数学史

1.德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表《测量洒桶的新立体几何》，论述了求圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法。
2.牛顿先后写成了三篇微积分论文：《分析学》（1669）、《流数法》（1671）、《求积术》（1691）。
3.1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微分学论文《新方法》，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。
4.泰勒在自己的《正的和反的增量方法》中，陈述了他早在1712年就已获得的那个著名定理：

其中v为独立变量z的增量， 和 为流数。泰勒假定z随时间均匀变化，故 为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”：
。
5.欧拉于1748年出版的《无限小分析引论》以及随后发表的《微分学》和《积分学》是微积分史上里程碑式的著作。
欧拉关于曲面论的经典工作《关于曲面上曲线的研究》（1760）被公认为微分几何史上的一个里程碑。欧拉在其中将曲面表示为 z = f (x,y)，并引进了相当于

的标准符号外，欧拉还正确地建立了曲面的曲率概念，引进了法曲率、主曲率等概念，并得到了法曲率的欧拉公式 （其中χ1, χ2是主曲率，α是一法截面与主曲率所在法截面的交角）。
6. 拉格朗日最负盛名的著作是《分析力学》；拉普拉斯许多最重要的数学成果包含在他的五大卷《天体力学》中。
7. 达朗贝尔1747年发表的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》看作为偏微分方程论的发端。
8. 拉普拉斯在1785年发表的论文《球状物体的引力理论与行星形状》中，引进了与引力分量具有偏导数关系的标量函数V，它与引力分量Fx,Fy,Fz,之间有关系：
。
9. 1731年法国数学家克莱洛发表了《关于双重曲率曲线的研究》，开创了空间曲线理论，是建立微分几何的重要一步。
10. 瑞士数学家克拉姆在其《代数曲线分析引论》（1750）中提出了由系数行列式来确定线性代数方程组解的表达式的法则，即“克拉姆法则”。
11. 哥德巴赫猜想现在的表述形式是英国数学家华林在他的《代数沉思录》中首先给出的。
12. 在施罗德的三大卷《逻辑代数讲义》（1890-1905）中，布尔代数更是发展到了顶峰。
13. 高斯在1801年发表了他的《算术研究》后，数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。
14. 俄国数学家罗巴切夫斯基先是于1826年在喀山大学发表了《简要论述平行线定理的一个严格证明》的演讲，报告了自己关于非欧几何的发现，而后又在1829年发表了题为《论几何原理》的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。
15. 1872年，克莱因发表了著名的演讲《爱尔朗根纲要》，阐述了几何学统一的新思想：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问。
16. 希尔伯特在《几何基础》（1899）中使用的公理化方法最为成功。
17. 法国数学家傅里叶因研究吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律，于1822年发表了《热的解析理论》
18. 庞加莱1881-1886年间在同一标题《由微分方程定义的曲线》下发表的4篇论文，寻求只通过考察微分方程本身就可以回答关于稳定性等问题的方法，创建了微分方程定性理论。
19. 诺特1921年发表的《环中的理想论》看作是现代抽象代数的开端。
20. 庞加莱1895-1905年间在同一主题《位置分析》下发表的一组论文，开创了现代拓扑学研究。
21. 1941年德国数学家豪斯道夫发表的《集合论基础》，以“邻域”概念出发，标志着点集拓扑学的正式诞生。
22. 荷兰数学家惠更斯在1657年发表了《论赌博中的计算》这部历史上最早的概率论著作。
23. 雅各布•伯努利，他在遗著《猜度术》（1713）中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：
若在一系列独立试验中，事件A发生的概率为常数且等于 ，那么 以及充分大小试验次数n，有
，（η为任意小正数），
其中 为 次试验中事件A出现的次数。伯努利定理刻画了大量经验观测中呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位。
23. 拉普拉斯1812年出版的《概率的分析理论》，以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，使以往零散的结果系统化。
24. 科尔莫戈洛夫开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述，并于1933年发表了经典性著作《概率论基础》，通过广泛类比，为概率论建立起了严格的公理化体系，从而赋予概率论以演绎数学的特征，使其取得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着。
25. 莱维从1938年开始创立研究随机过程的新方法，即着眼于轨道性质的概率方法。1948年出版《随机过程与布朗运动》，提出了独立增量过程的一般理论，并以其为基础极大地推进了对作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。自然界中许多随机现象表现出某种平稳性，统计特征不随时间的推移而变化的随机过程叫做平稳过程，平稳过程的相关理论是1934年由辛钦提出的。
26. 1956年，托姆发表《可微映射的奇点》，成为以后整个奇点理论发展的纲领。1969年，托姆在奇点分类基础上提出了一个描述突变现象的数学模型，以后又在《结构稳定与形态发生》（1972）这部专著中系统论述了这方面的思想，从而又形成了一门新的分支，突变理论。突变理论提供了研究自然界中不连续变化现象的数学工具。
27. 1959年美籍法国数学家、经济学家德布洛发表《价格理论》，对一般经济均衡理论给出了严格的公理化表述，使公理化方法成为现代经济学研究的基本方法。
28. 沃尔德原为解决军方提出的实际问题而提出序贯分析和统率决策理论。1947年，他发表专著《序贯分析》，使之在战后发展为数理统计中一个重要分支。
29. 贝尔曼1957年发表的专著《动态规划》，标志着该学科的建立。
30. 948年，维纳终于出版了他的名著《控制论》，宣告了这门学科的诞生。
31. 信息论的创始人是美国人香农，他1948年发表“通信的数学理论”等论文，以概率论为基础研究信息量与通信编码。
32. 1931年，奥地利数学家哥德尔（K.Gödel，1906-1978）发表题为《论<数学原理>及有关系统中的形式不可判定命题》（Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme）的论文，其中证明了一条定理：
任一足以自然数算术的形式系统，如果是相容的，则它一定存在有一个不可判定命题，即存在某一命题A使A与A的否定在该系统中皆不可证。

33. 陈省身1944年发表的论文《对闭黎曼流形高斯—博内公式的一个简单的内蕴证明》，率先采用了内蕴丛，即长度为1的切向量丛，攻克了这个“几何学中极其重要和困难的问题”.

