2008年10月1日星期三

华罗庚

中文名称: 华罗庚
性别: 男
生卒年: 1910-1985
省: 江苏1925年,金坛县初级中学毕业,考取由黄炎培等主办的上海中华职业学校商科。1929年,任金坛县初级中学会计兼庶务。1931年,任清华大学算学系助理。1933年,任清华大学算学系助教。1934年,任中华文化教育基金会董事会乙种研究员。1935年,任清华大学算学系教员。1936年,得中华文化教育基金会乙种补助在英国剑桥大学数学系进修。1938年,任西南联合大学数学系教授。1946年,任美国普林斯顿高等研究院研究员。1948年,任美国依利诺大学数学系教授。1950年,任清华大学数学系教授。1951年,任中国科学院数学研究所所长和中国数学会理事长。1955年,当选为中国科学院数理化学部委员,任数理化学部副主任。1958年,任中国科学院技术大学副校长兼数学系主任。1978年,任中国科学院副院长。1980年,任中国科学院应用数学研究所所长,当选为中国科学技术协会副主席。

研究领域:

数学家。从事指数和的估计及其应用的研究,并完成重要专著《堆垒素数论》;后转向有限群、典型群、自守函数、矩阵几何、多复变函数论与数值计算等领域的研究,均取得卓越成就。并在我国工业部门从事数学普及工作。

作品:

主要著作有《数论导引》、《多复变数函数论中的典型域的调和分析》、《指数和估计及其在数论中的应用》、《典型群》、《数论在近似分析中的应用》、《从单位圆谈起》、《优选学》、《华罗庚论文选集》、《堆垒素数论》、《华罗庚科普著作选》、《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》、《从孙子的“神奇妙算”谈起》、《高等数学引论》、《优选学》等。

奖项:

1956年,获第一届国家自然科学一等奖。1979年,获法国南锡大学荣誉博士称号。1982年,被选为美国科学院国外院士。1982年,获香港中文大学荣誉博士称号,被选为第三世界科学院院士。1984年,获美国伊利诺大学荣誉博士称号。1985年,被选为德国巴伐利亚科学院院士。

从笛卡尔到庞加莱

在德国数学家高斯的一部传记中,作者引用了下面这段话:

有一个异乡人在巴黎问当地人,“为什么贵国历史上出了那么多伟大的数学家?”巴黎人回答,“我们最优秀的人学习数学。”又去问法国数学家,“为什么贵国的数学一直享誉世界呢?”数学家回答,“数学是我们传统文化中最优秀的部分。”

笛卡尔以前的法国数学

在中世纪以前,数学的成就主要是在一些文明古国取得的,例如埃及、美索不达米亚、中国、印度和阿拉伯,当然还有希腊。可以肯定的是,如果没有希腊人的贡献,数学就不会像现在这样丰富多彩。而在长达一千多年的中世纪里,整个欧洲似乎只有一个堪称伟大的数学家——菲波那契,以他名字命名的兔子序列至今仍在数学王国里发出光辉。欧洲之外,最有名的数学家当数巴格达的花拉子密,正是他命名了代数学,在阿拉伯语里,al-jabr 意为还原移项,译成拉丁文后就成了 algebra,这也是今天英文里的代数学。

14世纪是欧洲黑死病流行的时期,毁灭了将近四分之一的人口,数学上取得的成绩也非常可怜。但疾病和战争有时候会改变文明的格局,法兰西开始崭露头角,逐渐走在世界文明的前列。这个世纪最重要的数学家被认为是法国人奥雷斯姆,他写过五部数学书,和他的译文一样文笔优美,为科学修辞和法国散文作出了贡献。奥雷斯姆第一个使用了分数指数,第一个用坐标确定了点的位置,这预示了现代坐标几何学,影响了包括笛卡尔在内的诸多数学家。

15世纪开始了欧洲的文艺复兴,可是数学进展仍然不大,其时最杰出的数学家是法国人丘凯,16世纪最伟大的数学家也是法国人。他的名字叫韦达。法国人的数学在文艺复兴之初已达到世界先进水平,正是在那个时期,(现今的)初等数学基本上羽翼丰满了。同时,这也为近代数学和科学的全面发展奠定了相对坚实的基础。

