题》（On Formally Undecidble Propositions of Principia Mathematica and Related Systems，1931）
哥德尔（K.Godel，1906－1978），美籍奥地利数学家。
哥德尔在本篇中给出了著名的哥德尔证明，其内容是，要任何一个严格的数学系统中，必定有用本系统内的公理无法证明其成立或不成立的命题，因此，不能说算术的基本公理不会出现矛盾。这个证明成了20世纪数学的标志，至今仍有影响和争论。它结束了近一个世纪来数学家们为建立能为全部数学提供严密基础公理的企图。
8、《数学原理》（Elements Mathematique I-XXXIX，1939－）
本书的署名是布尔巴基（Bourbiaki），他不是一个人，而是对现代数学影响巨大的数学家集团。在本世纪30年代由法国的一群年轻数学家结合而成他们把人类长期积累的数学知识按照数学结构整理而成为一个井井有条、博大精深的体系，已出版的近40卷的《数学原理》成为一部经典著作，成为许多研究工作的出发点和参考指南，并成为蓬勃发展的数学科学的主流，这套巨著究竟何时算完，谁也说不清。但是这个体系连同布尔巴基学派对数学的其他贡献，在数学史上是独一无二的。
1、《几何原本》（Elements of Euclid）
欧几里德（Euclid，前300－前275？）古希腊数学家。
本书的印刷量仅次于《圣经》，是数学史上第一本成系统的著作，也是第一本译成中文的西文名著。原名《欧几里德几何学》，明朝徐光启译时改为《几何原本》。全书13卷，从5条公设和5条公理出发，构造了几何的一种演绎体系，这种不假于实体世界，仅由一组公理实施逻辑推理而证明出定理的方法，是人类思想的一大进步。此书从写作的时代一直流传至今，对人类活动起着持续的重大影响，直到19世纪非欧几里德几何出现以前，一直是几何推理、定理和方法的主要来源。
2、《算术研究》（Disquisitiones Arithmetical，1798）
高斯（C.F.Gauss，1774－1855），德国数学家。
“数学之王”的称号可以说是对高斯极其恰当的赞辞。他与阿基米德、牛顿并列为历史上最伟大的数学家。他的名言“数学，科学的皇后；算术，数学的皇后”，贴切地表达了他对于数学在科学中的关键作用的观点。他24岁时发表了这本书，这是数学史上最出色的成果之一，系统而广泛地阐述了数论里有影响的概念和方法。由此推倒了18世界数学的理论和方法，以革新的数论开辟了通往19世纪中叶分析学的严格化道路。高斯立论极端谨慎，有3个原则：“少些；但要成熟”：“不留下进一步要做的事情”。
3、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1854）
黎曼（B.Riemann，1826－1866），德国数学家。
黎曼是19世纪最有创造力的数学家之一。虽然他没有活到40岁，著作也不多，但几乎每篇文章都开创了一个新的领域。本篇是黎曼在格丁根大学任大学讲师时的就职演讲，是数学史上最著名的演讲之一，题为“关于构成几何基础的假设”。在演讲中黎曼独立提出了非欧几里德几何，即“黎曼几何”，又称椭圆几何。他的这一关于空间几何的独具胆识的思想，对近代理论物理学发生深远的影响，成为爱因斯坦相对论的几何基础。
4、《集合一般理论的基础》（Foundations of a General Theory of Aggregates，1883）
康托尔（G.Cantor，1845－1918），德国数学家。
康托尔创立的集合论，是19世纪最伟大的成就之一。本书是康托尔研究集合论的专著。他通过建立处理数学中无限的基本技巧而极大地推动了分析和逻辑的发展，凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新的思想模式。
5、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1899）
希耳伯特（D.Hilbert，1862－1943），德国数学家。
希耳伯特是整个一代国际数学界的巨人。由高高斯、狄利克雷和黎曼于19世纪开创的生气勃勃的数学传统在20世纪的头30年中主要由于希耳伯特而更为显赫著名。在本书中，希耳伯特用几何学的例子来阐述公理体系的集合理论的处理方法，它标志着几何学公理化处理的转折点。希耳伯特的名言：“我必须知道，我必将知道”，总结了他献身数学并以毕生业务使之发展到新水平的激情。
6、《测度的一般理论和概率论》（General Theoey of Measure and Probability Theory，1929）
柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov，1903－1993），苏联数学家。
柯尔莫哥洛夫是20世纪最有影响的苏联数学家。他对许多数学分支贡献了创造性的一般理论。此篇论文是研究概率的名作，在随后的50年中被人们作为概率论的完全公理而接受。在1937年又出版《概率论的解析方法》一书，阐述了无后效的随机过程理论的原理，标志着概论论发展的一个新时期。
7、《论＜数学原理＞及其相关系统形式不可判定命题》（On Formally Undecidble Propositions of Principia Mathematica and Related Systems，1931）
哥德尔（K.Godel，1906－1978），美籍奥地利数学家。
哥德尔在本篇中给出了著名的哥德尔证明，其内容是，要任何一个严格的数学系统中，必定有用本系统内的公理无法证明其成立或不成立的命题，因此，不能说算术的基本公理不会出现矛盾。这个证明成了20世纪数学的标志，至今仍有影响和争论。它结束了近一个世纪来数学家们为建立能为全部数学提供严密基础公理的企图。
8、《数学原理》（Elements Mathematique I-XXXIX，1939－）
本书的署名是布尔巴基（Bourbiaki），他不是一个人，而是对现代数学影响巨大的数学家集团。在本世纪30年代由法国的一群年轻数学家结合而成他们把人类长期积累的数学知识按照数学结构整理而成为一个井井有条、博大精深的体系，已出版的近40卷的《数学原理》成为一部经典著作，成为许多研究工作的出发点和参考指南，并成为蓬勃发展的数学科学的主流，这套巨著究竟何时算完，谁也说不清。但是这个体系连同布尔巴基学派对数学的其他贡献，在数学史上是独一无二的。
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