二十世纪最伟大的数学家

1.A.N.Kolmogorov ---为概率论建立了公理体系的俄罗斯人。
2.H.Poincare -----H.庞加莱人类历史上最后一位全才科学家。
3.D.Hilbert -----号称数学之王，无数天才的老师。
4.A.E,Nother -----二十世纪代数学执牛耳者，诺特阿姨。
5.Von Neumann-----计算机的发明者，地球人都知道。
6.H.weyl ---你还知道哪个外尔？
7.A.Weil ----韦伊，布尔巴基学派的精神领袖。
8.I.M.Gelfand——首届Wolf奖得主，泛函分析大师。
9.Wiener -----典型的神童，控制论的创立人。
10.Alxsandrff ---
11.Ledesque ----实分析开山鼻祖，被同行认为精神病勒贝格。
12.Shafarevich ----
13.V.I.Arnold---- A.N.Kolmogorov最得意的门徒。
14.Dedekind ------著名的戴德金分割－实数理论。
15.Markov ------马尔可夫？学概率的人都知道。
16.Klein -----厄兰根纲领，天才啊。
17.E.Artin -----人们对他的一般评价是，大代数学家。
18.Jordan -------老觉得他是十九世纪的人，呵呵。
19.Siegel-----来自哥廷根 ？首届Wolf奖得主。
20.Sobolev ----- 非线性分析知道
21.J.P.Serre ——1954年获Fields奖，时年不足28周岁。
22.Gorthenideck -----走在时代前面的格罗滕迪克？上帝！神明！
23.Whiteny ----惠特尼，微分拓扑的开山鼻祖。
24.E.Cartan ----大器晚成的微分几何大家，实在应该排在前十。
25.Thom -------突变论创立者。
26.Milnor ----与纳什合称普林斯顿那一届的双子星，微分拓扑大师。
27.Hadamand——哈马达代数学
28.Godel ------哥德尔居然只排28？
29.Landau ----巨富的数学家。
30.Hecke -----实在没想到这个人有这么牛，听说过赫克代数而已。
31.陈省身 ----一代宗师，华人的骄傲。
32.Zermelo ---集合论的东东，学过实变得人都知道。
33.Puntrijagin ----
34.H.Cartan --应该是老嘉当的儿子了，子承父业。
35.Hopf ----来自瑞士的拓扑学大师，Harvard大学教授。
36.小平邦彦----***人，勤奋的代数几何学家。
37.Cantor ----集合论的康托只有37
38.Chevalley----布饶尔应该排第几呢？
39.Picard—— 存在与唯一性定理？
40.Whitehead -----来自剑桥的哲学家？
41.Caratheodory ——
42.G.H.Hardy ---来自剑桥，最“纯粹”的数学家。
43.Alfors ---首届Feilds奖得主。
44.Selberg——李的同胞，很难想象挪威竟出了那么多一流的数学家。
45.Tucker ----塔克，纳什在普林斯顿的老师。经济学中的塔克均衡的创立者。
46.高木贞治——***最早具有国际声誉的数学家。
47.Lefschetz --普林斯顿王朝的缔造者。
48.Banach -----泛函分析，太靠后了，无语。
49.Eilenberg --艾伦伯格，和华老很交好。
50.Atiyah ----二十世纪后半期英国数学的代表。
51.Sinai——
52.Smale-----大学时代被系主任追着退学，呵呵。
53.志村五郎 ---志村五郎猜想？
54.Vinogradov ----维诺格拉朵夫？这个人比华老怎么样？
55.Zarisky—— 二十世纪代数几何的代表人物扎里斯基。
56.Litelewood ------哈代的好的合作者。
57,Nelivanna
58,Linnik
59,Schur----有限群理论上多次出现的名字，舒尔。
60,Luzin -------鲁津啊，A.N.Kolmogorov 的博士生导师。
61,Fredholm－－－泛函分析
62,van de Waerden ----读过《代数学》吗？
63,Tihonov
64,Bernstein ---
65,Roknlin
66,福原满洲雄
67,Hormander
68,Turing ——图灵奖没人不知道。
69,Minkowsky ----天妒英才啊，感叹。
70,Perron
71,Darboux－－－实变函数，概率
72.Levy ----学实变的时候听说过这个人。
73,Ramanujan----莫非就是印度那位超天才数学家？呵呵。
74,Bronwer
75.Borel -----波莱尔的书，大学生必读。
76.Harish-Chandra
77,Skolem
78,Leray
79.Calreman
80.Mumford-----芒福德，代数几何学家，Fields奖得主。
81.Krull----
82.Fisher ---数理统计先驱
83.Suslin -----
84,Schwartz ----泛函分析，概率
85.Schannon ——莫非就是那个“仙农”。
86.Deligne -----
87.Bochner ——
88.中山正——***人有那么牛吗？
89.Zeeman -----
90.华罗庚 ----华老，这个排名令人欣慰。
91.Petrovsky ----
92.Geromov ----
93.佐腾干夫—— 没有看到Langlands，却有这么多无关的***人，奇怪。
94.Russell -------罗素数学家？哲学家？
95.Birkhoff ----名声很大，具体的不太了解。
96.Lindeloff——林德洛夫，应该是在实变函数课上听说过他。
97.Teichmuller----
98.Brauer ----令人震惊的排名，别把代数学家不当人。
99.Garding ----写《数学概览》的瑞典人戈丁？
100.Witt---

规范场论

规范场论 (Gauge Theory) 是基于对称变换可以局部也可以全局地施行这一思想的一类物理理论。非交换对称群的规范场论有时也称为杨-米尔斯理论。物理系统往往用在某种变换下不变的拉格朗日量表述，当变换在每一时空点同时施行，它们有全局对称性。规范场论推广了这一思想，它要求拉格朗日量必须也有局部对称性—应该可以在时空的特定区域施行这些对称变换而不影响到另外一个区域。这个要求是广义相对论的等价原理的一个推广。
规范“对称性”反映了系统表述的一个冗余性。
规范场论在物理学上的重要性，在于其成功为量子电动力学、弱相互作用和强相互作用提供了一个统一的数学形式化架构——标准模型。这套理论精确地表述了自然界的三种基本力的实验预测，它是一个规范群为SU(3) × SU(2) × U(1)的规范场论。像弦论这样的现代理论，以及广义相对论的一些表述，都是某种意义上的规范场论。
有时，规范对称性一词被用于更广泛的含义，包括任何局部对称性，例如微分同胚。该术语的这个含义不在本条目使用。
目录 [隐藏]
1 简史
2 电磁学中的简单的规范对称性的例子
3 经典规范场论
3.1 一个例子：标量 O(n) 规范场论
3.2 规范场的拉格朗日量
3.3 一个简单的例子：电动力学
4 数学形式化
5 规范理论的量子化
5.1 方法和目标
5.2 反常
6 参看
7 参考

简史

最早包含规范对称性的物理理论是麦克斯韦的电动力学。但是，该对称性的重要性在早期的表述中没有被注意到。在爱因斯坦发展广义相对论之后，赫尔曼·外尔在试图统一广义相对论和电磁学的尝试中，猜想Eichinvarianz或者说尺度（“规范”）变换下的不变性可能也是广义相对论的局部对称性。后来发现该猜想将导致某些非物理的结果。但是在量子力学发展以后，魏尔、Vladimir Fock和Fritz London实现了该思想，但作了一些修改（把缩放因子用一个复数代替，并把尺度变化变成了相变—一个U(1)规范对称性），这对一个相应于带电荷的量子粒子其波函数受到电磁场的影响，给定了一个漂亮的解释。这是第一个规范场论。泡利在1940年推动了该理论的传播，参看R.M. P.13, 203。
1950年代，为了解决一些基本粒子物理中的巨大混乱，杨振宁和罗伯特·米尔斯引入非交换规范场论作为理解将核子绑在原子核中的强相互作用的模型。（Ronald Shaw，和Abdus Salam一起工作，在他的博士论文中独立地引入了相同的概念。）通过推广电磁学中的规范不变性，他们试图构造基于（非交换的）SU(2)对称群在同位旋质子和中子对上的作用的理论，类似于U(1)群在量子电动力学的旋量场上的作用。在粒子物理中，重点是使用量子化规范场论。
该思想后来被发现能够用于弱相互作用的量子场论，以及它和电磁学的统一在电弱理论中。当人们意识到非交换规范场论能够导出一个称为渐进自由的特色的时候，规范场论变得更有吸引力，因为渐进自由被认为是强相互作用的一个重要特点—因而推动了寻找强相互作用的规范场论的研究。这个理论现在称为量子色动力学，是一个SU(3)群作用在夸克的色荷上的规范场论。标准模型用规范场论的语言统一了电磁力、弱相互作用和强相互作用的表述。
1970年代Michael Atiyah爵士提出了研究经典杨-米尔斯方程的数学解的计划。1983年，Atiyah的学生Simon Donaldson 在这个工作之上证明了光滑4-流形的可微分类和它们只差一个同胚的分类非常不同。Michael Freedman采用Donaldson的工作证明伪R4的存在，也就是，欧氏4维空间上的奇异微分结构。这导致对于规范场论本身的兴趣，独立于它在基础物理中的成功。1994年，爱德华·威滕和Nathan Seiberg发明了基于超对称的规范场技术，使得特定拓扑不变量的计算成为可能。这些从规范场论来的对数学的贡献导致了对该领域的新兴趣。