笛卡尔和天才的世纪

在笛卡尔出生以前,意大利人在世界文明的进程中走在最前列,他们在数学和科学领域也处于领先地位,塔尔塔里亚(口吃者)与卡尔达诺在三次和四次方程的解法研究上取得了突破,他们两人的成就合起来不低于同时代的法国人韦达。可是,这两位同胞数学家却相互控告对方剽窃,结果弄得两败俱伤。1564年出生的伽利略一直在意大利的两所大学任数学教授,他发明的扇形圆规通用了两个世纪,同时对抛物线性质和无限集的等价概念有了正确的理解,他的数学天才和直觉帮助其建立起了自由落体的力学定律。他用自制望远镜观察宇宙,证实了哥白尼的太阳系理论,却不幸遭到罗马教会的迫害,含冤而死。

和大多数天才人物一样,笛卡尔也出生在小地方。他小时母亲病故,身体羸弱,已另娶妻的父亲把他交给外婆抚养,后来又送他进拉弗莱什的一所教会学校。幸亏校长极有人文修养,看出这个孩子心智和身体上的差异,要他先增强体质。校长告诉小笛卡尔,除非想去教室和别的同学们在一起,否则不必离开自己的房间。从那以后,笛卡尔终身保持了晚起的习惯,包括他在部队当兵时,当他需要思考问题时,就躺在床上冥思苦想。尽管笛卡尔身体虚弱并爱睡懒觉,却是个勇敢的军人,并曾被授予中将军衔,但被他拒绝。

笛卡尔在数学上的主要成就是创立了一门数学分支——解析几何,同时他又被黑根尔赞誉为“近代哲学之父”。作为一个二元论者,笛卡尔明确地把心灵和肉体区分开来,其中心灵的作用如同其著名的哲学命题所表达的——“我思,故我在”。而在方法论上,笛卡尔则是一个彻头彻尾的怀疑主义者,对他来说,怀疑是一种必要的手段,是哲学和心理学方法中的一个工具。笛卡尔认为,我们从童年时代起就接受了许多偏见,如果得不到及时纠正,会持续到成年,他进一步指出,“怀疑是一门艺术,它使我们脱离感觉的影响获得解放。”

在笛卡尔时代,他在数学上有好几位竞争对手。例如,毕生居住在法国南方山区小城图卢兹的法官费尔马,他有着“业余数学家之王”的美号。今天我们大家都知道“费尔马大定理”,它是毕达哥拉斯定理(即勾股定理)的推广和提升,虽然结论截然相反。直到上个世纪末,这个定理才被英国数学家怀尔斯最后证明了。据说在笛卡尔生前,他经常接到费尔马的挑战,例如宣布发现某某数学规律却不告之证明方法,这些挑战有的是以书面的形式提出,有的是通过一位叫梅森的神甫传达。说起这个梅森神甫,虽然算不上是伟大的数学家(仅以梅森素数命名),却是17世纪法国数学不可或缺的人物。还有一位是帕斯卡尔,据说帕斯卡尔12岁那年,从未受过相关训练的他独自推导出了几何学中的一条定理,即三角形的三个内角和等于两个直角之和。从那以后,父亲才开始教授儿子欧几里德几何,不久父子俩一同参加了梅森神甫组织的数学沙龙。帕斯卡尔的主要数学成就包括概率论的创立(与费尔马合作)、二项式系数和射影几何学中的帕斯卡尔定理(圆锥曲线的内接六边形三组对边的交点共线)。

除了数学上的成就以外,帕斯卡尔还发明了计算机(初衷是为了帮助父亲进行税务方面的计算)、流体压力定律(水压机便是这个定律的一个应用),计算机中的帕斯卡尔语言和天气预报中的大气压强单位帕均取自他的姓名。而在人文和哲学领域,帕斯卡尔取得了同样非凡的成就。他的散文作品《思想录》被公认为是所有法国文学中的珍品,在宗教方面,他宣扬可以通过心灵而不是通过理性来体验上帝的教义,他建立的直觉主义原理对于后来卢梭、实用主义和存在主义哲学家都有影响。

在达到盛名之后,帕斯卡尔和笛卡尔不约而同地选择了隐居生活。笛卡尔说过,“ 我只要求安宁和平静”相比笛卡尔和帕斯卡尔的多才多艺,费尔马把自己的聪明才智全部奉献给了数论。这当然与费尔马有着自己的职业、需要养家糊口有关,但我认为更重要的是,费尔马与高斯、欧拉这三个对数论有杰出贡献的数学家,他们已经从数论之美中获得了满足,因此不怎么需要寻求诸如艺术、哲学或宗教的滋养。从毕达哥拉斯时代人们就沉湎于发现数的神秘关系,优美、简洁、智慧是这门科学的特点。记得希尔伯特的传记作者在谈到大师放下代数不变量理论转向数论研究时写到,“数学中没有一个领域能够像数论那样,以它的美——一种不可抗拒的力量——吸引着数学家中的精华。”画家康定斯基也认为:“数是各类艺术最终的抽象表现。”