电磁学中的简单的规范对称性的例子

电路中接地的定义是规范对称性的一个例子；当线路所有点的电位升高相同的值时，电路的行为完全不变；因为电路中的电位差不变。该事实的一个常见释例是栖息在高压电线上的鸟不会遭电击，因为鸟对地绝缘。
这称为整体规范对称性Trefil,1983。电压的绝对值不是真实的；真正影响电路的是电路组件两端的电压差。接地点的定义是任意的，但一旦该点确定了，则该定义必须全局的采用。
相反，如果某个对称性可以从一点到另一点任意的定义，它是一个局域规范对称性。
^ James S. Trefil 1983年, 创造的瞬间。 Scribner, ISBN 0-684-17963-6 92-93页。

经典规范场论

本节要求一些经典或量子场论的知识，以及拉格朗日量的使用。
本节中的定义：规范群，规范场，相互作用拉格朗日量，规范玻色子


一个例子：标量 O(n) 规范场论
下面解释了局域规范不变性可以从整体对称性质启发式地“导出”，并且解释了它如何导向原来不相互作用的场之间的相互作用。
考虑一个n个不相互作用的标量场的集合，它们有相同的质量m。该系统用一个作用量表示，它是每个标量场φi的作用量之和

拉格朗日量可以简明的写作

这是通过引入一个场的矢量

现在很明显地，拉格朗日量在下面的变换中不变

只要G是一个常数 矩阵，G属于n-乘-n 正交群 O(n)。这是这个特定的拉格朗日量的全局对称性，而对称群经常称为规范群。很巧合的是，诺特定理蕴含着该变换群作用下的不变量导致如下的流的守恒

其中Ta矩阵是SO(n)群的生成元。每个生成元有一个守恒流。
现在，要求这个拉格朗日量必须有局域O(n)-不变性要求G矩阵（原来是常数）必须允许成为时空坐标x的函数。
不幸的是，G矩阵无法“传递”给导数。当G = G(x)，

这意味着定义一个有如下属性的“导数”D

可以验证这样一个“导数”（称为协变导数）是

其中规范场 A(x)定义为有如下变换律的场

而g为耦合常数 - 定义一个相互作用强度的量。
规范场在一点的取值是李代数的一个元素，因此可以展开为

所以相互独立的测度场取值和李代数的生成元一样多。
最后，我们有了一个局域规范不变拉格朗日量

泡利把应用到象Φ这样的场上的变换称为第一类规范变换，而把A中的补偿变换称为第二类规范变换。


费曼的标量玻色子通过规范玻色子相互作用的示意图
这个拉格朗日量和初始的全局规范不变的拉格朗日量的区别可以视为相互作用拉格朗日量

这个项作为要求局部规范不变性的结果而引入了n个标量场之间的相互作用。在这个经典场论的量子化版本中，规范场A(x)的量子称为规范玻色子。相互作用拉格朗日量在量子场论中的解释是标量玻色子通过交换这些规范玻色子来相互作用。
[编辑]规范场的拉格朗日量
我们关于经典规范理论的图像基本完成了，还剩协变导数D的定义，为此我们必须知道规范场 A(x) 在所有时空点的值。它可以通过一个场方程的解给出，而不是手工的设置这个场的值。进一步要求产生这个场方程的拉格朗日量也是局部规范不变的，规范场拉格朗日量的最一般的形式可以（传统地）写作

其中

而迹在场的矢量空间上取。
注意在这个拉格朗日量中，没有一个场Φ其变换抵消A的变换。该项在规范变换中的不变性是前面经典（或者说几何，如果喜欢的话）对称性的特殊情况。该对称性必须被限制以施行量子化，这个过程被称为规范固定，但是即使在限制之后，规范变换还是可能的（参看Sakurai， 高等量子力学，1-4节）。
O(n)规范场论的拉格朗日量现在成了


一个简单的例子：电动力学
作为前面章节中发展的形式化表述的简单应用，考虑电动力学的情形，只考虑电子场。产生电子场的狄拉克方程的最简单的作用（传统上）是

该系统的全局对称性是

这里的规范群是U(1)，也就是场的相位角，带一个常数θ。
“局部”化这个对称性意味着用θ(x)取代θ。
一个合适的共变导数是

将“荷” e视为通常的电荷（这也是规范理论中这个术语的使用的来源），而把规范场A(x)视为电磁场的4维矢量势得到一个相互作用拉格朗日量

其中J(x)是通常的电流密度的4矢量。规范原理因而可以视作以一种自然的方式引入了所谓的电磁场到电子场的最小耦合。
为规范场A(x)加入一个拉格朗日量，用场强张量的术语就象在电动力学中一样，可以得到在量子电动力学中作为起点的拉格朗日量。

参看：狄拉克方程，麦克斯韦方程组，量子电动力学

数学形式化

规范理论通常用微分几何的语言讨论。数学上，一个规范就是某个流形的（局部）坐标系的一个选择。一个规范变换也就是一个坐标变换。
注意，虽然规范理论被联络的研究占据了大部分（主要是因为它主要在高能物理中研究），联络的思想一般不是规范理论的基本或者中心概念。事实上，一般规范理论的一个结果表明规范变换的仿射表示（也就是仿射模）可以分类到一种满足特定属性的节丛的截面。有些表示在每一点共变（物理学家称其为第一类规范变换），有些表示象联络形式一样变换（物理学家称其为第二类规范变换）（注意这是一种仿射表示），还有其它更一般的表示，例如BF理论中的B场。当然，我们可以考虑更一般的表示（实现），但那很复杂。但是，非线性σ模型非线性地变换，所以它们也有用处。
若我们有一个主丛P其底空间是空间或时空而结构群是一个李群，则P的截面组成一个群称为规范变换群。
我们可以在该主丛上定义一个联络（规范联络），这可以在每个相伴矢量丛上产生一个共变导数∇。若我们选择一个局部标架（截面的局部基），我们就可以用联络形式A表示这个共变导数，A是一个李代数-值的1-形式，在物理学中称为规范势，它显然不是内在的量，而是一个依赖于标架的选择的量。从这个联络形式，我们可以构造曲率形式F，这是一个李代数-值的2-形式，这是一个内在量，定义为

其中 d 代表外微分而代表楔积。
无穷小规范变换形成一个李代数，可以表述为一个光滑李代数值的标量，ε。在这样一个无穷小规范变换下，

其中是李括号。
一个有趣的结果是，若，则 其中D是共变导数

而且，，这意味着F共变地变换。
需要注意的一点是不是所有的一般规范变换都可以用无穷小规范变换生成；例如，当底流形是一个无边界的紧致流形使得从该流形到李群的映射的同伦类非平凡的时候。参看瞬子（instanton）中的例子。
杨-米尔斯作用现在可以如下给出

其中 * 代表霍奇对偶而积分和在微分几何中的定义一样。
一个规范-不变量也就是在规范变换下的不变量的例子是威尔逊环（Wilson loop），它定义在闭合路径γ上，定义如下：

其中χ是复表示ρ的特征标；而表示路径排序算子。

规范理论的量子化

规范理论可以用能够应用到任何量子场论的方法的特殊化来量子化。但是，因为规范约束（参看上面的数学表述一节）所带来的微妙性，存在很多需要解决的理论问题，他们在其他场论中并不存在。同时，规范理论的更丰富的结构使得一些计算得以简化：例如Ward恒等式建立了不同的重正化常数的联系。

方法和目标
第一个量子化的规范理论是量子电动力学（QED）。为此发展的最初的方法涉及规范固定和施行标准量子化。Gupta-Bleuler方法也被发展出来用于处理这个问题。非交换规范理论现在用很多不同的方法处理。量子化的方法在量子化条目有介绍。
量子化的要点在于能够计算对于理论所允许的各种进程的量子振幅。技术上，它们退化为在真空状态下的特定相关系数函数的计算。这涉及到理论的一个重正化。
当理论的巡行耦合足够小时，所有需要计算的量可以用微扰理论计算。设计用于简化这样的计算的量子化方案（例如标准量子化）可以称为微扰量子化方案。现在一些这种方法导向了规范理论的更精确的试验测试。
但是，在多数规范理论中，有很多有趣的问题是非微扰的。设计用于这些问题的量子化方案可以称为非微扰量子化方案。这样的方案的精确计算经常需要超级计算，因而目前比其他方案的发展要少。

反常
一些理论经典的对称性在量子理论中不再成立—这个现象称为一个反常。最出名的包括：
共形反常，它导致了一个跑动耦合常数。在QED中，这导致了朗道奇点（Landau pole）。在量子色动力学（QCD）中，这导致渐进自由。
手征反常，出现在费米子手性或者矢量场论中。这通过瞬子的概念和拓扑有紧密的关联。
在QCD中，这个反常导致了π介子衰变成为两个光子。
规范反常，在任何自洽的物理理论中必须消去。在电弱理论中，这个消去要求夸克和轻子数量相等。这被称为GIM机制。

维基百科:希尔伯特的23个问题

1900年，希尔伯特在巴黎的国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出了23道最重要的数学问题，这就是著名的希尔伯特的23个问题。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。
希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域，除数学物理外很少涉及应用数学，更不曾预料到电脑发展将对数学的产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。
希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题，7-12是数论问题，13-18属于代数和几何问题，19-23属于数学分析。

问题解决进度

以下列出希尔伯特的23个问题：
第一题 连续统假设 已解决。1963年美国数学家保罗·柯恩以力迫法（forcing）证明连续统假设不能由ZFC推导。也就是说，连续统假设成立与否无法由ZFC确定。
第二题 算术公理之相容性 已解决。库尔特·哥德尔在1930年证明了哥德尔不完备定理。
第三题 两四面体有相同体积之证明法 已解决。希尔伯特的学生马克斯·德恩以一反例证明了是不可以的了。
第四题 建立所有度量空间使得所有线段为测地线 太隐晦。希尔伯特对于这个问题的定义过于含糊。
第五题 所有连续群是否皆为可微群 已解决。1953年日本数学家山迈英彦已得到完全肯定的结果。
第六题 公理化物理 非数学。对于物理学能否全盘公理化，有很多人质疑。
第七题 若 b 是无理数、a 是非0、1代数数，那么 ab 是否超越数 已解决。分别于1934年、1935年由Gelfond与Schneider独立地解决。
第八题 黎曼猜想及哥德巴赫猜想 部分解决。1966年中国数学家陈景润部分解答了哥德巴赫猜想。
第九题 任意代数数域的一般互反律 部分解决。1921年日本的高木贞治，1927年德国的埃米尔·阿廷（E.Artin）各有部份解答。
第十题 不定方程可解性 已解决。1970年苏联数学家马蒂塞维奇证明：在一般情况答案是否定的。
第十一题 代数系数之二次形式 已解决。有理数的部分由哈塞于1923年解决，实数的部分则由希格尔于1930年解决。
第十二题 扩展代数数 已解决。1920年高木贞治开创了阿贝尔类域理论。
第十三题 以二元函数解任意七次方程 已解决。1957年柯尔莫哥洛夫和阿诺德证明其不可能性。
第十四题 证明一些函数完全系统（Complete system of functions）之有限性 已解决。1962年日本人永田雅宜提出反例。
第十五题 舒伯特列举微积分（Schubert's enumerative calculus）之严格基础 部分解决。一部分在1938年由范德瓦登得到严谨的证明。
第十六题 代数曲线及表面之拓扑结构 未解决
第十七题 把有理函数写成平方和分式 已解决。1927年埃米尔·阿廷（Emil Artin）已解决实封闭域。
第十八题 非正多面体能否密铺空间、球体最紧密的排列 已解决。1910年比伯巴赫做出“n维空间由有限多个群嵌成”
第十九题 拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析（Analytic） 已解决。1904年由伯恩斯坦（Serge Bernstein）解决。
第二十题 所有有界限条件的变量问题（Variational problem）是否都有解 已解决
第二十一题 证明有线性微分方程有给定的单值群（monodromy group） 已解决
第二十二题 以自守函数（Automorphic functions）一致化可解析关系 已解决。1904年由科比和庞加莱取得解决。
第二十三题 变分法的长远发展 已解决
[]

维诺格拉多夫

　维诺格拉多夫，1891年9月14日生于俄国西部普斯科夫省大卢基县的米洛留勃村；1983年3月20日卒于莫斯科．数学．
　　维诺格拉多夫的父亲是米洛留勃村墓地教堂的一名牧师，母亲是一名教师．维诺格拉多夫从小就表现出绘画的才能．当时牧师的孩子通常是进教会学校读书，而他的父母却一反惯例，于1903年送他到大卢基城的一所主要是讲授自然科学、现代语言及绘画的实科中学去就读．1910年他中学毕业后，进入首都彼得堡(1914—1924年间改称彼得格勒；后又更名为列宁格勒)的彼得堡大学的物理数学系学习，1914年毕业．在该系著名学者Я．B．乌斯宾斯基等人的影响下，维诺格拉多夫对数论产生了浓厚的兴趣．1915年，由于他关于二次剩余及非剩余分布问题所获得的研究成果，经B．A．斯捷克洛夫推荐，授予他一项奖学金，此后他成功地通过了硕士学位．1918—1920年，维诺格拉多夫先后在国立彼尔姆大学及苏联东欧部分的莫洛托夫大学任教，先任副教授，后担任教授．1920年底，他回到彼得格勒，任彼得格勒工学院教授及彼得格勒大学副教授．在彼得格勒工学院他开设高等数学课，在彼得格勒大学他开设数论课，这门课就成了他后来所著《数论基础》一书的基础．1925年他升任列宁格勒大学教授，并担任该校数论及概率教研室主任．
　　1929年1月他当选为苏联科学院院士，这标志着他开始进入国家级的科学活动组织者及管理人才的行列中．他与C．И．瓦维洛夫共同制订了对科学院物理-数学研究所进行重大改组的计划．1930—1932年他出任人口统计研究所所长，1930—1934年任物理-数学研究所数学部主任．1934年，物理-数学研究所分为两个所：列别捷夫物理研究所与斯捷克洛夫数学研究所．维诺格拉多夫被任命为斯捷克洛夫数学研究所第一任所长，直到去世前，他一直担任这一职务．其间，苏联科学院从列宁格勒迁往莫斯科，斯捷克洛夫数学研究所即建在瓦维洛夫大街上．1950年起，他任《苏联科学院通报》数学组主编，1958年起任全苏数学家委员会主席．他始终对数学教育有极大的兴趣，直到去世前一直任全苏中学数学改革委员会主席．
　　维诺格拉多夫中等身材，体格异常健壮．即便到90高龄，他也从不坐电梯去办公室，且步履十分矫健．他与人谈话常用俄语，但能说一口相当熟练的英语．他一生中只有很少几次出国参加活动．其中有两次出访联合王国，一次是1946年参加英国皇家协会主办的牛顿纪念活动，另一次是参加1958年的爱丁堡国际数学家大会．维诺格拉多夫十分好客，待人诚挚体贴．1971年借祝维诺格拉多夫80寿辰之机，在莫斯科举行了一次学术讨论会．维诺格拉多夫自费主办了一次宴会，邀请与会的国内外数学家参加，他亲笔填写了每份请帖，对每位客人都给予了热情的款待．
　　维诺格拉多夫一生中被20多个外国科学院及科学协会等机构授予院士、名誉院士、会员、名誉会员等称号．1939年被授予伦敦数学会名誉会员称号，1942年当选为英国皇家学会外籍会员．他一生还多次荣获苏联政府及苏联科学院等颁发的勋章及荣誉称号．其中计有：
　　社会主义劳动英雄(2次)，列宁勋章(5次)，锤子与镰刀勋章(2次)，十月革命勋章，斯大林奖金(现改称国家奖金)，列宁奖金，罗蒙诺索夫金质奖章，其中罗蒙诺索夫金质奖章是苏联科学院的最高奖．
波利亚-维诺格拉多夫不等式
　　设m≥1为给定的整数，a，b为两个整数．若a—b可被m整除，则记m|(a—b)，称m为模，并称a与b对模m同余，记为a≡b(mod m)．对固定的模m，同余关系是一个等价关系．把对模m同余的所有整数归为一类，称为模m的一个剩余类，则全体整数恰可分成m个不同的剩余类．从每一类中取一代表元组成的集合称为模m的一个完全剩余系．对剩余类可以很自然地定义类的加、减、乘法，它们与整数的加、减、乘法有完全类似的性质．
　　设m=p≥3为素数，f(x)=anxn+…a1x＋a0是一个n≥1次整系数多项式．若x0满足同余方程
　　f(x)≡0(modp)， (1)
　　易见一切满足t≡x0(modp)的t皆满足(1)，它们称为(1)的一个解．与代数基本定理对应，我们有如下定理．
　　定理(拉格朗日)若an (modp)，则(1)至多有n个解．
　　当n=2时，求解(1)可以归结为求解特殊形式的二次同余方程
　　x2≡a(modp)． (2)
　　A．M．勒让德(Legendre)首先定义了如下的符号，此即初等数论中著名的勒让德符号：
　　
　　 非剩余(即平方非剩余)．在模p的一个完全剩余系｛1，2，…，p｝中，易见除p外，二次剩余与非剩余各占一半，故