从费尔马到庞加莱

自从费尔马于1665年去世后,法国数学界有半个世纪的沉寂,之后从17世纪20年代开始,接连诞生了一批数学大师,几乎每隔七八年就有一位,他们中的每一个都成就非凡,如果放在其他国家里,都可能成为该国历史上最伟大的数学家。而法国人也是以此为傲,其中的七位数学家,分别是达兰贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、蒙日、蓬斯莱、柯西和伽罗瓦。

“在天才的伽罗瓦去世二十多年以后,法国又诞生了一位大数学家,他就是新近因为以其名字命名的猜想获得解决而重新引起全球公众瞩目的庞加莱,他的才华和成就横跨了科学与人文两大领域。庞加莱被认为是通晓全部数学与应用数学知识的最后一个人,他涉足的研究领域惊人地广泛,并不断使之丰富。

庞加莱出生在法国东北部小城南锡,父亲是一位著名的医生。庞加莱的超常智力不仅使他接受知识极为迅速,同时拥有一副流利的口才,并从小得到才华出众的母亲的教导,却不幸在五岁时患上白喉症,从此变得体弱多病,不能顺利地用口语表达思想。但他依然喜欢各种游戏,尤其是跳舞,他读书的速度也十分惊人,且能准确持久地记住读过的内容。小庞加莱擅长的科目包括文学、历史、地理、自然史和博物学,他对数学的兴趣来得比较晚,大约开始于15岁,不过很快显露出非凡的才华。不久,他被保送到巴黎综合工科学校(就是伽罗瓦两次报考未被录取的大学),开始了他的数学生涯。

庞加莱的哲学著作包括《科学与假设》、《科学的价值》和《科学方法论》,他是唯心主义约定论哲学的代表人物,认为公理可以在一切可能的约定中进行选择,但需以实验事实为依据,避开一切矛盾。正是由于这些成就的取得才使他既当选为法兰西科学院的院士(后成为院长),又当选为法兰西学院的院士,他同时处身于科学和人文两座金字塔的塔尖。庞加莱相信艺术家和科学家之间创造力的共性,相信“只有通过科学与艺术,文明才体现出价值”。

中国有望成为

真正的数学大国

需要指出的是,本文提到的半数法国数学家与巴黎综合工科学校结缘,而另一座同样诞生于法国大革命期间、校名也同样谦逊的巴黎高等师范学校则在上个世纪培养了八位菲尔兹奖得主。可以说,正是笛卡尔以降法国数学家拥有的人文素养,使得数学在法国长盛不衰。值得一提的是,这一良好的氛围也熏陶了滞留巴黎的德国人莱布尼茨,他从一个肩负外交使命的秘密使臣一跃成为大数学家和大哲学家,他那轰动一时的微积分学便是在巴黎期间发明的。莱布尼茨的出现标志着德意志民族在世界文明史上的真正崛起,同时也使得法国数学又多了一个强有力的竞争者。而布尔巴基学派的诞生,便是迫于德国数学后来居上的压力和形势之下。

反观中国,虽说西汉时期有了《周髀算经》和《九章算术》,南朝时祖冲之对圆周率的估算领先世界一千多年,却限于实用性的计算而忽视公理化建设和理论推导。近代以来,由于缺乏对外交流,中国和整个东方数学未跟上时代的脚步。等到国门重开,终于意识到自己的落后,摆在我们面前的困难重重。这里面当然有机制和学风的因素,不过我相信,如果我们的数学工作者年轻时多一些人文修养,盛年之后能把一部分精力转向哲学思考或研究,及时探讨数学的未来和外延。如同本文引言所说的,把数学看成是传统文化的一部分,而不是作为敲门砖或谋取名利的手段,我们的数学事业就会兴旺发达,数学研究和人才培养就会成为一种有序的制度,中国也有望成为真正的数学大国。