　　实际上，对任何整数N均有

　　这表明在模p的一个完全剩余系里，二次剩余与非剩余个数总是相等．一个自然的问题是：对任意整数N及任给正整数M，当a取遍区间[N＋1，N+M]中的整数时，其中二次剩余及非剩余的分布情况如何？(3)表明其中二次剩余与非剩余的个数之差为

　　由(5)知不妨可设1≤M＜p／2．维诺格拉多夫证明了

　　上式表明，当区间长度M适当大时，其中二次剩余与非剩余的个数相差甚少．正是由于这项研究成果，1915年他被授予一项奖学金，并被批准留校攻读学位．
　　勒让德符号实际上是以p为模的一种实原特征，它是更为广泛的狄利克雷(Dirichlet)特征χq(a)的特例，这里q是特征的模．1918年，维诺格拉多夫与波利亚互相独立地证明了：若χq(a)是以q为模的一个原特征，则对任何整数N≥1皆有

　　若χq(a)为非主特征，则有

　　这些不等式统称为波利亚-维诺格拉多夫不等式．
　　1977年，H．L．蒙哥马利(Montgomery)与R．C．沃恩(Vaughan)在假设广义黎曼猜想(简记为GRH)成立的条件下证明了：对非主特征有

　　而R．E．A．C．佩利(Paley)于1932年就构造出一列无穷多个不同的二次特征χqj(j=1，2，…)，使得

　　因此，(7*)与最好可能的结果(7.1)相比已经相当接近．
　　设n2(p)＞1为模p的最小二次非剩余．1919年，维诺格拉多夫利用(7)及素数分布的简单性质证明了

　　他猜想对任给ε＞0有n2(p)=O(pε)，他还猜想对任给ε＞0有 安克尼(Ankeny)证明了：若GRH成立，则有n2(p)=O(ln2p)．对于后一猜想，1967年P．D．T．A．埃利奥特(Elliott)证明了它是GRH的一个推论．这两个猜想迄今仍未获得证明．他关于二次及高次剩余分布、原根与指数分布等问题的许多结果已被D．A．伯吉斯(Burgess)等人加以改进．有关结果请见W．纳基耶维奇(Narkiewicz)所写专著第Ⅱ章及其他文献．
类数均值公式及格点问题
　　设a，b，c为取定的整数，称二次齐次式
f(x，y)=ax2＋bxy＋cy2
　　为一个二元二次型，简记为{a，b，c}，称d=b2-4ac为其判别式．若(a，b，c)=1，则称{a，b，c}为本原二次型，简称原型，这里(a，b，c)表a，b，c三数的最大公约数．
　　设给定两个型{a1，b1，c1}与{a2，b2，c2}，其变量分别为x，y及u，v．若有一个整系数变换

　　使{a1，b1，c1}变为{a2，b2，c2}，则称它们是相似型．易证相似是二次型的一种等价关系．利用它可将判别式为d的所有本原二次型分成两两不相交的等价类．用h(d)表示把判别式d的本原二次型所分成的等价类的个数．容易证明，对每个判别式d，h(d)皆有限．
　　对判别式为-d＜0的正定型，F．高斯(Gauss)在其所著《算术研究》(Disquisitiones arithmeticae，1801)一书第302篇中不加证明地给出一个渐近公式
　
　　
　　1865及1874年，R．李普希茨(Lipschitz)与F．默滕斯(Mertens)先后得到(8)式的第一项(参见P．巴赫曼(Bachma-nn)著《解析数论》(Die analytische Zahlentheorie，1894)二卷十三章§16)，但他们的方法均未能得到第二项主项．
　　1917年，维诺格拉多夫给出了研究算术函数渐近表示中余项估计这一难题的一个新方法，它比Г．沃罗诺伊于1903年提出的方法简单，且能获得几乎相同的结果．维诺格拉多夫新方法的重点在于如下的所谓“第一基本公式”：
　　 设k≥1，A＞29，R＞Q皆为实数，函数f(x)在区间[Q，R]中二阶可微且满足

　　则有

　　其中｛y｝表示实数y的小数部分，而

　　由此并利用上述李普希茨文章中的一个恒等式

　　即证得(8)式，并得到
　　R(n)＝O(n5/6(ln n)2/3)， (13)
　　其中μ(m)为麦比乌斯(M bius)函数，F(m)为满足某些不等式组的整值解组数．1963年他得到
　　R(n)=O(n2/3(lnn)6)， (14)
　　这一纪录至今未被打破．
　　维诺格拉多夫的第一基本公式可以解释成为关于由
x=Q，x=R，y=f(x)，y=0
　　所围成的平面区域内的整点个数的一个命题．1925年V．雅尼克(Jarnik)证明了，(11)已是基本上最好可能的结果．由是可知，维诺格拉多夫方法可用于处理域内整点问题．设p(x)表示落在球
u2＋v2+w2≤x
　　中的整点个数．1963年维诺格拉多夫证明了

　　这仍是目前已知最好的结果．
华林问题
　　1770年，E．华林(Waring)在《代数沉思录》(Meditationesalgebraicae)第204—205页上发表了如下的猜想：
　　每个自然数皆可表为四个整数的平方和，皆可表为九个非负整数的立方和，皆可表为十九个整数的四次方之和，等等．
　　综观其言，他实质上提出了如下的问题：对每个给定的整数k≥2，是否存在一个只与k有关的正整数s=s(k)，使每个正整数皆可表为至多s个非负整数的k次方之和？求最小正整数s(k)=g(k)，使每个正整数皆可表为g(k)个非负整数的k次方之和，此即著名的关于g(k)的华林问题．若不要求这种表示对每个正整数成立，改为要求对充分大的正整数皆成立，又以G(k)表示满足这种要求的最小的s(k)，估计G(k)的上界即著名的关于G(k)的华林问题．
　　1909年，D．希尔伯特(Hilbert)首次用多重积分证明了A．胡尔维茨(Hurwitz)提出而未能证明的一个恒等式，由此即得：对形如k=2c的幂k，华林问题中的s(k)是存在的．由此再用初等方法可对一般性的k证明s(k)的存在性．但希尔伯特方法所得s(k)之数值太大，方法也相当复杂，在近代数论的发展中没有找到进一步的应用．
　　1920—1928年间，G．H．哈代(Hardy)与J．E．李特伍德(Littlewood)在总标题为“‘Partitio numerorum’的若干问题”(Some problems of“Partitio numerorum”)的七篇论文中，系统地开创并发展了解析数论中一个新方法，此即当今著称的哈代与李特伍德的圆法．而在哈代与S．拉马努金(Ramanujan)1918年发表的一篇论文中已经有了圆法的思想．
　　1924年，维诺格拉多夫对希尔伯特关于华林问题的结果给出一个新证明，它相当初等，只用到傅里叶(Fourier)级数及外尔(Weyl)估计三角和的方法，而没有用圆法．E．兰道(Landau)在《数论导引》(Vorlesungen ber Zahlentheorie，1927)第一卷第六部分第五章指出，维诺格拉多夫的方法可用于求g(k)的相当满意的上界．1936年L．E．迪克森(Dickson)与S．S．皮莱(Pillai)相互独立地得到g(k)问题近乎最后的解决，其中证明的关键部分有赖于对维诺格拉多夫方法的应用．
　　在哈代与李特伍德上述系列文章的Ⅳ中证明了：若s≥(k-2)2k-1+5，k≥3，Rs(n)是n表为s个k次方之和的表法数，则对充分大的n有

　　其中 (n)大于某个正常数．由是他们首次得出显式上界
　　G(k)≤(k-2)2k-1+5． (17)
　　在1925年发表的Ⅵ中，他们纠正了上文中一个引理证明中的错误并得到：对k≥4有
　　G(k)≤(k-2)2k-2+k+5

　　他们的方法是考虑无限和

　　及其s次幂

　　由柯西积分公式有

　　C是以原点为圆心，半径为ρ(0＜ρ＜1)的圆周，他们在s≥s0(k)且n充分大时找到一种渐近计算积分(19)的方法．
　　1928年，维诺格拉多夫改为考虑有限和

　　及其s次幂

　　这里e(x)=e2πix，N=［n1/k］，而Rs(m，n)是m表为s个不超过N的非负整数k次幂和的表法个数．易见

　　由此他也导出了(16)，并证明了(17)．这大大简化了哈代与李特伍德的方法，也为解决数论中各种困难的问题开辟了一条更为广阔的道路．此后，他多次回到这一问题．他关于渐近公式成立时G(k)上界的最后结果是
　　G(k)≤2k2(2lnk＋ln lnk+5)(k≥4)． (23)
　　如果放弃渐近公式(16)而只证Rs(n)＞0，则可得到G(k)的好得多的上界．1934年，维诺格拉多夫第一个获得阶为klnk的上界
　　G(k)＜6klnk+(ln216+4)k(k≥4)． (24)
　　显然可证有
　　G(k)＞k， (25)
　　故(24)中的阶klnk已基本上是最好可能的了．1959年他得到：对k＞170000有
　　G(k)＜k(2lnk＋4lnlnk+2lnlnlnk＋13)， (26)
　　并且得到
　　
　　1985年A．A．卡拉楚巴用p-adic方法证明了，对k≥4000有
　　G(k)＜2k(lnk＋lnlnk+6)， (28)
　　这是目前G(k)上界的最好结果．对较小的k，更好的结果请见所列文献及专著．
哥德巴赫猜想
　　1742年，德国数学家C．哥德巴赫(Goldbach)在与L．欧拉(Euler)的几次通信中提出了整数表为素数和的两个猜想，用现代语言来说，就是：
　　(A)每个≥6的偶数都是两个奇素数之和，
　　(B)每个≥9的奇数都是三个奇素数之和．
　　这就是当今著称的哥德巴赫猜想，(A)通常称为关于偶数的哥德巴赫猜想，(B)称为关于奇数的哥德巴赫猜想．直到1900年希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上的著名演讲发表之前，有关这个猜想的研究尚未取得任何实质性的进展．
　　哈代与李特伍德在他们上述系列论文的Ⅲ与Ⅴ(发表于1923年)中，用圆法对哥德巴赫猜想进行了研究．鉴于圆法与维诺格拉多夫方法对哥德巴赫猜想的主要贡献在于解决了猜想(B)，而对猜想(A)只能得到“几乎全体偶数皆可表为二奇素数之和”这样的结果，本文中只对涉及猜想(B)的结果加以讨论．
　　在Ⅲ中，哈代与李特伍德考虑了函数

　　及其r次幂

　　这里

　　于是

　　这里C1是以原点为中心、半径为e-1/n的圆周．与前类似地将积分(32)分成主项与余项，他们在余项的估计中遇到对狄利克雷L函数的零点分布缺乏了解这一重大困难．不得已假设下面的猜想(R)成立：
　　 点皆位于半平面Rez≤θ中．
　　在此假设下，他们证明了：充分大的奇数n表为三个奇素数之和的表法个数N3(n)有渐近式

　　其中

　　特别地，当(R)成立时，每个充分大的奇数n皆可表为三个奇素数之和．
　　维诺格拉多夫在他于1937年发表的著名论文中改为考虑过素数值求和的有限三角和

　　用In记n表为三个奇素数和的表法个数，则与(22)式同法有

　　适当将[0，1]划分成基本区间(也称优弧)与余区间(也称劣弧)两部分，相应的积分分别记为In(1)与In(2)．
　　对In(1)用西格尔(Siegel)-瓦尔菲茨(Walfisz)定理不难给出其主项及余项估计．为估计In(2)，维诺格拉多夫对形如(35)的素变数三角和给出了非平凡的上界估计，从而不用任何假设证明了：存在常数B0(现在称为维诺格拉多夫常数)，每个奇数n≥B0皆可表为三个奇素数之和．
　　应用上面的证法，常数B0无法算出来，这是因为上面证明中用到的西格尔-瓦尔菲茨定理中涉及的常数不能有效地算出．为具体求出B0的上界，可用较弱的佩奇(Page)定理代替西格尔-瓦尔菲茨定理．1956年，K．Г．博罗兹德基求得
　　B0≤exp(exp16.038)， (37)
　　这个值现在完全可以得到较大的改进．
　　同年，维诺格拉多夫对形如

　　的更一般的素变数三角和得到非平凡的上界估计，这里f(x)为实系数多项式．特别当f(x)=xk时他对华林-哥德巴赫问题得到如下结果：
　　 lnk+lnlnk+5)]，则n→∞时有
　　
　　有关其他形状的素变数三角和估计及应用请见所列专著及文献．
模1一致分布
　　先考虑一个简单问题．设θ为一个实数，对任意给定的自然数N，考虑区间[0，1)中如下N+1个实数
0，｛θ｝，…，｛Nθ｝．
　　如果将［0，1)等分成N个长为1／N的子区间，则至少有两个整数a，b，0 ≤a＜b≤N，使{aθ}与{bθ}在同一子区间中，即
|｛bθ｝－｛aθ｝＜1／N．
　　定义k=b-a，h=[bθ]-[aθ]，则有一对整数h，k，0＜k≤N，使
|kθ—h|＜1／N≤1／k，
　　事实上可以要求(h，k)=1，又在θ为无理数时，满足上述要求的数对h，k有无穷多对．完全类似地可证下述命题：设θ为无理数，a为任一实数，则有无穷多对整数hn，kn(kn＞0)使
|θkn-hn-a|＜3／kn．
　　由此立即推出，［0，1)中每一点都是点集｛mθ｝(m=1，2，…)的极限点．那么，点集{mθ}在(0，1)中是否“均匀分布”呢？为了使“均匀分布”意义明确，我们给出如下的定义：设ω=(xn)，n=1，2，…是一个给定的实数列，我们称ω是模1一致分布的，如果对每对实数a，b，0≤a＜b≤1有