数论

数论概述

  人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了,后来由于实践的需要,数的概念进一步扩充,自然数被叫做正整数,而把它们的相反数叫做负整数,介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们合起来叫做整数。(注:现在,自然数的概念有了改变,包括正整数和0)
  对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算,叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算,在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说,任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候,它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
  人们在对整数进行运算的应用和研究中,逐步熟悉了整数的特性。比如,整数可分为两大类—奇数和偶数(通常被称为单数、双数)等。利用整数的一些基本性质,可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律,正是这些特性的魅力,吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
  数论这门学科最初是从研究整数开始的,所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展,就叫做数论了。确切的说,数论就是一门研究整数性质的学科。

数论的发展简况

  自古以来,数学家对于整数性质的研究一直十分重视,但是直到十九世纪,这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中,也就是说还没有形成完整统一的学科。
  自我国古代,许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述,比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外,古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究,关于质数、和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献,使数论的基本理论逐步得到完善。
  在整数性质的研究中,人们发现质数是构成正整数的基本“材料”,要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题,一直受到数学家的关注。
  到了十八世纪末,历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了,把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学家高斯集中前人的大成,写了一本书叫做《算术探讨》,1800年寄给了法国科学院,但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作,高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。
  在《算术探讨》中,高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了,把当时现存的定理系统化并进行了推广,把要研究的问题和意志的方法进行了分类,还引进了新的方法。
编辑本段数论的基本内容

  数论形成了一门独立的学科后,随着数学其他分支的发展,研究数论的方法也在不断发展。如果按照研究方法来说,可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。
  初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助,只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”,就是初等数论中很重要的内容。
  解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析来解决数论问题是由欧拉奠基的,俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具。比如,对于“质数有无限多个”这个命题,欧拉给出了解析方法的证明,其中利用了数学分析中有关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代,苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”,这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的是解析数论中的筛法。
  代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念推广到一般代数数域上去,相应地也建立了素整数、可除性等概念。
  几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何数论研究的基本对象是“空间格网”。什么是空间格网呢?在给定的直角坐标系上,坐标全是整数的点,叫做整点;全部整点构成的组就叫做空间格网。空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复杂,必须具有相当的数学基础才能深入研究。
  数论是一门高度抽象的数学学科,长期以来,它的发展处于纯理论的研究状态,它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚它的实际意义。
  由于近代计算机科学和应用数学的发展,数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果;又文献报道,现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距,用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外,数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展,用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。
  数论在数学中的地位是独特的,高斯曾经说过“数学是科学的皇后,数论是数学中的皇冠”。因此,数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问题,叫做“皇冠上的明珠”,以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明珠”:费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数问题……
  在我国近代,数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始,在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献,出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后,数论的研究的得到了更大的发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究,已取得世界领先的优秀成绩。
  特别是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后,在国际数学引起了强烈的反响,盛赞陈景润的论文是解析数学的名作,是筛法的光辉顶点。至今,这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。
  人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了,后来由于实践的需要,数的概念进一步扩充,自然数被叫做正整数,而把它们的相反数叫做负整数,介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。它们和起来叫做整数。
  对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算,叫做四则运算。其中加法、减法和乘法这三种运算,在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说,任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候,它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。
  人们在对整数进行运算的应用和研究中,逐步熟悉了整数的特性。比如,整数可分为两大类—奇数和偶数(通常被称为单数、双数)等。利用整数的一些基本性质,可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律,正是这些特性的魅力,吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
  数论这门学科最初是从研究整数开始的,所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展,就叫做数论了。确切的说,数论就是一门研究整数性质的学科。

数学分支学科

  算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学等等。
  ·初等数论
  意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题,最主要的工具包括整数的整除性与同馀。重要的结论包括中国馀数定理、费马小定理、二次互逆律等等。
  ·解析数论
  借助微积分及复分析的技术来研究关於整数的问题,主要又可以分为积性数论与加性数论两类。积性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题,其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题,华林问题是该领域最著名的课题。此外例如筛法、圆法等等都是属于这个范畴的重要议题。
  ·代数数论
  引申代数数的话题,关于代数整数的研究,主要的研究目标是为了更一般地解决不定方程的问题,而为了达到此目的,这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密。
  ·几何数论
  主要在于透过几何观点研究整数(在此即格子点)的分布情形。最著名的定理为Minkowski 定理。
  ·计算数论
  借助电脑的算法帮助数论的问题,例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的话题。
  ·超越数论
  研究数的超越性,其中对于欧拉常数与特定的 Zeta 函数值之研究尤其令人感到兴趣。
  ·组合数论
  利用组合和机率的技巧,非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由艾狄胥开创的思路。