　　这里A(［a，b)；N；ω)表示x1，…，xn中使小数部分{xn}落在［a，b)中的项的个数．
　　对如何判别一致分布(modl)，有如下重要的韦尔判别法：数列(xn)，n=1，2，…为一致分布(modl)的充分必要条件是，对所有整数h≠0有

　　因此，能否对形如

　　的三角和给出适当的估计，是判别数列是否一致分布的关键．在某些重要而又困难的情形，维诺格拉多夫方法是解决这一关键困难的基本工具．
　　设a为一给定无理数，定义
xn=apn，n=1，2，…，
　　这里pn表示第n个素数，则由维诺格拉多夫估计(35)型和的方法易得

　　故由韦尔判别法立即证得(apn)是一致分布的．完全类似地可证：数列(f(pn))，n=1，2，…为一致分布(modl)，这里f(x)是首项系数为无理数的实系数多项式．值得一提的是，1937年P．屠阮(Turán)首次在假设GRH为真的条件下证明了(apn)的一致分布性．
带误差项的素数定理
　　令π(x)表示不超过x的素数个数，寻求它当x充分大时的渐近表示是19世纪近百年中数学家们的一项中心任务．1848—1850年，俄国数学家п．л．切比雪夫首开纪录，证得

　　1859年，黎曼在其著名论文中用新的解析方法揭示出ζ函数与素数分布之间的深刻联系．1896年，J．阿达玛(Hadamard)与C．J．德拉瓦莱-普桑(de la Vallée Poussin)相互独立地证明了素数定理：

　　这等价于
　
　　
　　此后，数学家们一直致力于求π(x)-lix的最佳误差．1901年，H．冯•科克(Koch)在黎曼猜想成立的假设下证明了有

　　熟知，只要对ζ函数在σ=1附近的值给出适当的估计，就可以得出ζ(s)无零点区域的对应结果，从而给出π(x)-lix的相应估计．而在估计ζ函数邻近σ=1的阶时，维诺格拉多夫的三角和方法是相当有效的．1958年，维诺格拉多夫与H．М．科罗博夫相互独立地得到

　　(a＞0，ε＞0为任意给定的实数)，相应的ζ函数无零点区域为

　　这些都是迄今已知最好的结果．
　　本桥洋一(本桥洋一， Motohashi Yoichi)曾用筛法对形如

　　的无零点区域给出一个初等证明，而蒙哥马利则用另外的方法给出(46)的另一证明，这些请见他们各自的专著．
主要著作评介及对中国数论界的影响
　　维诺格拉多夫一生发表过一百多篇论文，出版过四部专著及两部选集．他的四部专著中，影响最大的是其中的三部：《数论基础》，以下简称《基础》；《数论中的三角和方法》，以下简称《方法》；《三角和方法的特殊变体》，以下简称《变体》．
　　《基础》一书初版于1936年，先后译成匈牙利文(1952)、捷克文(1953)、英文(1954)、波兰文(1954)、德文(1955)、日文(1961)、西班牙文(1971)等多种文字．1952年由上海商务印书馆初次出中文版，1956年由北京高等教育出版社出新一版，译者裘光明．我国著名数学家、中国科学院数学研究所第一任所长华罗庚教授为中译本撰写了指导性的介绍，题为“介绍《数论基础》”，对书的内容、习题及维诺格拉多夫的研究成果，给了极高的评价．
　　《基础》一书共分六章，介绍了初等数论的一些基本内容．每章后习题分两部分，计算题强调了计算技巧的训练；而通过理论性的习题向读者介绍了许多著名的数论问题，如：有理数逼近实数，切比雪夫不等式，圆内整点问题，狄利克雷除数问题，V．布龙(Brun)筛法，三角和估计，函数值的分数部分的估计，佩尔(Pell)方程，波利亚-维诺格拉多夫不等式，剩余与非剩余的分布等．使初学者也能对近代解析数论的一些问题与方法，特别是维诺格拉多夫方法的基本技巧有所了解．即使在今天，它也不失为一本好的参考书．
　　《方法》一书是维诺格拉多夫方法的代表作．1947年初版，1954年出了英文版，次年在我国《数学进展》1卷1期上印行了中文译本，译者越民义．由于维诺格拉多夫在其科学研究最初十年中的重要成就，兰道在他的前述专著中曾专辟一章对他的方法加以介绍．此后出版的许多重要数论专著中都有关于维诺格拉多夫方法的专门介绍．
　　在《方法》一书的引言中，维诺格拉多夫介绍了他本人自1934年以来所创立的三角和方法的要旨、应用及历史．他指出，这一方法的最基本结论是形如

　　的积分之估计，此即著名的维诺格拉多夫中值定理，这里

　　而f(x)=anxn+…+a1x
　　为实系数多项式．目前估计I上界的最满意的方法系由卡拉楚巴于1965年给出的，这方面的理论已推广到多重三角和中，这些发展均基于卡拉楚巴1962—1966年间提出的一种新的p-adic形式的维诺格拉多夫方法(参见《斯捷克洛夫数学研究所著作集》英译本1986年第3期(Proc．of the Steklov Institute of Math.，1986，Issue 3，pp．3—30))．
　　维诺格拉多夫方法的关键技巧在于对形如

　　的双重三角和给出非平凡估计，这里ξ(x)，η(y)是任意的复值函数，a为实数且

　　由柯西不等式有

　　右方的二重和可按几何级数来计算，由此可得W的适当估计．当然，如何把一个数论问题与一个恰当的二重三角和联系起来，这是需要相当技巧的．在该书中作者对其方法的基本工具、技巧及在华林问题、多项式值的分数部分之分布、华林-哥德巴赫问题中的应用作了较详尽的介绍．
　　《变体》一书出版于1976年，它与《方法》的不同之处在于，《变体》讨论的是其方法的较为简单的变体(指不需要均值定理为基础)所涉及的一些应用，如球内整点问题，G(k)上界估计，哥德巴赫奇数猜想及若干特殊的素变数三角和估计等，最后一章给出他的方法的某种初等形式(不用无穷小作工具)及若干应用．
　　维诺格拉多夫方法及其著作对中国及世界数学界产生了重大影响．华罗庚教授三十年代起的许多研究工作都受到维诺格拉多夫方法的深刻影响．1941年，华罗庚教授将自己对维诺格拉多夫方法的研究成果写成《堆垒素数论》一书，寄交苏联斯捷克洛夫数学研究所作为专刊发表，得到维诺格拉多夫院士的赞赏和支持．时因二次大战，该书俄文版推迟到1946年才正式出版．维诺格拉多夫院士还邀请华罗庚教授访问了苏联．华罗庚教授在数学研究所培养的第一批研究人材中，就有相当数量的人深入学习过维诺格拉多夫方法，并在后来的研究工作中反复运用这一方法取得过出色的成就．
　　1988年夏天在北京举行的“纪念华罗庚数论与分析国际会议”，就有卡拉楚巴等维诺格拉多夫学派传人参加．这对加强中苏两国间的学术交流，恢复并发展由维诺格拉多夫与华罗庚所建立的两国数学界(尤其是数论学界)的传统友谊，将起到良好的作用．

西方数学史上的8本名著

人类本身有一种不可弥补的缺憾，即知识无法遗传。面对人类的文明所创造的一切，每个人都必须从头再学，硕大的知识之果使人不胜重负。本文想以最简洁的文字向读者提供其精髓，包括作者、书名、发表年月、主要内容以及在学科史上的地位与价值，有一个对数学领域重大成果总体式的鸟瞰与把握。
　　1、《几何原本》（Elements of Euclid）
　　欧几里德（Euclid，前300－前275？）古希腊数学家。
　　本书的印刷量仅次于《圣经》，是数学史上第一本成系统的著作，也是第一本译成中文的西文名著。原名《欧几里德几何学》，明朝徐光启译时改为《几何原本》。全书13卷，从5条公设和5条公理出发，构造了几何的一种演绎体系，这种不假于实体世界，仅由一组公理实施逻辑推理而证明出定理的方法，是人类思想的一大进步。此书从写作的时代一直流传至今，对人类活动起着持续的重大影响，直到19世纪非欧几里德几何出现以前，一直是几何推理、定理和方法的主要来源。
　　2、《算术研究》（Disquisitiones Arithmetical，1798）
　　高斯（C.F.Gauss，1774－1855），德国数学家。
　　“数学之王”的称号可以说是对高斯极其恰当的赞辞。他与阿基米德、牛顿并列为历史上最伟大的数学家。他的名言“数学，科学的皇后；算术，数学的皇后”，贴切地表达了他对于数学在科学中的关键作用的观点。他24岁时发表了这本书，这是数学史上最出色的成果之一，系统而广泛地阐述了数论里有影响的概念和方法。由此推倒了18世界数学的理论和方法，以革新的数论开辟了通往19世纪中叶分析学的严格化道路。高斯立论极端谨慎，有3个原则：“少些；但要成熟”：“不留下进一步要做的事情”。
　　3、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1854）
　　黎曼（B.Riemann，1826－1866），德国数学家。
　　黎曼是19世纪最有创造力的数学家之一。虽然他没有活到40岁，著作也不多，但几乎每篇文章都开创了一个新的领域。本篇是黎曼在格丁根大学任大学讲师时的就职演讲，是数学史上最著名的演讲之一，题为“关于构成几何基础的假设”。在演讲中黎曼独立提出了非欧几里德几何，即“黎曼几何”，又称椭圆几何。他的这一关于空间几何的独具胆识的思想，对近代理论物理学发生深远的影响，成为爱因斯坦相对论的几何基础。
　　4、《集合一般理论的基础》（Foundations of a General Theory of Aggregates，1883）
　　康托尔（G.Cantor，1845－1918），德国数学家。
　　康托尔创立的集合论，是19世纪最伟大的成就之一。本书是康托尔研究集合论的专著。他通过建立处理数学中无限的基本技巧而极大地推动了分析和逻辑的发展，凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质的新的思想模式。
　　5、《几何基础》（The Fuadations of Geometry，1899）
　　希耳伯特（D.Hilbert，1862－1943），德国数学家。
　　希耳伯特是整个一代国际数学界的巨人。由高高斯、狄利克雷和黎曼于19世纪开创的生气勃勃的数学传统在20世纪的头30年中主要由于希耳伯特而更为显赫著名。在本书中，希耳伯特用几何学的例子来阐述公理体系的集合理论的处理方法，它标志着几何学公理化处理的转折点。希耳伯特的名言：“我必须知道，我必将知道”，总结了他献身数学并以毕生业务使之发展到新水平的激情。
　　6、《测度的一般理论和概率论》（General Theoey of Measure and Probability Theory，1929）
　　柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov，1903－1993），苏联数学家。
　　柯尔莫哥洛夫是20世纪最有影响的苏联数学家。他对许多数学分支贡献了创造性的一般理论。此篇论文是研究概率的名作，在随后的50年中被人们作为概率论的完全公理而接受。在1937年又出版《概率论的解析方法》一书，阐述了无后效的随机过程理论的原理，标志着概论论发展的一个新时期。
　　7、《论＜数学原理＞及其相关系统形式不可判定命题》（On Formally Undecidble Propositions of Principia Mathematica and Related Systems，1931）
　　哥德尔（K.Godel，1906－1978），美籍奥地利数学家。
　　哥德尔在本篇中给出了著名的哥德尔证明，其内容是，要任何一个严格的数学系统中，必定有用本系统内的公理无法证明其成立或不成立的命题，因此，不能说算术的基本公理不会出现矛盾。这个证明成了20世纪数学的标志，至今仍有影响和争论。它结束了近一个世纪来数学家们为建立能为全部数学提供严密基础公理的企图。
　　8、《数学原理》（Elements Mathematique I-XXXIX，1939－）
　　本书的署名是布尔巴基（Bourbiaki），他不是一个人，而是对现代数学影响巨大的数学家集团。在本世纪30年代由法国的一群年轻数学家结合而成他们把人类长期积累的数学知识按照数学结构整理而成为一个井井有条、博大精深的体系，已出版的近40卷的《数学原理》成为一部经典著作，成为许多研究工作的出发点和参考指南，并成为蓬勃发展的数学科学的主流，这套巨著究竟何时算完，谁也说不清。但是这个体系连同布尔巴基学派对数学的其他贡献，在数学史上是独一无二的。

希尔伯特提出的23个世界数学难题

1900年德国数学家希尔伯特在巴黎第二届国际数学家代表会上提出23个重要的数学问题，称为希尔伯特数学问题﹝Hilbert's Mathematical Problems﹞。内容涉及现代数学大部份重要领域，目的是为新世纪的数学发展提供目标和预测成果，结果大大推动了20世纪数学的发展。该23个问题的简介如下：1. 连续统假设。
2. 算术公理体系的兼容性。
3. 只根据合同公理证明底面积相等、高相等的两个四面体有相等的体积是不 可 能的。即不能将这两个等体积的四面体剖分为若干相同的小多面体。4. 直线作为两点间最短距离的几何结构的研究。
5. 拓扑群成为李群的条件。
6. 物理学各分支的公理化。
7. 某些数的无理性与超越性。
8. 素数问题。包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等问题。
9. 一般互反律的证明。
10. 丢番图方程可解性的判别。
11. 一般代数数域的二次型论。
12. 类域的构成问题。具体为阿贝尔域上的克罗内克定理推广到作意代数有理 域。
13. 不可能用只有两个变量的函数解一般的七次方程。
14. 证明某类完全函数系的有限性。
15. 舒伯特计数演算的严格基础。
16. 代数曲线与曲面的拓扑研究。
17. 正定形式的平方表示式。
18. 由全等多面体构造空间。
19. 正则变分问题的解是否一定解析。
20. 一般边值问题。
21. 具有给定单值群的线性微分方程的存在性。
22. 用自守函数将解析关系单值化。
23. 发展变分学的方法。
1．连续统假设 1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔集合论公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
2．算术公理的相容性欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
3．两个等底等高四面体的体积相等问题
问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
4．两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是李群？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、邦德里雅金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。6.物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。
7.某些数的无理性与超越性 1934年，A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0 ，1，和任意代数无理数β证明了αβ 的超越性。
8.素数问题包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。
9．在任意数域中证明最一般的互反律该问题已由日本数学家高木贞治（1921）和德国数学家E.阿廷（1927）解决。
　10．丢番图方程的可解性能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。11．系数为任意代数数的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（1936，1951）在这个问题上获得重要结果。
12．将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。
13．不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x （a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是解析函数，则问题尚未解决。
14．证明某类完备函数系的有限性这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。
15．舒伯特计数演算的严格基础一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。16．代数曲线和代数曲线面的拓扑问题这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。
17．半正定形式的平方和表示一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn) 都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。
18．用全等多面体构造空间由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。
19．正则变分问题的解是否一定解析对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。
20．一般边值问题这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。
21．具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明已由希尔伯特本人（1905）和H.罗尔（1957）的工作解决。
22．由自守函数构成的解析函数的单值化它涉及艰辛的黎曼曲面论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。
23．变分法的进一步发展出这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。
这23问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数学的发展。